Approximations parcimonieuses non linéaires sur dictionnaires infinis et continus

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Approximations parcimonieuses linéaires et diﬀérentes ap-proches pour leur résolution

Dans cette section, nous présentons la reformulation des problèmes inverses non linéaires présentés précédemment en problèmes d’approximation parcimonieuse linéaire (APL), ainsi que les diﬀérentes approches utilisées pour les résoudre.

Une reformulation linéaire

Afin de résoudre les problèmes inverses non linéaires présentés précédemment, la reformula-tion du problème (1.1) comme un problème d’approximation parcimonieuse linéaire (APL) peut être employée. Pour les problèmes d’analyse spectrale vus précédemment, cette reformulation a par exemple été utilisée dans les travaux de [BC05]. Pour les problèmes de déconvolution impul-sionnelle, il s’agit de leur reformulation naturelle (voir par exemple [OSK94]) : l’intégrale (1.2) est approchée par une convolution discrète et les décalages sont alors recherchés parmi les ins-tants d’échantillonnage (voir § 1.5.2).
On considère ici que les paramètres non linéaires du modèle se réduisent au paramètre de localisation ν ∈ Iν (la fréquence en analyse spectrale ou la position de l’écho en déconvolu-tion impulsionnelle). La reformulation en APL consiste à discrétiser le domaine des localisations Iν = [νmin; νmax] pour former une grille régulière G = {ν¨j}j=1:J arbitrairement fine de dimen-sion J L. Les paramètres de localisation ν seront alors recherchés au sein de cette grille et leur nombre L sera supposé faible. Cette discrétisation permet de calculer le modèle h(•) pour chaque ν¨j de la grille et ainsi de regrouper les atomes hj = h(¨νj) ∈ FN×m en un dictionnaire H = [h1, . . . , hJ ] ∈ FN×mJ . Les J amplitudes xj de chaque atome hj sont regroupées au sein d’un vecteur colonne x = [xT1 , . . . , xTJ ]T de dimension mJ. Le problème d’APL s’écrit alors : J Estimer x parcimonieux tel que y = Hx + = X (1.4) hjxj + . j=1
Le modèle non linéaire ` h(ν`)x` est donc approché par la combinaison linéaire j hjxj où seulement un faible nombre d’amplitudes x sont non nulles ; il s’agit donc d’un a priori de parcimonie sur les paramètres x. Dans notre modèle, notons que nous autorisons une parcimonie structurée (m > 1), dans le sens où xj = 0 signifie que les m composantes de xj sont nulles simultanément. On définit alors le support Ω = Supp (x) comme l’ensemble des indices j tels que xj 6=0 : Ω = Supp (x) = {j ∈ J1; JK, xj 6=0} (1.5)
Cette formulation en APL permet de simplifier, en théorie, l’estimation de l’ordre du modèle L, puisqu’il s’agira du nombre de xj estimés non nuls ; soit de la dimension du support d’une solution xb : Lb = Card (Supp (x)) (1.6)
De plus, elle a aussi pour avantage de faire disparaître la non linéarité du modèle : les para-mètres de localisation sont directement estimés comme les ν¨j associés aux xj 6=0. Notons qu’une telle linéarisation du problème n’est plus valable quand l’atome continu dépend également de paramètres de forme dont la non-linéarité ne peut pas être supprimée par discrétisation3. Le problème de détection – estimer les {ν`}` et leur nombre L – est donc équivalent à l’estimation du support Ω, soit de trouver les indices pour lesquels les amplitudes sont non nulles. L’estima-tion de ces dernières est en soi un problème facile une fois le support Ω estimé ; elle peut être réalisée par moindres carrés par exemple. Dans le cadre de la résolution des problèmes inverses non linéaires considérés (1.1), la résolution du problème d’APL doit donc être vue au sens de la détection du support Ω, et non comme la recherche d’une bonne approximation Hx de y.
Notons d’ores et déjà que la discrétisation du paramètre de localisation induit nécessairement une erreur de précision qui se rajoute au bruit, puisque l’estimation des paramètres non linéaires se fait de façon discrète. Nous reviendrons sur cette complication en § 1.3.
Dans la suite de cette section, nous allons rapidement aborder les principales approches utilisées pour résoudre le problème d’APL (1.4).

Approches déterministes

Une première approche pour résoudre le problème d’APL (1.4) est de le formuler comme un problème d’optimisation bi-objectif. En eﬀet, on cherche à estimer les amplitudes x qui permettent à la fois d’approcher au mieux le signal y comme une combinaison linéaire des atomes hj du dictionnaire H, mais aussi de minimiser le nombre L d’atomes utilisés pour cette approximation. Dans un cadre déterministe, le problème (1.4) s’écrit alors comme le problème d’optimisation suivant : x Q (x; y, H ), k x k0 ) . (1.7) min ( où on définit les deux critères à minimiser simultanément suivant x :
– Q(x; y, H) est le terme d’attache aux données, et caractérise la fidélité entre de l’approxi-mation Hx vis-à-vis du signal y. Il est généralement exprimé comme la norme `p du résidu à la puissance p : Q(x; y, H) = ky − Hxkpp, où p désigne ici le degré de la norme4 (1, 2, ∞…). En général, on omettra le degré de la norme `2 : k•k = k•k2.
– kxk0 = L compte le nombre d’amplitudes xj non nulles. Bien qu’il ne s’agisse pas d’une norme, ce critère est couramment appelé pseudo-norme `0, dénomination que nous utiliserons dans la suite de ce manuscrit. Elle sera utilisée dans nos travaux au sens de la parcimonie structurée : kxk0 = Card(Supp (x)).
Trois formulations permettent d’écrire ce problème bi-objectif comme un problème d’optimisa-tion avec ou sans contraintes, que nous donnons dans les équations suivantes :
Contrainte sur la parcimonie (L ) : min Q (x; y, H ) tel que k x k0 ≤ L 0 0 x 0) : min x k0 tel que Q( x y, H) ≤ 0 (1.8)
Contrainte sur l’erreur ( x k ;
Pénalisation (λ0) : minx Q(x; y, H) + λ0kxk0
Il est bien sûr possible de discrétiser les paramètres de forme de la même façon que les paramètres de localisation, mais la taille de la grille résultante augmenterait de façon exponentielle. Un des objectifs de cette thèse étant l’estimation continue des paramètres non linéaires, nous n’insistons pas sur cette piste.

Approximations parcimonieuses linéaires et diﬀérentes approches pour leur résolution

Ces trois formulations dépendent chacune d’un paramètre auxiliaire appelés par la suite hyper-paramètre, qui permet de régler le compromis entre l’attache aux données et la parcimonie : L0 est l’ordre maximal du modèle, 0 est une erreur d’approximation à ne pas dépasser, et λ0 règle le poids de la parcimonie vis-à-vis de l’attache aux données. Dans la suite de ce manuscrit, on utilisera les termes problèmes `0 et solutions `0 pour faire référence respectivement aux formula-tions (1.8) et à leur solution. Quelle que soit la formulation choisie, le problème d’optimisation est dit NP-diﬃcile, dans le sens où il revient à un problème d’exploration combinatoire à cause de la présence de la pseudo-norme `0 [Nat95]. L’exploration de l’ensemble des configurations possibles est en eﬀet impossible en pratique. Nous revenons dans les paragraphes suivants sur les diﬀérentes directions qui ont été suivies pour tâcher d’approcher au mieux les solutions des problèmes (1.8). Dans la suite de ce chapitre, et pour l’ensemble du manuscrit, le terme d’attache aux données sera choisi comme l’erreur quadratique : Q(x; y, H) = ky − Hxk2
L’erreur quadratique pourra si besoin être pondérée par la matrice de covariance du bruit Σ (on reviendra sur cette pondération en § 1.2.3) : Q(x; y, H, Σ) = ky − Hxk2Σ−1 = (y − Hx)†Σ−1(y − Hx)

Bilan sur les deux approches en APL

Nous avons vu dans cette section que les problèmes inverses non linéaires considérés pou-vaient se reformuler comme des problèmes d’approximation parcimonieuse linéaire (APL), en discrétisant le paramètre de localisation ν sur une grille G pour construire un dictionnaire H d’atomes hj = h(¨νj), ν¨j ∈ G, qui permet d’approcher le signal y par Hx, avec x parcimonieux.
Des méthodes classiques existent pour résoudre les problèmes d’APL, et se classent en deux catégories : les approches déterministes et les approches stochastiques. Dans ces approches, nous avons mis en exergue deux méthodes permettant une résolution du problème d’APL que nous qualifions d’« optimale », dans le sens où elles permettent une prise en compte exacte de la parcimonie (dans les deux cas grâce à l’introduction de variables binaires conditionnant la nullité des amplitudes), et où la résolution du problème associé se fait de façon optimale. Nous précisons ces méthodes dans chaque approche :
– Approche déterministe : la reformulation des problèmes `0 en MIP, grâce à l’introduction de variables binaires (équivalentes aux variables de Bernoulli dans le cadre stochastique) est la seule méthode, à notre connaissance, permettant une résolution « optimale » respectant les critères définis ci-dessus. Les relaxations de la pseudo-norme `0 ne prennent pas en compte de façon exacte la parcimonie, tandis que les algorithmes de type gloutons (et heuristiques de type SMLR) ne permettent pas une résolution optimale du problème d’optimisation mis en jeu. Dans les deux cas, ces approches sont mises en diﬃculté par la forte corrélation des atomes du dictionnaire.
– Approche stochastique : le modèle Bernoulli-Gaussien permet une prise en compte exacte de la parcimonie, grâce au lien probabiliste reliant les variables (binaires) de Bernoulli aux amplitudes x. L’étude de la loi a posteriori des paramètres est faite de façon optimale à partir d’échantillons de cette loi, simulés grâce à un échantillonnage de type MCMC.
L’utilisation de telles méthodes « optimales » est nécessaire dans le cadre des problèmes inverses considérés, afin de garantir une estimation correcte du support de la solution pour répondre au problème de détection. Le prix à payer pour l’utilisation des variables binaires est cependant élevé : les deux méthodes sont particulièrement lourdes en terme de coût de calcul, d’autant plus que la taille des données N, l’ordre du modèle L ou la taille de la grille J augmente.
Enfin, notons que même pour ces méthodes optimales de résolution du problème d’APL, la perte de précision induite par la discrétisation du paramètre de localisation pour la reformula-tion du problème inverse non linéaire en APL reste problématique. En eﬀet, cette reformulation en APL est une approximation du modèle non linéaire : le paramètre de localisation est une variable continue, et il est fort peu probable qu’il appartienne exactement à la grille de discréti-sation. Outre l’erreur de précision que cela induit, le support de la solution optimale du problème d’APL peut être diﬀérent de celui de la solution du problème initial et on échoue alors à ré-soudre le problème de détection. L’augmentation de la taille J de la grille n’est pas une solution ; en conservant une estimation discrète, elle augmente davantage la corrélation du dictionnaire compliquant d’autant plus la résolution par les méthodes sous-optimales, mais apportant aussi des instabilités numériques associées à un coût de calcul d’autant plus élevé pour les méthodes optimales utilisant des variables binaires. Dans tous les cas, les paramètres de forme ne peuvent pas être pris en compte dans une reformulation en APL.
La section suivante expose des réponses pouvant être envisagées pour une estimation continue des paramètres non linéaires pour une reformulation équivalente des problèmes inverses non linéaires avec a priori de parcimonie considérés.

Approximations parcimonieuses non linéaires sur diction-naires infinis et continus

Revenons maintenant aux problèmes inverses parcimonieux initiaux (1.1), où l’on cherche à estimer les paramètres non linéaires {ν`}` de façon continue, en plus du faible ordre du modèle L et des amplitudes {x`}` des atomes continus. On peut trouver dans la littérature deux ap-proches diﬀérentes permettant notamment l’estimation continue des paramètres non linéaires. La première vise à résoudre directement ce problème en exploitant la norme atomique sur un dictionnaire infini. La seconde se place dans le cadre des approximations parcimonieuses, mais utilise un dictionnaire continu de dimension finie dont les atomes dépendent continument des paramètres non linéaires, plutôt que le dictionnaire discret des APL.
Nous distinguerons dans ce manuscrit les dictionnaires infinis et les dictionnaires continus.
Dans la littérature, le terme de dictionnaire continu est employé dans les deux approches.

Norme atomique et relaxation convexe sur dictionnaire infini

La norme atomique a été introduite par [CRPW12] et est notamment utilisée dans le cadre de l’acquisition compressée (Compress Sensing) pour l’estimation de spectres de raies [TBSR13]. Le principe est de s’exempter de la discrétisation du paramètre continu en considérant l’ensemble suivant : n o A = h(ν) ∈ FN , ν ∈ Λ ⊂ Rp
Nous appelons cet ensemble A le dictionnaire infini, dans le sens où il est de dimension infinie et où il s’agit du cas limite du dictionnaire discret H quand le nombre d’atomes J tends vers l’infini. Notons que les paramètres non linéaires ν peuvent ici contenir à la fois le paramètre de localisation mais aussi les paramètres de forme ; pour rendre les explications plus simples, nous considérons ici que les atomes h(•) sont composés d’une seule colonne (m = 1). La norme atomique d’un vecteur z ∈ FN est alors définie pour le dictionnaire infini A : k j | j ∈ A X X z kA = inf | xj , z = xj h(νj) avec h(νj)
Cette norme correspond à la généralisation au dictionnaire infini de la norme `1 sur les amplitudes du dictionnaire discret : kzkA est la plus petite norme `1 des amplitudes x permettant d’écrire le signal z comme une combinaison linéaire d’un nombre arbitraire d’éléments de A. On peut d’ailleurs considérer que la norme atomique est la relaxation convexe d’une « pseudo-norme 0-atomique » que nous notons par abus de langage k•kA,0 et définie comme : kxk0, z = Xj kzkA,0 = inf xj h(νj) avec h(νj) ∈ A
Ce terme permettrait une prise en compte exacte de la parcimonie, mais est bien évidemment diﬃcile à prendre en compte dans un problème d’optimisation, à l’image de la pénalisation `0 pour les APL. On utilise donc en pratique la norme atomique.
Dans le cas de signaux y bruités11, une reformulation du problème (1.1) similaire à celle de la pénalisation `1 est alors envisagée [BTR13] et nommée Atomic soft thresholding (AST) par analogie : min y − z k 2 + λ k z kA (1.18)
La norme atomique est une régularisation parcimonieuse [CRPW12], au même titre que la norme `1 des amplitudes, puisque que ce problème revient à trouver z approchant suﬃsamment bien le signal y et s’exprimant comme une combinaison linéaire d’éléments de A dont les amplitudes sont de norme `1 minimale. La résolution du problème d’AST (1.18) n’est pas une tâche facile ; cependant, dans des applications en acquisition compressée comme l’estimation de spectres de raies [BTR13] ou encore celle de décalages temporels en déconvolution [PSC17], le problème d’AST peut être reformulé en Semi Definite Program (SDP) permettant ainsi sa résolution à l’aide de routine d’optimisation12.
La résolution du problème d’AST a gagné en popularité grâce à de nombreux théorèmes prouvant son optimalité, notamment pour des problèmes d’estimation de spectres de raies en acquisition compressée, sous des hypothèses d’absence (ou de faible) bruit et de fréquences suf-fisamment séparées [TBSR13, BTR13]. Cependant, elle présente quelques inconvénients dans le cadre des problèmes inverses non linéaires considérés dans nos travaux. D’abord, les garanties de bonnes estimations ne sont plus toujours valables quand l’amplitude du bruit augmente. En-suite, la reformulation en SDP du problème d’AST dépendra de l’application en jeu, et donc des fonctions h(•) du dictionnaire infini. Par exemple, dans le cadre d’analyse spectrale en échan-tillonnage irrégulier, [HBLC16] explique que l’échantillonnage irrégulier typique des problèmes en astrophysique rend impossible la reformulation en SDP13. Enfin, [TBR13] démontre que la solution du problème d’AST peut être approchée par celle de la formulation de l’APL avec pé-nalisation `1 quand la grille de discrétisation devient de plus en plus fine. Bien que le problème de la corrélation du dictionnaire semble être dépassé, le problème d’AST est une relaxation convexe du problème « optimal » qui utiliserait la pénalisation « atomique-0 » ; il souﬀrira donc des mêmes problèmes que les méthodes sous-optimales dans le cas de l’APL, notamment pour nos applications.
Nous nous intéressons donc à un deuxième axe de recherche pour la résolution du problème inverse non linéaire.
Les paramètres non linéaires ν peuvent être retrouvés à partir du problème dual de (1.18) [BTR13].
En eﬀet, la reforfumation en SDP nécessite de pouvoir construire un vecteur ˜ régulièrement espacés à partir des temps t initiaux. Cela est possible dans le cas de l’acquisition compressée, où l’échantillonnage est régulier avec des données manquantes, mais c’est impossible dans le cas de l’échantillonnage spécifique aux problèmes d’astrophysique ; même si on arrive à trouver un dénominateur commun permettant de construire le vecteur t, ce dernier serait de dimension trop élevée pour une résolution par SDP.

Approximation parcimonieuse non linéaire sur dictionnaire continu

La deuxième approche reste dans le cadre des approximations parcimonieuses à dictionnaire de dimension finie, dans le sens où le problème inverse non linéaire (1.1) est abordé en cherchant approcher le signal y comme une combinaison linéaire parcimonieuse d’éléments d’un diction-naire, à la diﬀérence près que les éléments du dictionnaire ne sont plus constants et dépendent des paramètres non linéaires.
Plaçons nous d’abord dans le cas où les paramètres non linéaires sont composés uniquement d’un paramètre de localisation, comme pour les APL (i.e. υ = ?). Pour obtenir cette reformu-lation en APL, le paramètre de localisation ν est discrétisé en J valeurs discrètes ν¨j du domaine de localisation Iν = [νmin; νmax]. Au contraire, l’intervalle Iν est ici découpé en J sous-intervalles disjoints Ij de longueurs égales14 Δ : ν j ν j νmax − νmin Ij = [ min + ( − 1)Δ; min + Δ], avec Δ = (1.19)
Une telle partition du domaine des localisations, schématisée en Figure 1.2, permet donc de considérer J paramètres νj évoluant continument dans leur intervalle respectif Ij, au lieu des J paramètres ν¨j discrets appartenant à la grille G. Pour simplifier, on parlera encore de grille pour parler de cette partition de Iν . ν¨ ν¨ ν¨ APL j•−1 ][ •j ][ j•+1 APNL νj−1 ∈ Ij−1 ][ νj ∈ Ij ][ νj+1 ∈ Ij+1
Nous pouvons maintenant associer des paramètres de formes υj ∈ Iυ à chaque paramètre de localisation νj pour former les paramètres non linéaires νj = [νj, υj] ; ils permettent de préciser la forme de l’atome h(•) localisé dans l’intervalle Ij. En regroupant l’ensemble des J paramètres non linéaires νj dans le vecteur ν = [ν1, . . . , νJ ], on introduit la notation suivante : ∈ I ⇔ ∀j ∈ J1; JK, νj ∈ Ij : νj ∈ Ij et υj ∈ Iυ
Le dictionnaire discret H est alors remplacé par un dictionnaire de même dimension que nous notons H(ν), et que nous appelons dictionnaire continu dans le sens où chacun de ses J éléments h(νj), que nous appelons atome continu, dépend continument des paramètres non linéaires : H(ν) = [h(ν1), . . . , h(νJ )] ∈ FN×mJ défini pour ν ∈ I
Le problème inverse non linéaire (1.1) peut alors se reformuler de la façon suivante : J X (1.20) Estimer x parcimonieux et ν ∈ I tels que y = H(ν)x + = h(νj)xj + . j=1
Le problème (1.20) sera appelé par la suite problème d’approximation parcimonieuse non li-néaire (APNL), par analogie avec les problèmes d’APL. Le problème d’APNL permet de for-maliser exactement le problème inverse non linéaire (1.1) dans le sens où il autorise l’estimation 14Ce découpage régulier de Iν n’est pas obligatoire en théorie : on peut au contraire considérer des intervalles de tailles diﬀérentes Δj. Cependant, on simplifie ici en supposant un découpage régulier, que l’on adoptera dans l’ensemble de nos travaux continue des paramètres non linéaires, contrairement au problème d’APL. Ceci se fait au prix de la réintroduction de la non-linéarité dans le modèle puisque chaque atome continu dépend de façon non linéaire des νj. Cependant, la partition en J intervalles du domaine des localisations Iν apporte un double avantage. D’une part, elle permet l’estimation directe de l’ordre L du modèle comme la dimension du support Ω = Supp (x), de façon similaire aux problèmes d’APL (voir (1.6)). D’autre part, elle restreint l’espace de recherche des paramètres de localisations νj dans des intervalles de taille Δ, J fois plus petits que la taille de Iν . Pour les problèmes inverses considérés, la détection correcte du support Ω et des paramètres non linéaires {νj }j∈Ω corres-pondant sera donc primordiale. Notons par ailleurs que le nombre J d’atomes du dictionnaire continu H(ν) pour les APNL peut être bien plus faible que le nombre d’atome du dictionnaire discret H pour les APL, puisque que ce dernier nécessite une fine discrétisation du paramètre de localisation pour réduire les erreurs de précision. Pour les APNL, le choix de la partition du domaine des localisations se basera par exemple sur des critères de résolution pour l’analyse spectrale (au sens de la distance minimale entre deux fréquences pour pouvoir être distinguées), comme nous le verrons en § 1.5.1. Trois types d’approches ont été proposées pour bénéficier de ces avantages et essayer de résoudre ce problème d’APNL.

Bilan sur les approximations parcimonieuses non linéaires

Nous avons vu dans cette section deux façons d’appréhender l’estimation continue des para-mètres non linéaires pour la résolution des problème inverses considérés dans nos travaux (1.1). La première se base sur les dictionnaires infinis A, des espaces de dimension infinie qui re-groupent l’ensemble des atomes continus h(ν) pour ν ∈ Λ ⊂ Rp. Elle permet de définir le problème d’Atomic Soft Thresholding (1.18), équivalent sur dictionnaire infini de la pénalisation `1 sur dictionnaire discret. La seconde se place dans le cadre des approximations parcimonieuses, où au lieu de fixer les paramètres de localisation sur une grille de J paramètres discret ν¨j, on les relâche dans J intervalles Ij disjoints. Cela permet de définir le problème d’approximation parci-monieuse non linéaire (APNL, (1.20)) sur le dictionnaire continu H(ν) de dimension (N ×mJ), dont les atomes dits atomes continus dépendent de façon non linéaire des νj ∈ Ij. Des reformu-lations du problème d’APNL et des adaptations des méthodes classiques de résolution d’APL ont été proposées pour résoudre ce problème de façon sous-optimale.
Les travaux présentés dans cette section nous ont amenés à nous orienter vers deux axes de recherche présentés en section suivante.

Conclusion sur les objectifs et les pistes suivies

Nous revenons dans cette section sur l’objectif principal de cette thèse et nous justifions les pistes de recherches qui ont été poursuivies. Le plan général du manuscrit est ensuite décrit, accompagné des principales contributions scientifiques et des publications associées.

Pistes choisies pour répondre aux objectifs

Comme annoncé dès le début de ce chapitre, cette thèse vise à résoudre les problèmes inverses non linéaires avec a priori de parcimonie présentés en § 1.1 dans un cadre général. Pour répondre
la diﬃculté de tels problèmes, les résolutions envisagées, qualifiées d’« optimales », doivent répondre aux critères suivants :
la parcimonie doit être prise en compte de façon exacte ;
les méthodes de résolution employées visent à garantir de trouver la solution optimale des problèmes posés.
Nos recherches ont aussi pour objectif de bénéficier de ces travaux pour l’application à des problèmes d’actualité dans la communauté astrophysique : l’analyse spectrale de signaux irrégu-lièrement échantillonnés et plus particulièrement la détection d’exoplanètes par la méthode des vitesses radiales.
Remarque : À l’opposé de nombreux travaux, nous favorisons donc la recherche de solutions optimales au prix d’un coût de calcul plus élevé. Néanmoins, ce n’est pas un problème pour les applications d’astrophysique qui nous intéressent ; l’acquisition des données se fait généralement sur plusieurs jours, et leur traitement ne nécessite pas une mise en œuvre en temps réel. Bien sûr, nous chercherons à améliorer l’eﬃcacité de nos méthodes, mais l’optimalité des solutions reste la priorité.
Au regard des méthodes existantes pour la résolution des problèmes d’APL vues en § 1.2, et des récentes propositions pour l’estimation continue des paramètres non linéaires résumées en 1.3, nous avons décidé de focaliser nos recherches sur la reformulation en problème d’approxima-tion parcimonieuse non linéaire (APNL) utilisant un dictionnaire continu, plutôt que l’exploitation d’un dictionnaire infini pour la résolution de l’Atomic Soft Thresholding (AST). En eﬀet, comme nous l’avons vu précédemment, le problème d’AST est l’équivalent pour le dictionnaire infini de la relaxation de la pseudo-norme `0 par la norme `1 sur le dictionnaire discret. Cette for-mulation peut être considérée comme « sous-optimale » car elle ne prend pas en compte de façon exacte de la parcimonie. Elle souﬀrira des mêmes problèmes de sous-estimation des amplitudes et des fausses détections, préjudiciables pour les problèmes inverses considérés. À cela s’ajoute la diﬃculté de reformuler le problème d’AST en Semi-Definite Programming (SDP) pour certaines applications, notamment pour celles qui nous intéressent : le cas de l’échantillonnage irrégulier complique la mise en œuvre des algorithmes et l’application à la détection d’exoplanètes semble impossible. Au contraire, les problèmes d’APNL nous semblent plus prometteurs pour ces appli-cations. Nous avons donc décidé d’étudier les possibilités d’adapter aux problèmes d’APNL les méthodes de résolution d’APL répondant aux critères d’optimalité dans les cadres déterministe et stochastique, formant deux axes de recherche que nous décrivons dans les paragraphes suivant.
Le premier axe de recherche est donc l’estimation, par une approche déterministe, des am-plitudes x et des paramètres non linéaires ν pour résoudre le problème d’APNL. Dans le cadre des APL, seule la reformulation en MIP du problème `0 permet une résolution « optimale » du problème, tant sur la prise en compte de la parcimonie que sur la méthode de résolution. Dans le cadre des APNL, la non-linéarité induite par les paramètres νj rend cependant les problèmes d’optimisation non convexes et nécessairement sensibles aux minima locaux. Afin de garder un problème linéaire, on utilisera la reformulation du problème d’APNL en pro-blème d’APL sous contraintes par le principe d’interpolation de dictionnaire proposé initiale-ment par [ETS11]. Le premier verrou sera donc d’adapter la reformulation en MIP du problème `0 proposé par [BNCM16] à la présence des contraintes afin d’obtenir une résolution optimale, puisque les méthodes de résolution actuellement proposées pour ces problèmes d’APLsc sont des méthodes sous-optimales se basant sur les algorithmes gloutons ou la relaxation `1. Par ailleurs, le problème d’APLsc est bien une approximation du problème d’APNL initial, puisqu’il nécessite la linéarisation des atomes h(•). Un deuxième verrou sera donc de minimiser l’erreur d’approximation en étudiant les diﬀérentes propositions d’approximation. Enfin, des extensions au cas de la présence de paramètres de forme, ou d’atomes composés de plusieurs colonnes seront envisagées.
Le deuxième axe s’appuie sur une approche stochastique et consiste en la prise en compte des paramètres non linéaires au sein d’un modèle Bernoulli-Gaussien étendu, associé à un échan-tillonnage stochastique de la loi a posteriori pour le calcul de l’estimateur de l’EAP. Le modèle BGE proposé par [BC06] nous semble le plus approprié aux objectifs de cette thèse. L’approche envisagée par [KTHD12], d’un modèle BG classique sur grille très fine associé à une contrainte de distance minimale et à un échantillonnage stochastique, ne permet pas, quant à elle, une véritable estimation continue des paramètres non linéaires, et ne peut pas se généraliser à la présence de paramètres de formes. Nos travaux viseront donc à résoudre les problèmes d’échan-tillonnage relevés par [BC06], notamment au niveau de la convergence de l’échantillonneur, dont les échantillons peuvent rester bloqués dans des modes locaux, mais aussi des incohérences sur le schéma d’échantillonnage.
Notons qu’une étude des algorithmes gloutons avec optimisation locale pour la détection d’exoplanètes a en parallèle été menée au cours de cette thèse. Ce type de méthodes, considé-rées comme sous-optimales, ne rentre pas dans le cadre choisi pour ce manuscrit. Des premières pistes de recherche peuvent cependant être trouvées dans le rapport [Bou14], et nous avons choisi d’illustrer rapidement ces travaux dans le Chapitre 4 sur l’application à la détection des exoplanètes.
Nous détaillons maintenant le plan de la suite de ce manuscrit, en résumant les contributions apportées dans chaque axe de recherche et en y associant les publications scientifiques relatives.

Plan du manuscrit et contributions

Ce manuscrit sera composé, après ce chapitre introductif, de trois chapitres. Les Chapitres 2 et 3 exposent les résultats des recherches menées dans les deux axes de recherche décrits pré-cédemment pour la résolution des problèmes d’APNL. Le Chapitre 4 s’attèle à une application concrète de ces travaux : la détection d’exoplanètes par la méthode des vitesses radiales. Nous décrivons plus en détails le contenu de ces chapitres dans les paragraphes suivants.
Le Chapitre 2, intitulé « Interpolation de dictionnaire et reformulation MIP », s’attaque à la reformulation en problème d’APL sous contraintes du problème d’APNL grâce au principe de l’interpolation de dictionnaire. Nous commençons par étudier les travaux existant, tant sur le plan des approximations permettant d’obtenir le dictionnaire interpolé, que sur les méthodes de résolution du problème d’APL sous contraintes. Cette étude nous a révélé que le principe d’interpolation de dictionnaire n’avait pas de cadre « clair » ; nous avons donc commencé par le clarifier comme un problème d’optimisation convexe sous contraintes. Nos deux contributions majeures consistent en (i) une étude plus aboutie des diﬀérentes approximations de la littéra-ture ayant permis à des corrections pour l’interpolation polaire proposée par [ETS11] et étendue par [FDJ15] et à une revalorisation de l’approximation par K-SVD proposée par [KYHP14] grâce à une étude théorique plus poussée ; (ii) la résolution du problème d’APL sous contraintes en prenant en compte de façon exacte la parcimonie, grâce à l’introduction des variables bi-naires permettant une reformulation en Mixed Integer Program. Cette dernière contribution a fait l’objet de l’article de conférence [BC18], comparant la résolution d’APL sous contraintes avec pénalisation `1 et avec contrainte `0, pour des problèmes de déconvolution impulsionnelle.
Le Chapitre 3, intitulé « Modèle Bernoulli-Gaussien étendu et échantillonnage stochastique », rapporte nos travaux sur l’échantillonnage stochastique de la loi a posteriori du modèle Bernoulli-Gaussien étendu proposé par [BC06]. Après une étude rapide du modèle Bernoulli-Gaussien classique dans un cadre d’échantillonnage stochastique, nous revenons d’abord sur des travaux antérieurs à cette thèse permettant de valider en pratique la démarche d’échantillonnage hy-bride proposée par [BC06]. Les contributions de nos travaux se trouvent à la fois dans le cadre supervisé et non supervisé. Dans le cadre supervisé, nous proposons un échantillonnage de la loi a posteriori p(q, ν | y) marginalisée suivant les amplitudes x, accélérant la convergence de l’échantillonnage et assurant un meilleur « mélange » des échantillons. Dans le cadre non su-pervisé, l’échantillonnage direct des hyperparamètres de variances suivant leur loi a posteriori conditionnelle marginalisée en x n’est plus possible, mais nous montrons qu’un échantillonneur de type Partially Collapsed Gibbs Sampler (PCGS) [vDP08] de la loi jointe p(q, ν, x, θ | y) per-met d’exploiter l’échantillonnage suivant la loi marginale des paramètres d’intérêt : la séquence de Bernoulli q et les paramètres non linéaires ν. Ces contributions ont été publiées dans l’ar-ticle de conférence [BCBB16], où l’échantillonnage du modèle BGE est appliqué à un problème d’analyse spectrale en échantillonnage irrégulier.
Dans un souci d’uniformisation, les méthodes développées dans ces deux chapitres sont tes-tées sur les mêmes données : ce sont des signaux simulés pour des problèmes de déconvolution impulsionnelle (données de [BC18]) et d’analyse spectrale en échantillonnage irrégulier (données de [BCBB16]). Ces données sont décrites dans la section suivante, à laquelle on se référera au cours de ces deux chapitres. Notons que nous avons publié, au début de nos recherches sur l’interpolation de dictionnaire, une première comparaison des deux approches dans l’article de conférence [BC17], sur les données d’analyse spectrale en échantillonnage irrégulier. Plus pré-cisément, les résultats obtenus dans [BCBB16] sont comparés à ceux obtenus en appliquant directement la méthode de relaxation `1 pour la résolution du problème d’APL sous contraintes proposées par [FDJ15]. Le Chapitre 2 complète donc cette étude préliminaire, en exploitant nos contributions pour ce problème d’analyse spectrale. Cependant, malgré les améliorations que nous avons apportées au concept de l’interpolation de dictionnaire, le modèle BGE semble plus adapté au problème de la détection des exoplanètes.
Le Chapitre 4, intitulé « Application à la détection d’exoplanètes », exploite nos travaux sur l’estimation des paramètres du modèle BGE pour un problème d’actualité en astrophysique : la détection d’exoplanètes par la méthode des vitesses radiales, qui est un cas particulier d’analyse spectrale en échantillonnage irrégulier. Une étude de ce problème nous permettra de mettre en exergue les principaux enjeux visés par les astrophysiciens : l’estimation du nombre d’exopla-nètes et la prise en compte de l’activité stellaire. Nous pourrons alors montrer que notre modèle BGE et l’algorithme d’échantillonnage associé s’adaptent particulièrement bien à ce problème de détection et sont une excellente alternative aux méthodes actuellement utilisées par les astro-physiciens pour répondre à ces enjeux. Nous testerons d’abord notre méthode sur des données simulées sans activité stellaire afin de montrer son eﬃcacité vis-à-vis d’autres méthodes. Elle sera ensuite testée sur des données simulées avec activité stellaire issues de l’article [NFB+18] et enfin sur des données réelles.

Principe de l’interpolation de dictionnaire et travaux exis-tants

Le principe de l’« interpolation de dictionnaire » a été introduit dans le cadre des ap-proximations parcimonieuses par [ETS11]. Des extensions ont ensuite été proposées, notamment par [KYHP14, FDJ15, PPZ17]. Nous proposons dans cette section de présenter ce principe dans le cadre général des problèmes inverses non linéaires et de leur reformulation en problèmes d’APNL. Nous pourrons ainsi définir des notations et des termes génériques qui pourront être utilisés tout au long de ce chapitre, et pour commencer dans cette section, pour décrire les diﬀérents travaux existants.

Cadre général de l’interpolation de dictionnaire pour l’APNL

Nous commençons par définir un cadre général de l’interpolation de dictionnaire pour les problèmes inverses non linéaires parcimonieux (1.1), qui repose sur les hypothèses suivantes :
Les paramètres non linéaires se réduisent au paramètre de localisation : ν` = ν` ∈ R.
Les amplitudes des atomes continus sont scalaires : x` = x` ∈ Dx (m = 1), où Dx peut être R+, R ou C. Les atomes continus sont donc constitués d’une seule colonne.
C’est dans ce cadre que la plupart des travaux sur l’interpolation de dictionnaire ont été abordés. Le problème inverse (1.1) peut être reformulé en problème d’APNL, en découpant le domaine de localisation Iν = [νmin; νmax] en J intervalles Ij de largeur Δ. Nous introduisons ici des notations et des appellations spécifiques à l’interpolation de dictionnaire. En considérant la grille G = {ν¨j}j telle que ν¨j est le milieu de l’intervalle Ij, nous introduisons les décalages δj ∈ IΔ = [−Δ/2; Δ/2], caractérisant l’éloignement des paramètres de localisation νj du centre de leur intervalle : νj = ν¨j + δj, tels qu’illustrés en Figure 2.1. L’atome continu peut alors se réécrire uniquement suivant δj puisque ν¨j est fixé : h(νj) = h(¨νj + δj) = hj(δj) ; soit, en récapitulatif de ces notations :
décalages : δj = νj − ν¨j ∈ IΔ intervalle des décalages : IΔ = [−Δ/2; Δ/2]
atome continu : hj(δj) = h(¨νj + δj) = h(νj).

Une extension aux amplitudes complexes

Jusqu’à maintenant, nous avons vu les méthodes de résolution des problèmes d’APLsc et les approximations linéaires proposées (associées à leur espace de contraintes convexes) uni-quement pour des signaux à valeurs réelles et à amplitudes positives. À notre connnaissance, seul [FDJ15] a proposé une extension aux signaux à valeurs et amplitudes complexes, dans le cadre de l’optimisation convexe ; les articles travaillant dans ce cadre se basent généralement sur cette extension (par exemple [HBFR, FMC17]). Notons d’ores et déjà que l’approche proposée par [FDJ15] est très peu justifiée et souﬀre de nombreuses inexactitudes ; nous la décrivons donc succinctement dans ce paragraphe et nous y reviendrons en § 2.2.
Les auteurs proposent son extension associée à l’interpolation polaire. Sans justification théorique, ils supposent que pour hj(δj) ∈ CN , l’interpolation polaire définie en Tableau 2.1 est toujours valable : hj(δj) ≈ hejΨ(δj) où hej ∈ CN ×3 et Ψ(δj) ∈ R3. Pour pouvoir résoudre le problème d’APLsc avec des contraintes convexes, les auteurs réécrivent xej = xjΨ(δj) ∈ C3 comme la somme des parties réelle et imaginaire, positive et négative : x xr+ xr− + i xi+ − i xi− avec x•• 3 ej = ej − ej ej ej ej ∈ R+
Le problème revient donc à estimer l’ensemble des amplitudes {xe•• }j,•• que les auteurs contraignent aux espaces convexes Hj+ ∩ R3+, avec Hj+ défini en Tableau 2.1. Les auteurs proposent alors de résoudre le problème d’APLsc en utilisant la formulation pénalisée par la norme `1 : min y − H ri+−xri+− 2 λ k αri+− k1,2 (2.10)
Si les valeurs singulières sont rangées dans l’ordre décroissant.
où Heri+− = [He, −He, iHe, −iHe] xri+− = [xr+T , xr−T , xi+T , xi−T ]T e ⇔ ∀e •• e ∈ e ∩ e xri+− ∈ C (j, ), xj•• Hj+ R+3.
Une norme mixte `1,2 est utilisée sur les premières composantes pour favoriser leur mise à zéro simultanée. Cette formulation est nommée Complex Continuous Basis Pursuit (CCBP), par extension du CBP proposé par [ETS11].
Une fois qu’une estimation des xeri+− ∈ C est obtenue par la résolution du problème ci-dessus, l’auteur ne précise pas comment reconstruire les paramètres initiaux (xj, δj), mais on peut déduire la méthode employée à partir des codes mis à disposition de la communauté8. Nous y reviendrons en § 2.2.3.

Bilan

Dans cette section, nous avons donc pu exposer le principe de l’interpolation de dictionnaire pour la reformulation en APLsc des problèmes inverses non linéaires parcimonieux, et poser un ensemble de définitions et de notations qui nous serviront dans la suite de ce chapitre.
Notons déjà que nous n’approfondirons pas les approches gloutonnes pour la résolution du problème d’APLsc, ni les méthodes d’identification des paramètres initiaux à partir des xj ∈ H+ e j
estimés. Pour cela, nous nous référons à la remarque eﬀectuée en fin de § 2.1.3.
Pour rappel, l’objectif de nos travaux est de résoudre les problèmes inverses parcimonieux non linéaires présentés en § 1.1 de façon « optimale », notamment dans le sens où la parcimonie doit être prise de façon exacte. Les travaux sur l’interpolation de dictionnaire, tels que présentés dans cette section, présentent donc pour le moment des verrous importants pour atteindre notre objectif.
Un premier verrou est l’exploitation de l’interpolation de dictionnaire de façon correcte et justifiée pour des atomes continus à amplitudes réelles ou complexes (Dx = F). En eﬀet, les travaux ont d’abord été proposés dans le cas où Dx = R+ par [ETS11] et ont ainsi pu être utilisés dans ce cadre (voir par exemple [MMSC]). Cependant, l’extension aux amplitudes réelles ou complexes proposée par [FDJ15] est très peu justifiée, et nous lui avons trouvé certaines limites lors de notre étude. Par ailleurs, les auteurs de [DP17], dans leur étude des propriétés du CBP de [ETS11] avec approximation de Taylor dans le cas Dx = R+, précisent bien que le passage à Dx = F demande une étude plus approfondie. Ces derniers proposent l’extension de [FCPC13] au cas Dx = C ; cependant, cette dernière nécessite l’utilisation d’optimisation non convexe et non lisse, et ne rentre donc pas dans le cadre de nos travaux. Par conséquent, nous étudierons en § 2.2, de façon plus approfondie, l’extension au cas Dx = F dans le cadre de l’optimisation convexe.
Ensuite, la principale limite réside dans les méthodes de résolution du problème d’APLsc, de type pénalisation `1 ou approches gloutonnes. Ces approches sous-optimales ne prennent pas en compte de façon exacte la parcimonie. [FDJ15] relevait d’ailleurs des limites à ces méthodes dans le cas de l’application à des problèmes d’estimation de fréquences ; bien que l’approximation linéaire permettrait en théorie de choisir un dictionnaire interpolé moins dense (J plus faible que pour un problème d’APL) et donc moins corrélé, il est tout de même nécessaire de limiter la taille des intervalles Δ afin que l’erreur d’approximation ne soit pas trop élevée. Le diction-naire interpolé peut donc montrer une corrélation suﬃsamment élevée pour mettre en échec ces méthodes sous-optimales. Afin de prendre en compte de façon exacte la parcimonie, nous propo-serons donc une adaptation de la reformulation en MIP du problème exploitant la pseudo-norme Voir à l’adresse suivante www.sparsesampling.com/cpe, la fonction ccbp.m.

Principe de l’interpolation de dictionnaire et travaux existants

`0, en l’adaptant à la présence des contraintes, et aux extensions à Dx = F eﬀectuées en § 2.2. Il s’agira de la principale contribution de ce chapitre. Notons que nous reviendrons aussi sur la résolution par pénalisation `1, étendue à Dx = F. L’ensemble de ces travaux seront présentés en 2.3.
Enfin, nous avons vu de nombreuses propositions d’approximations linéaires, mais la caracté-risation de celle qui permet la meilleure détection du support n’est pas évidente. En Figure 2.3, nous avons récupéré des illustrations des erreurs d’approximation9 à partir de [ETS11, PPZ17]. L’interpolation polaire, qui nous semble être la plus utilisée (par exemple [MMSC, FMC17, MD16]), donne généralement une erreur d’approximation moyenne faible (davantage que les ap-proximations de Taylor), mais l’erreur maximale est plus élevée que celle des approximations Minimax ou par K-SVD. Nous verrons tout au long de ce chapitre que l’erreur d’approximation n’est pas le seul critère de choix de l’approximation linéaire. Nous reviendrons davantage sur l’interpolation polaire et l’approximation par K-SVD en § 2.4. Pour la première, nous revien-drons sur la définition de l’approximation, notamment pour hj(δj) ∈ CN et nous proposerons un espace de contraintes convexe défini à partir de contraintes linéaires. Pour la seconde, nous reviendrons sur la définition de l’espace des contraintes et sur son caractère discret, afin de dé-finir une variante continue. L’approximation Minimax semble intéressante mais sa proposition étant récente, nous n’avons pas pu l’étudier plus en détails. Notons cependant qu’elle minimise bien l’erreur maximale d’approximation, mais pour un interpolateur Ψ(•) donné, ce qui est un caractère limitant.

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Problèmes inverses non linéaires exploitant un a priori de parcimonie
1.1.1 Problèmes inverses non linéaires considérés
1.1.2 Un premier exemple : déconvolution de trains d’impulsions
1.1.3 Un second exemple : analyse spectrale de signaux irrégulièrement échantillonnés
1.2 Approximations parcimonieuses linéaires et différentes approches pour leur résolution
1.2.1 Une reformulation linéaire
1.2.2 Approches déterministes
1.2.3 Approches stochastiques
1.2.4 Bilan sur les deux approches en APL
1.3 Approximations parcimonieuses non linéaires sur dictionnaires infinis et continus
1.3.1 Norme atomique et relaxation convexe sur dictionnaire infini
1.3.2 Approximation parcimonieuse non linéaire sur dictionnaire continu
1.3.3 Bilan sur les approximations parcimonieuses non linéaires
1.4 Conclusion sur les objectifs et les pistes suivies
1.4.1 Pistes choisies pour répondre aux objectifs
1.4.2 Plan du manuscrit et contributions
1.5 Données tests
1.5.1 Données tests d’analyse spectrale en échantillonnage irrégulier
1.5.2 Données tests de déconvolution impulsionnelle
2 Interpolation de dictionnaire et reformulation MIP
2.1 Principe de l’interpolation de dictionnaire et travaux existants
2.1.1 Cadre général de l’interpolation de dictionnaire pour l’APNL
2.1.2 Résolution du problème d’APLsc avec Dx = R+
2.1.3 Différentes interpolations de dictionnaire avec Dx = R+
2.1.4 Une extension aux amplitudes complexes
2.1.5 Bilan
2.2 Étude de l’espace des contraintes
2.2.1 Cadre général
2.2.2 Cas des amplitudes à valeurs réelles
2.2.3 Cas des amplitudes à valeurs complexes
2.2.4 Bilan
2.3 Vers une résolution optimale des problèmes d’APLsc
2.3.1 Une résolution optimale avec la pseudo-norme `0
2.3.2 Prise en compte des contraintes pour la résolution avec pénalisation `1
2.3.3 Bilan
2.4 Contributions pour l’interpolation de dictionnaire
2.4.1 Interpolation polaire
2.4.2 Approximation par K-SVD
2.5 Application sur les données de déconvolution impulsionnelle
2.5.1 Réglages des paramètres des méthodes pour les tests
2.5.2 Comparaison des méthodes de résolution `1 et `0 avec interpolation polaire
2.5.3 Comparaison des interpolations de dictionnaire avec résolution `0
2.5.4 Bilan
2.6 Extension de l’interpolation de dictionnaire pour l’application à l’analyse spectrale
2.6.1 Modèle cosinus et sinus et parcimonie structurée
2.6.2 Modèle cosinus+phase et paramètres de forme
2.6.3 Comparaison des différentes formulations proposées sur le signal test
2.7 Conclusion
3 Modèle Bernoulli-Gaussien étendu et échantillonnage stochastique
3.1 Modèle Bernoulli-Gaussien pour la résolution d’APL
3.1.1 Expression de la loi a posteriori
3.1.2 Estimation à partir d’échantillons de la loi a posteriori
3.1.3 Échantillonnage stochastique de la loi a posteriori
3.2 Modèle BGE : premiers algorithmes d’échantillonnage de la loi jointe
3.2.1 Modèle BG étendu et algorithme Gibbs-hybride
3.2.2 Modèle BG à dimension variable et algorithme RJGS
3.2.3 Choix du modèle BGE avec échantillonnage Gibbs-hybride
3.3 Échantillonnage de la loi a posteriori marginalisée dans le cadre supervisé
3.3.1 Algorithme d’échantillonnage de la loi marginalisée
3.3.2 Astuces calculatoires pour l’échantillonnage de qj
3.3.3 Astuces calculatoires pour l’échantillonnage des νj
3.3.4 Bilan sur l’échantillonnage de la loi a posteriori marginalisée dans le cadre supervisé
3.4 Échantillonnage exploitant la marginalisation dans le cadre non supervisé
3.4.1 Échantillonnage de type Partially Collapsed Gibbs Sampler pour le modèle BGE
3.4.2 Astuces calculatoires pour l’implémentation du PCGS
3.4.3 Conseils pour le réglage des lois a priori pour les hyperparamètres
3.5 Application du modèle BGE et de l’échantillonneur associé aux données tests
3.5.1 Modèle BGE pour un problème d’analyse spectrale
3.5.2 Étude d’une réalisation typique des échantillonneurs et proposition d’une nouvelle stratégie d’estimation
3.5.3 Comparaison des échantillonneurs sur 50 graines
3.5.4 Étude du réglage des lois a priori des hyperparamètres
3.5.5 Application sur les données de déconvolution impulsionnelle
3.5.6 Bilan sur les tests du modèle BGE et des échantillonneurs associés
3.6 Conclusion
4 Application à la détection d’exoplanètes
4.1 Détection d’exoplanètes par l’analyse des vitesses radiales
4.1.1 Principe de la détection d’exoplanètes par l’analyse des vitesses radiales : formulation d’un problème inverse
4.1.2 Méthodes pour l’estimation des paramètres orbitaux
4.1.3 L’activité stellaire, un véritable enjeu
4.1.4 Le nombre d’exoplanètes
4.1.5 Bilan : la parcimonie, une alternative
4.2 Modélisation BGE et échantillonneur associé pour la détection d’exoplanètes
4.2.1 Reparamétrisation du modèle
4.2.2 Reformulation en APNL via le découpage du domaine des localisations
4.2.3 Modèle BGE et échantillonnage associé
4.2.4 Détection des exoplanètes via l’estimation des paramètres
4.2.5 Bilan
4.3 Tests sur des données simulées sans activité stellaire
4.3.1 Les données
4.3.2 Un premier essai : algorithmes gloutons avec descente de gradient
4.3.3 Exploitation du modèle BGE et de l’échantillonneur associé
4.3.4 Bilan
4.4 Tests sur des données avec activité stellaire
4.4.1 Les données
4.4.2 Réglages du modèle BGE et de l’échantillonneur associé
4.4.3 Résultats
4.5 Premiers tests sur des données réelles
4.5.1 Système HD40307
4.5.2 Système CoRoT-7
4.6 Conclusion
Conclusion générale
Annexes
A Annexe du chapitre 2
A.1 Démonstration du théorème 1 p. 61 sur l’expression des paramètres r et θ pour l’interpolation polaire
A.2 Démonstration du théorème 2 p. 68 sur la K-SVD continue
A.3 Expressions analytiques de B∞ pour l’approximation par K-SVD continue
A.3.1 Analyse spectrale – modèle cosinus et sinus
A.3.2 Analyse spectrale – modèle cosinus+phase
B Annexe du chapitre 3
B.1 Rappel de quelques théorèmes sur les matrices
B.2 Calcul de la loi marginale
B.3 Lois a posteriori conditionnelles en qj
B.4 Simplification de Ψqj grâce aux matrices T et γ
B.5 Simplification des matrices T et γ avec la factorisation de Cholesky F
B.6 Mise à jour du facteur de Cholesky F
B.7 Cadre non supervisé: échantillonnage des variances avec une étape de MétropolisHastings
Liste des tableaux
Bibliographie