Depuis quelques années, l’étude des systèmes dynamiques non linéaires discrets a fait l’objet d’un nombre considérable de travaux menés par plusieurs scientifiques. La non linéarité du système devient le siège de comportement dynamique complexe, le phénomène le plus caractéristique est l’apparition du comportement chaotique. Nous savons que des bifurcations et des phénomènes chaotiques peuvent apparaître dans des systèmes lors de la variation d’un ou de plusieurs paramètres et lorqu’un élément non linéaire est présent.
La théorie des systèmes dynamiques est un domaine réellement pluridisciplinaire en raison de ces antécédents historiques. Quelle autre discipline aurait permis à un ingénieur en électronique d’engager un débat scientifique avec un biologiste sur la dynamique des battements du coeur humain, avec un mathématicien sur la dimension de l’ensemble de Cantor, avec un économiste sur le comportement chaotique du marché ou avec un musicien sur la technique utilisée pour jouer de la clarinette en introduisant le doublement de période ?. Cette pléiade d’applications possibles explique pourquoi depuis une trentaine d’années le nombre de chercheurs de tous les pays s’intéressent à ce type de travaux est de plus en plus important, conduisant les systèmes dynamique à devenir aujourd’hui un pôle d’intérêt majeur dans plusieurs disciplines telles que les mathématiques pures ou appliquées, la mécanique, la physique des particules, la biologie, l’économie.
L’objet de cette thèse consiste en une étude de la dynamique complexe générée par des systèmes non linéaires régis par des équations aux récurrences appelés également transformations ponctuelles notées T. Ces transformations peuvent être réparties en deux classe principales, les transformations inversibles (appelé aussi difféomorphisme) et les transformations non inversibles TNI (endomorphisme). La deuxième classe joue un rôle important du point de vue fondamental et appliqué. Les transformations non inversibles se différencient des transformations dites inversibles par le fait qu’un point de l’espace de phases ne possède pas un antécédent unique mais peut en avoir zéro, un ou plusieurs suivant la région de l’espace considérée.
Notions générales
Dans ce chapitre, nous rappelons les principaux résultats relatifs à la théorie des systèmes dynamiques non linéaires et plus particulièrement ceux qui concernent les transformations ponctuelles d’ordre un et deux [24, 33]. Dans ce qui suit, nous nous intéressons aux transformations ponctuelles (ou récurrences) de type autonome, définies par :
Xn+1 = TXn = F (Xn,Λ)
Xn ∈ Rp, p = 1, 2,Λ ∈ Rm, m = 1, 2, . (1.1)
où F est au moins de classe C1 par morceaux, par rapport à la variable X et au paramètre Λ. La dimension de l’équation (1.1) est p, et Rp est appelé espace de phase de (1.1). Une solution de (1.1) est formée par suite de points Xn , n = 0, 1, 2, …où X0 est appelée condition initiale, les points Xn , n = 0, 1, 2, …formant la trajectoire discrète de phase ou suite itérée ou orbite. Le point Xn+1 de la récurrence (1.1) est le point conséquent de rang un du point Xn, le point Xn étant appelè point antécédent de rang un du point Xn+1. La transformation inverse T −1 exprime Xn en fonction de Xn+1. Lorsque T −1est unique, la transformation (1.1) est appelée inversible, ou difféomorphisme. Xn+1 peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédants de rang un. Lorsque T −1 a ainsi un nombre de déterminations différent de un, on dit que la transformation T est non inversible, elle est appelée endomorphisme. Un point qui admet plusieurs antécédents de rang un confondus est appelé un point critique. Pour notre étude, nous introduisons les notions usuelles qui seront utilisées pour décrire les propriétés relatives à la transformation (1.1).
Singularités
On distingue deux types pour la transformation T de singularités de dimension 0 : les points fixes et les cycles, encore appelés orbites périodiques.
Point fixe
Un point fixe est un point de l’espace de phase vérifiant :
T(X∗) = X∗ (1.2)
Cycle d’ordre k
C’est la généralisation d’un point fixe lorsqu’on considère la récurrence obtenue après k applications de T notée Tk. Les k points i = 1, .., k avec k > 1, appartenant à un cycle d’ordre k vérifient les deux relations :
Tk(X∗i ) = X∗i
Tl(X∗i ) ≠ X∗i (1.3)
Les points fixes et les cycles d’ordre k sont des singularités dites de dimension zéro. Il peut également apparaître des singularités dites de dimension un. Ce sont des courbes invariantes par l’application de la transformation T ou Tk. Ces courbes décrites dans le plan de phase par G (X) = constante satisfont l’équation fonctionnelle :
G (Xn+1) = G (Xn)
Multiplicateurs et type de singularité
La notion de multiplicateur permet de caractériser la stabilité des singularités définies plus haut. Les multiplicateurs sont définis lorsque F est différentiable au point considéré.
1. Pour une récurrence de dimension N = 1, on définit le multiplicateur d’un point fixe X∗ comme le nombre de dérivée de F au point X∗, on note :
S = T’ (X∗) .
2. Pour un cycle d’ordre k, on définit le multiplicateur comme la dérivée Tk en un point quelconque du cycle. C’est également le produit des dérivées de T en chaque point du cycle, on note :
S = Πk i=1T'(X∗)
Caractérisations des singularités
Un cycle ou un point fixe est dit attractif ou asymptotiquement stable si |S| < 1, il est répulsif ou instable si |S| > 1.
Transformation bi-dimensionnelle (N = 2) :
un cycle d’ordre k possède deux multiplicateurs notés S1 et S2, valeurs propres de la matrice Jacobienne ou matrice des dérivées partielles de Tk. Selon les valeurs de S1 et S2 on peut définir plusieurs types de cycles (respect. de points fixes). Ces types caractérisent la dynamique du système au voisinage des points de cycle (respect du point fixe).
” Si S1 et S2 sont complexes conjugués, le cycle est dit de type foyer.
Il est stable si | S1|<1 et | S2|<1 et instable si | S1|>1 ou | S2|>1.
” Si |S1|<1 et | S2|<1 le cycle est de type noeud stable.
” Si | S1|>1 et | S2|>1 le cycle est de type noeud instable.
” Si | S1|<1 et | S2|>1 le cycle est de type col.
structure de bifurcation boîtes-emboîtées
La structure de bifurcation ”boîtes-emboîtées” a été mise en évidence en 1975, cette structure est un autre type d’organisation fractal pour l’ensemble de bifurcation dans le plan paramètrique d’un système dynamique donné. Rappelons que le terme bifurcation désigne des changements qualitatifs du système sous l’effet des variations des paramètres. Ici le terme fractal indique que les boîtes sont autosimilaires c’est à dire que l’ensemble est semblable aux partie ( boîtes) et ceci reste vrai même quand ces partie sont infinitésimales. Cette structure fractale donne une route vers le chaos pour un grand nombre de systèmes dynamiques.
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Table des matières
Introduction
0.1 Introduction
1 Notions générales
1.1 Introduction
1.1.1 Singularités
1.1.2 Bifurcations fondamentales
1.1.3 structure de bifurcation boîtes-emboîtées
1.2 Structure feuilletée d’un plan paramétrique
1.2.1 Zone de communication entre feuillets
1.3 Définitions, propriétés et bifurcations fondamentals
1.3.1 Définitions
1.3.2 Bassins et domaines attractifs
1.3.3 Rôle des lignes critiques dans les bifurcations fondamentales des bassins
2 Etude de difféomorphisme bidimensionnel
2.1 Introduction
2.1.1 Rappels et définitions
2.2 Hénon généralisées
2.2.1 Point fixe
2.2.2 La stabilité
2.3 Bifurcation homocline et hétérocline
2.3.1 Frontière des bassins d’attraction -courbes invariantes
3 Caractérisation des lignes critiques dans le plan de phases et le plan paramétrique
3.1 Introduction
3.2 Feuilletage de l’espace de phases
3.2.1 Définitions des antécédents
3.2.2 Lignes critiques
3.2.3 Classification des transformations non inversibles (TNI)
3.3 Détermination des lignes critiques dans le plan paramétrique
3.3.1 Définition de la transformation T0
3.3.2 Condition nécessaire et suffisante d’existence d’un point cusp sur LC de T
3.4 Résultats numériques et exemples
3.4.1 Exemple1
3.4.2 Exemple2
3.4.3 Exemple3
3.5 Etude des singularités dans le plan de phase
4 Etude de bifurcation d’un endomorphisme de type (Z1, Z3, Z1)
4.1 Introduction
4.2 Définitions et bifurcation
4.2.1 Bifurcation de Wi(P)
4.2.2 Bifurcation d’une courbe invariante fermée
4.2.3 Bifurcations des bassins spécifiques à la transformations cubique
4.2.4 Généralité pour une transformation de type (Z1, Z3, Z1)
4.2.5 Plan de phase -bassin d’attraction
4.2.6 Bifurcation du bassin d’attraction
4.2.7 Résultats
Conclusion
Bibliographie
