Application à une surface parfaitement conductrice (PC) en champ lointain

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Fonction et théorème de Green

On appelle fonction de Green la solution élémentaire d’une équation diﬀérentielle li-néaire à coeﬃcients constants, ou d’une équation aux dérivées partielles linéaire à coeﬃcients constants. Chaque composante du champ E vérifie l’équation de propagation scalaire où l’opérateur intégro-diﬀérentiel est ( + k2) . La fonction de Green associée à cet opérateur vérifie par conséquent [2, 3] : ( + k2)G(R; R0) = (R; R0): (1.29)

Pouvant être vue comme un propagateur, la fonction de Green dépend toujours de deux vecteurs positions R et R0 : désignant respectivement le point source et le point d’observa-tion. Elle correspond physiquement au rayonnement d’une source ponctuelle. Finalement, la solution de l’équation (1.29) est [2, 4, 5] : G(R; R0) = eikkR R0k (1.30)

Pour obtenir les représentations intégrales, il est nécessaire de transformer une intégrale de volume en une intégrale de surface. Ceci est réalisé avec l’analogue vectoriel du second théorème de Green, basé sur le théorème d’Ostrogradski [6]. Il s’écrit dans le cas vectoriel ZZZ [Q (r ^ r ^ P ) P (r ^ r ^ Q)] dv = ZZ S V[P ^ (r ^ Q) Q ^ (r ^ P )] n^ ds ; (1.31) où S est une surface délimitant un volume V et n^ est la normale à la surface S dirigée vers l’extérieur du volume V . P et Q sont deux fonctions vectorielles du point (aussi appe-lées champ de vecteurs ou encore champ vectoriel) quelconques, continues et de dérivées premières et secondes continues en tout point appartenant au volume V ou à la surface S .

Principe de Huygens et théorème d’extinction

Le principe de Huygens repose sur le fait que chaque point d’un front d’onde est lui-même une source de rayonnement d’une onde. Par ce pricipe, une source de rayonnement peut être remplacée par un ensemble de sources. Ces courants sont placés sur une surface fermée arbitraire englobant la source originale. Ce théorème nous permet de décrire de manière générale le rayonnement d’une distribution de courants sur une surface, ou d’ob-tenir une équation intégrale surfacique des courants induits sur un objet excité par un champ incident.

Considérons la scène présentée sur la figure 1.2. Une source J est placée dans un milieu 0 de permittivité « 0 et de perméabilité 0 contenant un objet de milieu 1 de permittivité « 1 et de perméabilité 1. S est la surface délimitant le volume V et sa normale, n^, est dirigée vers l’extérieur de V (donc dirigée vers l’intérieur de V0). S1 est la surface délimitant le volume V0 à l’infini et sa normale pointe vers l’extérieur de V0.

Puissances incidente, diﬀusée et Surface Equivalente Radar (SER)

Dans la section 1.5 nous avons vu comment le champ diﬀracté est relié à l’obstacle diﬀractant (forme de la surface, matériau, dimensions) par le biais de relations d’intégrales de surface. Mais le champ diﬀraté seul, ne suﬃt pas à caractériser le pouvoir réflecteur de l’obstacle diﬀractant puisque la dépendence par rapport au champ incident est encore présente. En eﬀet, les relations intégrales permettent de relier le champ diﬀracté au champ total sur l’objet ; le champ total étant la somme du champ diﬀracté et du champ incident.

Puissances incidente, diﬀusée et transmise

Pour s’aﬀranchir de cette dépendence, il convient alors de connaître la puissance inci-dente sur la surface de l’obstacle, ainsi que la puissance qui est diﬀusée par cette même surface et captée par le récepteur. Alors le rapport de ces deux densités de puissance ne dépend plus que de l’obstacle diﬀractant.

La puissance reçue par une surface S est donnée par le flux du vecteur de Poynting moyen à travers cette surface : ZZ ZZ Pi = h iit ds = h iit n^ ds ; (1.46) où h iit est la moyenne temporelle du vecteur de Poynting du champ incident i donné par : i = Ei ^ Hi : (1.47)

Hi étant le conjugué de Hi. Le vecteur de Poynting d’une onde plane progressive est ^ donc colinéaire à la direction de propagation ki et sa norme correspond à la densité de puissance véhiculée par l’onde. En régime harmonique, on peut montrer que la moyenne temporelle du vecteur de Poynting est : h iit = 1 <e (Ei ^ Hi ) : (1.48)

Si l’obstacle est une surface rugueuse aléatoire, la puissance incidente sur la surface est prise comme la puissance reçue par le plan moyen correspondant à une surface plane [10]. La puissance diﬀusée Ps sur une surface (de réception) est obtenue par l’intégrale des puissances élémentaires dPs sur cette surface. Or l’élément de puissance dPs n’est autre que le flux du vecteur de Poynting moyen du champ diﬀusé à travers un élément de surface orienté. L’onde diﬀusée étant sphérique, dans le repère sphérique (R0; s; s), l’élément de surface est exprimé dans l’hypothèse où l’onde diﬀusée est en champ lointain de la surface par ds = R02 sin s d s d s n^0; (1.49) où les angles s et s balayent tous les angles possibles pour la diﬀusion de l’onde. A noter que cet élément de surface orienté est porté par n^0 colinéaire à la direction de ^ propagation ks. De manière générale, s va de 0 à et s de 0 à 2 . En considérant que l’onde diﬀusée est en champ lointain de l’obstacle, la puissance diﬀusée s’écrit alors Ps = Z 0 2 Z 0 (h sit n^0) R02 sin s d s d s = Z 0 2 Z 0 kh sitk R02 sin s d s d s : (1.50)

Si l’obstacle n’est pas parfaitement conducteur, une puissance sera transmise dans l’objet. Cette puissance transmise peut être exprimée de la même manière que la puissance diﬀu-sée. Connaissant ces puissances, la conservation d’énergie peut être étudiée. Il suﬃt pour cela de vérifier que la somme des puissances diﬀusée et transmise est égale à la puissance reçue par l’obstacle (la puissance incidente sur la surface réfléchissante) : Ps + Pt = Pi: (1.51)

Aucune énergie ne doit être perdue ou créée, et l’étude de cet axiome est un indicateur pour étudier la validité d’un modèle.

Surface Equivalente Radar (SER)

Une grandeur couramment employée pour caractériser la réflectivité électromagné-tique d’un obstacle est la Surface Equivalente Radar (SER) que nous noterons . La SER est proportionnelle au rapport de la densité de puissance diﬀusée sur la densité de puis-sance incidente au niveau de l’obstacle. La SER caractérise la capacité d’un obstacle, à re-rayonner l’énergie électromagnétique reçue, vers le récepteur radar. La SER est une fonction intrinsèque de l’objet diﬀractant qui dépend:

– de la fréquence porteuse de l’onde émise par le radar.

– des états de polarisation à l’émission et à la réception.

– des caractéristiques géométriques de l’obstacle.

– des propriétés électromagnétiques de l’obstacle (« ; ; c)

– de l’aspect angulaire que présente l’objet vis à vis du radar.

Si l’onde incidente et l’onde diﬀractée sont des ondes planes se propageant dans un milieu assimilé au vide, les densités de puissance moyennes sont : kh = kEik2 ; (1.52) iitk2 0 kh sitk = kEsk2 ; (1.53) où h iit et h sit sont respectivement la moyenne temporelle du vecteur de Poynting du champ incident et diﬀracté. En considérant les relations (1.52) et (1.53) la SER d’un obstacle situé en champ lointain peut être exprimée : (ki; ks) = 4 R02 kh sitk =4 R02 kEsk2 : (1.54)

Nous avons défini la SER sans tenir compte de l’etat de polarisation des ondes incidente et diﬀractée puisque nous ne considérons que le calcul direct de la densité de puissance. En tenant compte de la projection de l’état de polarisation de l’onde dans la base sphérique associée, la matrice de SER se déduit de la matrice de diﬀraction par la relation suivante : = 2 3 = Rlim0 4 R02 2 jS j 2 jS j 2 3 : (1.55)

La matrice de diﬀraction est évoquée sous le nom de signature polarimétrique, nom que porte parfois également la matrice de SER. Ce nom rappelle que la connaissance des quatre termes de la matrice de diﬀraction suﬃt à définir la réponse (en terme de réflectivité et de dépolarisation) d’un objet soumis à une onde d’état de polarisation complètement arbitraire.

Afin de pouvoir modéliser la SER d’une surface rugueuse ou une scène excitée par une onde incidente, il convient à présent de réaliser une analyse plus fine de la scène étudiée.

Surface rugueuse aléatoire

Le sujet de cette thèse concerne la modélisation de la diﬀusion d’une onde électro-magnétique par un objet situé au-dessus d’une surface rugueuse. La surface rugueuse est une surface dont le comportement (hauteurs de la surface) temporel ou/et spatial n’est pas connu pour tout t ou/et (x; y). Le profil est alors non déterministe, contrairement par exemple au mouvement oscillant d’un pendule qui est connu à tout instant t. A l’aide d’une description statistique, nous montrerons que cette surface peut être décrite à l’aide de grandeurs statistiques déterministes, comme la distribution et la corrélation des hau-teurs de la surface.

Rappels statistiques

Nous supposerons que le profil est défini de façon univoque, c’est-à-dire que nous pour-rons le décrire à l’aide d’une fonction (x; y) ! z(x; y) ; pour être précis, nous supposerons que le profil est une réalisation, à un instant t0, d’un processus aléatoire et stationnaire à valeurs réelles.

Notons pz(z) la densité de probabilité des hauteurs de ce profil ; pz(z)dz représente la probabilité, pour un point de la surface, d’être compris entre les hauteurs z et z + dz. Les surfaces de mer font partie des surfaces rugueuses pouvant être representées par une distribution gaussienne des hauteurs [11]. La densité de probabilité des profils considérés sera choisie gaussienne, centrée (valeur moyenne nulle) et d’écart type z ; pz(z) est alors donnée par : 1expz2;(1.56) pz(z) =zp 2 z2 2 et vérifie Z1 Z1 h1i = pz(z)dz = 1 hzi = zpz(z)dz = 0: (1.57)

Ce moyennage des hauteurs est le moment statistique d’ordre un (valeur moyenne). Le moment centré statistique d’ordre deux, h(z h zi)2i = hz2i, encore appelé variance, correspond ici au moyennage sur le carré des hauteurs. Il s’écrit Z 1 hz2i = z2pz(z)dz = z2; p.

.Discrétisation de l’EFIE par la Méthode des Moments

Dans cette section l’équation intégrale EFIE (2.35) est discrétisée par la méthode des moments (MdM) pour obtenir le modèle (EFIE-MdM).
La Méthode des Moments (MdM) permet de résoudre un problème linéaire de la forme Lf = g où L est un opérateur intégral ou intégro-diﬀérentiel linéaire, f est l’inconnue et g une fonction donnée. Dans notre cas l’inconnue est le courant J(R) et g est le champ incident Ei pour l’équation (2.34). La fonction recherchée f est projetée sur une base de fonctions ffng (les fonctions de projection ou fonctions de base). f est donc approchée par une somme de fonctions de base pondérées par des coeﬃcients an à déterminer : N X f ’ f~ = anfn: (2.38)
Une nouvelle équation est obtenue en remplaçant cette approximation dans Lf = g. Cette nouvelle équation est ensuite projetée sur une base de fonctions fwmgm=1::M (fonctions test) pour minimiser l’erreur de discrétisation. On obtient finalement une équation matricielle ZX = b où Z est la matrice impédance, X est le vecteur d’inconnues sur la surface, b est la donnée du problème. Nous discrétisons la plaque en N rectangles (patch), chaque rectangle Di, de centre ri = (xi; yi; 0) est le domaine défini par fx 2 [xi x; xi + x; ]; y 2 [yi y; yi + y]g.
Pour le calcul des intégrales de surface des diﬀérents opérateurs intégraux, on considère que les fonctions Jx et Jy sont constantes sur chaque maille. Ceci revient à représenter les inconnues du problème sur la famille des fonctions caractéristiques des mailles. Ces fonctions sont les fonctions de base de la discrétisation.
Pour la résolution numérique, on projette les équations intégrales sur la famille des distributions de Dirac centrées sur chacun des centres des mailles. Ces distributions de Dirac sont les fonctions test de notre discrétisation. En eﬀet, pour les fonctions test et fonctions de base plusieurs options sont possibles [17, 61], le choix optimal résulte d’un compromis entre un gain de temps (le nombre d’inconnues peut augmenter si les fonctions de projection ne sont pas bien adaptées au problème), une précision suﬃsante et une simplicité de mise en œuvre. C’est pourquoi nous retenons dans ce manuscrit la méthode des moments par collocation où les fonctions test wm sont des fonctions de Dirac et les fonctions de base fn sont des fonctions rectangles (aussi nommées pulse basis functions en anglais).
La discrétisation de l’équation (2.35) par la MdM donne : 3 2 3 2 3 = ik 2 iy : (2.39).

Diﬀusion par une surface rugueuse avec l’équation intégrale MFIE

Le champ diﬀracté par une surface plane en utilisant la MdM a été calculé dans la section précédente. Le problème abordé dans cette section est de calculer le champ diﬀusé lorsque la surface devient rugueuse.

Pour traiter le cas d’une surface rugueuse en utilisant la MdM, il est plus simple d’utiliser la MFIE que l’EFIE car l’opérateur intégral de l’EFIE est très singulier [62, 63, 64].

La MFIE pour une surface parfaitement conductrice (PC) s’écrit 2+ M J = n^ 0deux1^ Hi;(2.55) où M est l’opérateur intégro-diﬀérentiel : soit c une densité surfacique, et R, R points sur S, et n^ la normale à la surface, Mc(R) = n^(R) ^ rR ZS G(R R0)c(R0)dS; (2.56) rR est constitué des dérivées partielles par rapport à R, l’équation ci-dessus peut être réécrite comme suit Mc(R) =n^(R) ^ ZS G0(R)u ^ c(R0)dS = ZS G0(R)n^ ^ (u ^ c(R0)) 0dx0dy0; (2.57)

où les grandeurs non primées se rapportent au point d’observation R et les grandeurs notées avec un prime se rapportent au point d’intégration R0, sauf pour G0 qui est la dérivée première de la fonction de green G. De plus, R = kR R0k et u = (R R0)=R. La surface S vérifie en chacun de ses points R de coordonnées (x; y; z) l’équation cartésienne z = f(x; y). Par la suite, on utilise les notations suivantes : z = f(x; y), zx = (@f =@x) et vaut n = (zxxzyp +^) . zy = (@f =@y) et = 1 + zx2 + zy2. La normale n^ à la surface, dirigée vers les z croissants ^^y^ z =0.

En supposant que la densité surfacique c est tangente à la surface S ; elle vérifie donc c n = 0, soit cz = zxcx + zycy: (2.58)

Cette relation est vérifiée par les composantes cartésiennes du vecteur c, et donc par leurs produits par . On note cx = c x^, cy = c y^, cz = c z^. L’utilisation de ces produits plutôt que les composantes cartésiennes est habituelle pour ce genre de problème, et permet de simplifier les diﬀérentes expressions rencontrées. Seules deux de ces trois fonctions (cx; cy; cz) sont indépendantes, la densité surfacique c peut donc être représentée par les deux fonctions cx et cy.

La singularité à l’origine de la dérivée première de la fonction de Green est en 1=R2. L’intégrale dans l’équation (2.57) est donc à prendre au sens de la valeur principale de Cau- chy. On associe à l’opérateur tensoriel M, quatre opérateurs scalaires Mxx; Mxy; Myx; Myy. 2Mc x3= 2MxxMxy3 2cx3:(2.59)

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Table des matières

Introduction
1 Ondes électromagnétiques, méthodes de résolution
1.1 Équations de Maxwell
1.2 Équations de propagation, onde plane et équation de Helmholtz
1.3 Conditions aux limites
1.4 Fonction et théorème de Green
1.5 Principe de Huygens et théorème d’extinction
1.6 Approximation champ lointain
1.7 Définition de la base d’onde sphérique
1.8 Matrice de diffraction
1.9 Puissances incidente, diffusée et Surface Equivalente Radar (SER)
1.9.1 Puissances incidente, diffusée et transmise
1.9.2 Surface Equivalente Radar (SER)
1.10 Surface rugueuse aléatoire
1.10.1 Rappels statistiques
1.10.2 Génération d’une surface rugueuse
1.11 Onde incidente atténuée sur les bords
1.12 Méthodes de résolution du problème de la diffraction
1.12.1 Modèles rigoureux
1.12.2 Modèles asymptotiques hautes fréquences
1.13 Etat de l’art : le choix des méthodes
1.14 Conclusion
2 Diffusion par un diffuseur placé en espace libre
2.1 La méthode de l’Optique Physique (OP)
2.1.1 Application à une surface parfaitement conductrice (PC) en champ lointain
2.1.2 Validation de l’OP pour le cas d’une plaque PC
2.1.3 Validation de l’OP pour le cas d’une surface rugueuse PC
2.2 Diffraction par une surface lisse PC avec l’équation intégrale EFIE
2.2.1 Discrétisation de l’EFIE par la Méthode des Moments
2.2.2 Validation du modèle “MdM-EFIE” pour le cas d’une plaque lisse PC
2.3 Diffusion par une surface rugueuse avec l’équation intégrale MFIE
2.3.1 Discrétisation de la MFIE par la Méthode des Moments
2.3.2 Validation du modèle “MdM-MFIE” pour le cas d’une surface rugueuse
2.4 Forward-Backward : FB
2.4.1 Convergence de la méthode FB pour une surface rugueuse
2.4.1.1 Effet de l’état de polarisation de l’onde incidente
2.4.1.2 Effet de l’angle d’incidence θi
2.4.1.3 Effet de l’écart-type des hauteurs σz
2.5 Forward-Backward- Spectral Acceleration (FB-SA)
2.6 Conclusion
3 Diffusion d’une onde électromagnétique par deux diffuseurs
3.1 Positionnement du problème
3.2 Diffusion de la scène par la méthode des moments
3.2.1 Equations intégrales – cas de deux diffuseurs PC
3.2.2 Discrétisation par la Méthode des Moments
3.3 Méthode E-PILE étendue au cas 3D
3.3.1 Intérêt de la méthode E-PILE classique
3.3.1.1 Formulation mathématique
3.3.1.2 Interprétation physique
3.3.1.3 Convergence de E-PILE
3.3.2 Validation de E-PILE pour le cas de deux plaques lisses superposées
3.3.3 Validation de E-PILE pour le cas d’une plaque au-dessus d’une surface rugueuse
3.3.4 Effet des paramètres de la scène sur la convergence de E-PILE
3.3.4.1 Effet de l’angle d’incidence
3.3.4.2 Effet de l’état de polarisation de l’onde incidente
3.3.4.3 Effet de la taille du problème
3.3.4.4 Effet de la distance entre les deux diffuseurs
3.3.4.5 Effet de l’écart-type des hauteurs σz
3.4 Intégration de la FB dans la méthode E-PILE
3.4.1 Convergence de la méthode E-PILE+FB
3.4.2 Validation de E-PILE+FB pour le cas d’une plaque au-dessus d’une surface rugueuse
3.5 Hybridation de E-PILE par intégration de l’Optique Physique
3.5.1 Formulation mathématique de l’intégration de l’OP
3.5.2 Validation de E-PILE+OP1+OP2 pour le cas de deux plaques lisses superposées
3.5.3 Validation de E-PILE+OP1+OP2 pour le cas d’une plaque audessus d’une surface rugueuse
3.5.4 Complexité de la méthode hybride
3.6 Conclusion
Conclusion
A Représentation intégrale des champs en 3D
Bibliographie