LES RELATIONS ENTRE LES CONNAISSANCES SP ATIALES ET LES CONNAISSANCES GEOMET RIQUES
Connaissances spatiales et connaissances géométriques sont deux champs de connaissances très liés.
Historiquement, on remarque que la géométrie euclidienne servait en large partie à résoudre des problèmes spatiaux et en particulier des problèmes liés aux mesures spatiales.
Aujourd’hui la géométrie est davantage coupée des problèmes spatiaux même si elle reste « la science des situations spatiales » selon Bkouche (1990).
Un constat reste cependant sans appel, la maîtrise des relations qu’entretient un individu avec l’espace est facilitée grâce à ses connaissances géométriques qu’il applique inconsciemment dans la résolution du problème.
LES CONNAISSANCES NECESSAIRES A L’ ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE
LES CONNAISSANCES SPATIALES
Les connaissances spatiales nécessaires à toute personne sont les suivantes : le vocabulaire précis qui s’y rapporte (on parle de langage spatial), la prise de conscience des possibles changements de points de vue ainsi que des phénomènes qui s’y rapportent, l’utilisation de moyens de représentations de l’espace, etc.
L’importance de ces connaissances est prise en compte seulement à l’école maternelle. Ces connaissances disparaissent ensuite rapidement des programmes.
Pour conclure son étude sur les programmes scolaires et l’espace, Pêcheux (1990) souligne les faits suivants : « Au-delà de ces acquisitions, cruciales pour notre culture que sont la lecture et l’écriture, il nous semble que les performances spatiales sont davantage considérées comme relevant d’aptitudes individuelles, qui peuvent éventuellement être utiles pour certains métiers, mais dont on peut aisément se passer ». Dans cette citation on souligne également un fait remarquable dans l’évolution des programmes de l’école primaire puisque certaines connaissances spatiales telles que l’arpentage ou la perspective ont disparu des programmes et ne seront enseignées alors que dans des formations professionnalisantes.
De plus, les connaissances spatiales sont des connaissances très transversales qui vont entrer dans différents champs disciplinaires. On retrouvera par exemple en géographie l’élaboration et l’utilisation de cartes (points cardinaux, échelle, symbolique). De même, l’éducation physique travaillera sur l’organisation spatiale (schémas du terrain au tableau, orientation et itinéraire en course d’orientation par exemple).
LES CONNAISSANCES « SPATIO- GEOMETRIQUES »
Les connaissances « spatio-géométriques » sont selon Berthelot et Salin : « les connaissances issues du savoir géométrique et mises en jeu dans la résolution de certains problèmes de l’espace. »
Ce sont ces connaissances qui sont le plus généralement mises en œuvre à l’école. Elles concernent en particulier les formes des objets et leurs propriétés dans le but de calculer aires et volumes.
QUELS IMPACTS SUR LES COMPETENCES DES EL EVES ?
On remarque donc qu’à l’école d’aujourd’hui, trop de place est accordée aux connaissances « spatio-géométriques » et pas assez aux connaissances spatiales.
Prenons l’exemple d’une étude menée par Berthelot et Salin. Le but de cette étude était d’analyser la capacité d’élève de CM2 à réinvestir des connaissances géométriques acquises dans leur scolarité dans un contexte différent : celui d’un espace plus grand.
Alors que la majorité des élèves sont capables de tracer sur une feuille de papier (donc dans un micro-espace) un rectangle à partir des mesures de ce dernier, la plupart des élèves montrent des difficultés à la construction d’un rectangle de 7 mètres de large et 9 mètres de long. Ces difficultés se manifestent de différentes façons : certains ne construisent pas des angles droits, d’autres ont des doutes sur la construction du rectangle et sur la qualité de celuici. Berthelot et Salin font d’ailleurs remarquer qu’à la question « Es-tu sûr que c’est un rectangle ? », certains élèves répondent : « Mais peut-être qu’il y a des figures avec quatre angles droits qui ne sont pas des rectangles ». On remarque dans cette réflexion que cette activité déstabilise tous les repères de l’élève qui commence alors à douter des connaissances géométriques qu’il a acquises.
L’ETUDE DES MANUELS DE L’ECOLE ELEMENTAI RE (DU CP AU CM2)
Puisque la perspective cavalière n’est pas attendue à l’école primaire, il est intéressant d’étudier les manuels de mathématiques de l’école élémentaire (du CP au CM2) autour de deux points principaux :
l’utilisation ou non de la perspective cavalière pour représenter les solides dans les manuels ;
l’introduction ou non de la perspective cavalière et de ses normes dans les manuels.
En effet, puisque les programmes ne demandent pas aux élèves d’être capables de représenter un solide en perspective ni d’avoir des notions autour de la perspective cavalière, l’utilisation de celle-ci dans les manuels est sujet à controverse. Sans être expliquée, la représentation en trois dimensions est un obstacle supplémentaire pour les élèves.
Pour répondre à ces deux axes j’ai choisi d’étudier deux manuels différents : Cap’ Maths et Pour comprendre les mathématiques.
ETUDE DU MANUEL CAP’ MATHS
Pour étudier le manuel Cap’ Maths, j’ai choisi d’étudier les manuels par niveau du CP au CM2.
Voici les références des manuels étudiés :
– Cap’ Maths CP : Guide de l’enseignant et fichier d’entrainement
– Cap’ Maths CE1 : Guide de l’enseignant et fichier d’entrainement
– Cap’ Maths CE2 : Guide de l’enseignant et manuel de l’élève (2008)
– Cap’ Maths CM1 : Guide de l’enseignant et manuel de l’élève (2010)
– Cap’ Maths CM2 : Guide de l’enseignant et manuel de l’élève (2010) CP :
Les solides ne sont pas du tout représentés dans les situations d’apprentissage du manuel. En effet, dans les différentes situations d’apprentissage, l’enseignant doit utiliser du matériel type « Polydrons » et apporter des modèles de solides. Pour la plupart des séances, il n’y a pas d’activité sur le fichier. La seule activité qui apparaît sur le fichier est « bon de commande »
Conclusion de l’étude des manuels Cap’ Maths
Le manuel Cap’ Maths met en place une réelle progression dans la représentation des solides.
En CP, les solides ne sont pas du tout représentés dans le manuel. Ils sont ensuite souvent représentés grâce à des photographies en CE1 et en CE2. En CM, les solides sont représentés en trois dimensions, au moyen de la perspective cavalière parfois. Cette progression est intéressante puisqu’elle permet de préparer les élèves à l’apprentissage de la perspective cavalière qui sera fait en 6 ème.
De plus, le manuel Cap’ Maths fait le choix d’introduire dès la fin du CE2 la perspective cavalière. A aucun moment le manuel ne demande aux élèves de représenter un solide grâce à celle-ci mais elle est tout de même explicitée. Il est par exemple demandé aux élèves de faire le lien entre la photographie d’un solide et sa représentation en perspective cavalière. De même, celle-ci fait l’objet d’un court paragraphe expliquant ces caractéristiques : certaines faces ne sont pas visibles, certaines sont déformées et on utilise les pointillés pour représenter les arêtes cachées.
L’introduction de la perspective cavalière est donc très intéressante dans le manuel Cap’ Maths puisqu’elle est progressive et explicitée aux élèves.
ETUDE DU MANUEL POUR COMPRENDRE LES MATHEMATIQUES
Pour étudier le manuel Pour comprendre les mathématiques, j’ai choisi d’étudier les manuels par niveau du CP au CM2.
Voici les références des manuels étudiés :
– PCLM CP : Guide de l’enseignant et fichier d’entrainement (2008)
– PCLM CE1 : Fichier d’entrainement (2009)
– PCLM CE2 : Manuel de l’élève (2013)
– PCLM CM1 : Manuel de l’élève (2010)
– PCLM CM2 : Manuel de l’élève (2013) CP :
Dès les premières activités du fichier, on remarque des solides représentés en trois dimensions.
Le but de la première activité est simplement d’associer des objets « du quotidien » à des solides usuels représentés en 3 dimensions sans respecter les règles de la perspective cavalière (sans pointillés).
CM1
L’objectif principal de la première double-page dédiée aux solides est le vocabulaire (mots fléchés – solides usuels, arêtes, sommets, faces).
Il faut également retrouver un solide grâce à une série de questions/réponses le concernant (retrouver un solide à partir d’une description).On trouve sur cette double-page une première représentation d’un solide en perspective cavalière (pointillés). Les élèves doivent la reproduire. L’apparition des pointillés n’est pas du tout étayée. De plus, il faut colorier de la même couleur les arêtes qui ont la même longueur.
Or, les longueurs se soient pas conservées lorsque l’on représente une figure grâce à la perspective cavalière et ceci n’est pas du tout mis en évidence.
Conclusion de l’étude des manuels Pour comprendre les mathématiques
Le manuel Pour comprendre les mathématiques fait le choix de représenter dès le CP les solides au moyen d’une représentation en trois dimensions. Les solides seront ensuite toujours représentés de la même façon jusqu’en CM2. On remarque qu’à partir du CM1 certains solides (en particulier dans les leçons) sont représentés au moyen de la perspective cavalière.
Alors que la représentation en trois dimensions est utilisée du CP au CM2, elle n’est à aucun moment explicitée aux élèves. Seuls quelques exercices cherchent à mettre en évidence que certaines faces peuvent être cachées. Seulement, ces exercices ne constituent en aucun cas des situations-problème puisque le travail est « mâché » grâce à des propositions qui évitent les erreurs. En CM1, il est demandé de reproduire la représentation en perspective cavalière d’un solide mais il n’est pas expliqué aux élèves les caractéristiques de celle-ci.
Pour conclure, le manuel Pour comprendre les mathématiques utilise la représentation en trois dimensions du CP au CM2 et la perspective cavalière à partir du CM1 sans jamais montrer à l’élève les caractéristiques de celles-ci. Pour certains élèves cet implicite peut être un véritable obstacle en particulier pour décrire un solide : oubli des faces, arêtes ou sommets cachés et non prise en compte de la déformation des faces.
CONCLUSION
Pour conclure sur l’étude des manuels Cap’ Maths et Pour comprendre les mathématiques, onremarque que les compétences liées à la représentation en trois dimensions et à la perspective cavalière (en particulier la lecture de ses représentations) n’est pas prise en compte de la même manière selon les manuels. Alors que Cap’ Maths met en place une réelle progression tout au long de ses manuels pour permettre aux élèves d’appréhender ces notions, Pour comprendre les mathématiques utilise ses représentations très librement et sans explicitation.
L’EXPERIMENTATION EN CLASSE DE LA SITUATI ON D’APPRENTISSAGE « LE SOLIDE CACHE »
Après avoir étudié les programmes de l’école primaire, du collège et deux manuels, je me suis demandé quelles étaient les connaissances d’élèves de CM sur les solides.
Je voulais savoir dans un premier temps s’ils étaient capables de décrire un solide et comment ils le faisaient. Dans un second temps, il m’intéressait de voir comment ils s’y prenaient pour représenter un solide.
J’ai donc décidé d’expérimenter la situation « le solide caché » dans une classe de CM1-CM2 ordinaire composée de 8 filles et 15 garçons.
L’enseignant propose un lot de solides aux élèves. Un élève « stagiaire » sort de la classe.
Pendant ce temps, l’enseignant désigne un solide. Une partie des élèves restant doit écrire la description du solide choisi, l’autre partie de la classe doit réaliser un dessin pour permettre à l’élève « stagiaire » de retrouver le solide. Une fois que l’ensemble des élèves est prêt, l’élève « stagiaire » interroge ses camarades dans le but de deviner le solide choisi par l’enseignant.
Plusieurs variables entrent en compte. Le nombre de solides présents dans le lot doit être réfléchi. Une collection de dix solides semble raisonnable. Les solides du lot doivent également être choisis en connaissance de cause. En choisissant des solides non usuels et donc moins connus des élèves, les élèves ne seront pas tentés de faire des descriptions du type « C’est un cube ». Les solides désignés par l’enseignant doivent être pertinents. Le nombre de parties réalisées en classe doit permettre aux élèves d’entrer dans l’activité sans les lasser. En réalisant quatre parties, les élèves restent concentrés.
Cf. Fiche de préparation « Le solide caché »
LA DESCRIPTION DES SOLIDES
J’ai pu observer, en analysant les productions des élèves, des stratégies différentes.
Vocabulaire spécifique de la géométrie dans l’espace
Tout d’abord, certains élèves sont capables de décrire les solides en utilisant le vocabulaire spécifique de la géométrie dans l’espace : arêtes, faces, sommets.
UTILISATION DE LA SI TUATION « LE SOLIDE CACHE » POUR CONSTRUIRE UNE SEQUENCE AUTOUR DES SOLIDES EN CYCLE 3
La situation « le solide caché » telle qu’elle vous a été présentée n’est pas une situation d’apprentissage, il s’agit avant tout d’une évaluation diagnostique qui va permettre de mettre en place une séquence –s’appuyant sur les connaissances des élèves- autour des solides. Elle peut cependant être utilisée comme une situation d’apprentissage dans d’autres conditions. Cette séquence va se découper en 2 phases :
– une première phase qui va travailler autour de l’objectif « Décrire » et « Reconnaître »
– une deuxième phase qui cherchera à trouver autour des patrons « Représenter »
ACTE 1 : DECRIRE UN SOLIDE ET RECONNAITRE UN SOLIDE A PARTIR D ’UNE DESCRIPTION
L’objectif dans un premier temps est d’amener l’élève à se rendre compte que pour être efficace, la description se doit d’être précise.
En s’appuyant sur l’analyse de la description « Le solide caché » on remarque plusieurs comportements. Le but de cette phase est de montrer aux élèves l’intérêt d’utiliser le vocabulaire spécifique à la géométrie dans l’espace : arêtes, sommets, faces.
Pour parvenir à cet objectif, il faut passer par les trois situations suivantes.
Scène 1 : Le jeu du portrait
L’objectif est d’amener les élèves à utiliser le vocabulaire spécifique de la géométrie dans l’espace pour décrire un solide et non leurs propriétés qualitatives. Ainsi, l’utilisation d’un vocabulaire spécifique prend sens.
L’enseignant présente un lot de solides aux élèves. Les élèves sont par 4 et chaque groupe a un lot de solide à sa disposition. Un « farceur » cache un des solides du lot de l’enseignant dans une boite. Par groupe, les élèves doivent imaginer des questions qui permettent de retrouver le solide que le « farceur » a caché. Les questions qu’ils imaginent doivent être « fermées » : le « farceur » doit pouvoir y répondre par « oui » ou « non ». Chaque groupe doit donc construire une liste de questions qu’il posera ensuite au « farceur »
Dans un premier temps, le rôle du « farceur » peut être donné à un ou deux élèves. Cette variable permet de recueillir davantage d’interactions d’élèves pour l’enseignant.
L’enseignant, pendant ce temps, note au tableau les questions posées et les réponses formulées par le(s) « farceur(s) ». Après chaque question, l’enseignant demande si tous les groupes ont trouvé le solide. Le « jeu » s’arrête lorsque tous les groupes ont trouvé le solide caché.
Suite à ce jeu, un temps de réflexion et d’argumentation est nécessaire. L’enseignant reprend les questions des élèves une à une et demande, pour chacune d’entre elles, si elles sont utiles et si elles nous ont permis d’avancer dans la recherche. Un début de conclusion peut alors être tiré avec les élèves.
Scène 1 : Les limites des essais de perspective – Représenter un solide
Pour montrer aux élèves que les essais de perspective ne sont pas suffisants et qu’il y a un moyen plus simple de représenter un solide (en représentant ses différentes faces), il peut être intéressant de proposer un exercice de dessin aux élèves.
Les élèves sont par binôme. L’enseignant propose un solide caché dans une boîte. Les élèves essaient de le représenter. Le but est qu’un autre groupe puisse retrouver dans un lot de solides celui qui a été représenté rien qu’en observant le dessin. Il faut que les élèves réalisent un grand dessin pour la mise en commun.
On échange les dessins des élèves et on présente le lot de solides. Les élèves doivent retrouver celui qui a été représenté parmi le lot.
L’activité est réitérée en changeant les solides. La liste des conditions évolue.
A la suite de cette activité, la liste des conditions peut devenir la trace écrite.
CONCLUSION
Ce travail m’a amené à me demander quelle était la place des compétences spatiales dans l’enseignement de la géométrie dans l’espace. Pour tenter de répondre à cette question, je suis passée par différentes étapes : lectures scientifiques, études des programmes de l’éducation nationale, études de manuels et expérimentation en classe d’une situation pour construire un module d’enseignement.
Tout d’abord, mes différentes lectures m’ont permis de montrer les spécificités de l’enseignement de la géométrie dans l’espace. En particulier, deux types de compétences doivent être mises en œuvre dans cet enseignement : les compétences liées à la géométrie et les compétences liées à la structuration de l’espace.
L’étude des programmes de l’école élémentaire de 1923 à nos jours montre que les compétences spatiales ont pris une place de moins en moins importante au fur et à mesure des années. En particulier, la représentation spatiale des objets en trois dimensions a disparu des programmes de l’école élémentaire et fait à présent l’objet des programmes de mathématiques de 6 ème.
Ensuite, l’étude de deux manuels cherchait à montrer comment les compétences spatiales pouvaient être étudiées. En sortent des résultats très différents. Certains manuels font le choix de travailler différentes compétences spatiales : représentation spatiale, changement de point de vue, etc. D’autres, tout au contraire, considèrent les compétences spatiales comme acquises pour tous et les utilisent dans leurs activités sans même les expliciter. Il appartient donc aux enseignants de faire un choix dans l’utilisation de tel ou tel support pédagogique. Enparticulier, il semble que considérer les compétences spatiales acquises pour tous les élèvesest une erreur.
L’expérimentation de la situation « le solide caché » a permis de montrer que la plupart des élèves sont capables de représenter un solide grâce à différentes stratégies mais surtout grâce à des essais de perspective. L’analyse de cette situation a d’ailleurs mis en évidence que ces essais de perspective permettaient en général aux élèves de reconnaître le solide en question.
A contrario, la plupart des descriptions réalisées par les élèves sont trop imprécises et ne permettent pas de reconnaître le solide.
C’est en prenant appui sur ces différents travaux que j’ai cherché à construire un module d’apprentissage autour des solides qui travaille à la fois les compétences liées à la géométrie et exigées dans les programmes et les compétences liées à la structuration de l’espace(représentation plane d’objets de l’espace, travail sur les points de vue différents, etc.)
Tout au long de ce travail, je me suis intéressée en particulier à la compétence spatiale liée à la représentation d’un objet de l’espace. L’étude de la place de cette compétence particulière dans les programmes de l’école élémentaire m’a amené à me questionner sur l’apprentissage du dessin en général à l’école. J’ai en particulier pu remarquer que dans les anciens programmes de réels objectifs de dessin étaient attendus à l’école élémentaire. Les élèves étaient en particulier tenus de réaliser des dessins d’observations « d’objets usuels simples, d’échantillons empruntés aux règnes animal et végétal ». Il me semble que les élèves ont aujourd’hui de grandes difficultés à dessiner, à représenter ce genre d’éléments. Il pourrait être intéressant de réaliser des recherches sur ce thème autour de différents axes : l’évolution des programmes de dessin à l’école élémentaire, la vision qu’on les enseignants du dessin à l’école (temps libre, moment d’apprentissage, utilité dans les apprentissages) et les réelles capacités des élèves (représenter la position d’un camarade, dessiner l’évolution d’une plante, etc.). Au terme de ces différentes recherches, il semblerait intéressant de réfléchir à des moyens d’ancrer le dessin dans la pratique de classe.
|
Table des matières
Remerciements
Introduction
A- Cadre théorique : L’enseignement de la géométrie
1- Définition du thème
2- L’organisation spatiale
Les représentations spatiales selon Piaget, l’organisation spatiale
Les trois conceptions de l’espace selon Brousseau
3- Les connaissances spatiale et les connaissances géométriques dans les programmes
L’espace
La géométrie
4- Connaissances spatiales et connaissances géométriques. Quelles différences ? Quelles relations ?
Les différences
Les relations entre les connaissances spatiales et les connaissances géométriques
Les connaissances nécessaires à l’enseignement de la géométrie
Conclusion
B- Partie pratique : Enseigner la géométrie dans l’espace
1- Les programmes
Les programmes de l’école primaire de 1923 à 2008
La perspective dans les programmes du collège
2- L’étude des manuels de l’école élémentaire (du CP au CM2)
Etude du manuel Cap’ Maths
Etude du manuel Pour comprendre les mathématiques
Conclusion
3- L’expérimentation en classe de la situation d’apprentissage « Le solide caché »
La description des solides
La représentation des solides par le dessin
Transcription de l’enregistrement
4- Utilisation de la situation « Le solide caché » pour construire une séquence autour des solides en cycle 3
Acte 1 : Décrire un solide et reconnaître un solide à partir d’une descr iption
Acte 2 : représenter un solide
Des activités en plus
Conclusion
Sources
Annexes
