Validation d’un modèle numérique réduit adapté à la simulation temporelle de chocs

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Analyse des systèmes non-linéaires à jeu

De nombreux systèmes industriels peuvent être considérés comme des modèles globalement linéaires auxquels s’ajoutent des non-linéarités localisées. Les excitations auxquelles sont soumises ces structures peuvent être de trois types : harmonique (excitation par le balourd d’un arbre en rotation,…), détermini ste (excitation par un impact maîtrisé,…) ou aléatoire (excitation par le vent,…). Dans le do maine du nucléaire, plusieurs systèmes de cette nature sont étudiés : les tubes de générateurde vapeur multi-supportés par des plaques entretoise sous excitation aléatoire, l’interaction entre les différentes ailettes d’une roue aubagée de turbine sous excitation harmonique, la réponse des cœurs de réacteur au séisme, etc. Dans le cas de non-linéarités de type contactou impact, des phénomènes d’usure, de fatigue ou de bruit peuvent apparaître. Dans les prochaines sous-sections, différentes méthodes d’analyse applicables aux systèmes non-linéaires sont présentées. Dans un premier temps, en 2.1.1, on rassemble des méthodes essayant de prédire le type de comportemen de systèmes à jeux sous excitation harmonique. En 2.1.2, on introduit des méthodes donnant des informations plus quantitatives (DSP ou densité de probabilité) pour des systèmes ous excitation aléatoire. En 2.1.3, on présente la linéarisation statistique, permettant ’approcherd une faible non-linéarité par un système linéaire. En 2.1.4, on aborde brièvement laconstruction de modes non-linéaires (MNL). Enfin, la construction d’un système stochastique linéaire équivalent (ELSS) est abordée en 2.1.5. Des conclusions partielles sont exprimées en 2.1.6.

Excitation harmonique

Les premiers travaux concernant la dynamique du régime établi des systèmes non-linéaires portaient sur des systèmes à un degré deliberté. Parmi ces travaux sur les systèmes à choc on peut citer [Hol1,Sha1] qui étudient un système à 1 DDL à choc avec excitation harmonique. Un tel modèle peut représenter une balle rebondissante ou un système masse-ressort mais aussi un mode de tube. En supposant que la dissipation n’a lieu que lors des chocs, il est possible d’obtenir une représentationanalytique du mouvement entre les chocs. La loi de rebond permet ensuite de décrire l’évolution au moment des chocs, supposés instantanés : la vitesse après impact est inférieuren valeur absolue à la vitesse avant impact [Hol1] voire nulle [Sha1].

En étudiant les points fixes de l’application associant à (ti,vi) les instant et vitesse (ti+1,vi+1) du choc (i+1), on peut cartographier les différents types de comportement en fonction des paramètres du système tels que la fréquence ou l’amplitude de l’excitation. La stabilité de ces points fixes est riche de conséquences. On observedes comportements périodiques de période multiple de l’excitation harmonique, des bifurcations avec doublement de la période, des transitions avec diminution de la période, des comportements de très longue période et même des comportements chaotiques.

Dans [Gon1] un système similaire est traité mais l’obstacle n’est plus placé à la position d’équilibre de l’oscillateur. Les points fixes des sections de Poincaré (ti,vi) sont de nouveau étudiés. La recherche ne se limite plus aux comportements ne contenant qu’un rebond. Des mouvements périodiques de périoden fois la période de l’excitation et comprenant k rebonds sont exhibés. Par une méthode de continuation, on onstruitc le diagramme des bifurcations et ces comportements sont suivis dans l’espace des paramètres. Une cascade de bifurcations est calculée de manière précise. On obtient ainsi des omportementsc chaotiques, gouvernés par un attracteur étrange. L’espace des paramètres du modèle est alors partitionné en fonction des comportements prédits ; pour une même valeur des par mètres, plusieurs attracteurs peuvent coexister et les conditions initiales conditionnent alors le comportement du système. Ces méthodes sont adaptées pour être appliquées à un stèmesy à plusieurs DDL [Tou1]. Les mêmes types de comportements (cascade de bifurcation, transition vers le chaos, …) sont retrouvés analytiquement. Ces résultats sont confirmés par des expériences. Il faut souligner que prendre en compte plusieurs degrés de liberté ste important : la stabilité des points fixes est modifiée. Des résultats équivalents sont trouvés dans [Knu1] pour une poutre amortie à chocs, modélisant un assemblage combustible. Pour les comportements périodiques, la puissance d’usure est estimée en fonction de la fréquence d’excitation. Des algorithmes ont été développés pour trouver numériquement les instants de contact.

La généralisation de ces méthodes pour des systèmesàplus grand nombre de DDL est vite très coûteuse. Dans [Van1], l’espace d’état est découpé en cellules. Par le calcul, on sait en quelle cellule est transformée une cellule donnée prèsa une certaine durée. On peut donc trouver les comportements périodiques. Le découpagede l’espace d’état est optimisé pour diminuer les temps de calcul. Ainsi, on a accès au déplacement maximal d’un point de la structure en fonction de la fréquence d’excitation. On calcule alors de nombreuses sous-harmoniques, associés à des périodes plus longues que celle de l’excitation. Les branches stables et instables sont discriminées. Ces résultats sont confrontés à des résultats expérimentaux. La méthode, appliquée à un système deuxà DDL, permet de cartographier le comportement à long terme en fonction des condition s initiales. Cette cartographie est très chahutée, mettant ainsi en évidence l’extrême sensibilité des systèmes non-linéaires aux conditions initiales. La dynamique oscille de manière très différente autour des différents attracteurs même pour des conditions initiales trèsproches : ce phénomène, vulgarisé sous le nom « d’effet papillon », a été pour la première fois présenté dans le cadre de la prévision météorologique par Lorenz [Lor1].

Les systèmes réels ne peuvent être qu’approchés parun système à un degré de liberté. Une discrétisation élément fini peut être suffisanteVan1]([ considère une poutre contrainte en déplacement en un nœud par une raideur purement élastique ou un contact de Hertz). La généralisation classique consiste à prendre en compte une base modale. Par exemple, [Erv1] considère une masse reliée par deux poutres à un bâti ayant un mouvement harmonique. En section 3.3, on analysera des bases de réduction plus riches que la base modale.

La gestion de chocs non instantanés est abordée en[Erv1]. Le contact est traité par une méthode de pénalisation. Ainsi, les expressions analytiques de l’évolution du déplacement sont accessibles pour les phases sans contact (système libre) et avec contact (système contraint). En calculant précisément les instants ed contact et en projetant lors de la transition les coordonnées modales sur la base adéquate, on résout de proche en proche les phases de vol libre et de contact. On retrouve les cascades de bifurcation décrits dans [Sha1] ou [Tou1]. Les simulations et des essais ont montré que le comportement est plus complexe quand la raideur de contact est forte et/ou que l’amortissement structurel est faible. La position du point de contact et le jeu ont une influence notable. Il est important de noter que même si quelques modes suffisent à projeter la dynamique, i ls balaient un large spectre de fréquences.

En conclusion, des méthodes analytiques ont été développées pour distinguer les différents comportements à long-terme multi-impacts, multi-périodes de systèmes à multiples degrés de liberté, pour une zone de contact (unilatéral ou bilatéral, de Hertz ou relation pénétration/effort). Ces méthodes sont basées sura recherchel des points fixes de section de Poincaré de l’espace d’état et de leur stabilitéDes. attracteurs, des diagrammes de bifurcation et des comportements chaotiques sont exhibés. L’extrême sensibilité aux conditions initiales est mise en évidence. Les résultats sont surtout descriptifs des comportements possibles.

Le passage à des méthodes numériques est clairement une extension utile pour traiter des comportements plus complexes. Par exemple, [Dor1, Liu1] traite un système composé de deux masses liées rigidement avec contact-frottemen au niveau des deux masses et la possibilités de contacts simultanés multiples. Différents modes de comportement peuvent émerger en fonction des caractéristiques géométriques du système, des paramètres de l’excitation et du modèle de contact, notamment un mouvement global de dérive où le système se translate horizontalement à une vitesse quasi-constante. Ces phénomènes sont vérifiés expérimentalement et permettraient de mieux comprendre l’arrangement d’un milieu granulaire vibrant.

Excitation aléatoire

Pour l’application considérée ici, l’excitation parle fluide n’est pas harmonique. Les méthodes précédentes ne sont donc pas directementxploitables. L’intégration numérique est l’approche la plus simple pour prendre en compte cette excitation. On peut cependant chercher à retrouver certaines caractéristiques des comportements harmoniques.

Van de Wouw considère en [Van2] une poutre d’Euler excitée par la base et avec un contact à l’extrémité libre. De l’amortissement hystérétique peut être ajouté au modèle de contact [DeK1]. La dynamique est projetée sur une base constituée des quelques premiers modes propres libres de la structure. Il est montréque le comportement calculé avec plus d’un mode est plus complexe que celui calculé avec un seul mode. Les DSP simulées, comparativement à celles mesurées, sont aussi mieux estimées. La table vibrante est animée d’un mouvement aléatoire. Ce bruit est filtré sur différentes bandes de fréquence. Cela permet d’exhiber le phénomène suivant : sif1 est la première fréquence propre libre, exciter par un bruit filtré par un passe-bande centré sur un multiple de f1 entraîne une réponse très large-bande et dont le niveau maximal est atteint sur un pic centré sur f1. On remarque aussi la présence d’harmoniques de f1. La non-linéarité de choc a donc réparti l’énergiesur une large gamme de fréquences.

Cette répartition de l’énergie est mise en évidenceavec une excitation déterministe mais de faible largeur de bande, de nouveau dans le cadre d’une poutre à chocs [Sam1]. Le système est considéré comme aléatoire : les matrices de masse, raideur et amortissement, ainsi que la raideur de contact sont probabilisées. Le jeu est un paramètre de l’étude. Pour chaque valeur du jeu, on tire donc un certain nombre (2000) de configurations du modèle. Un degré de non-linéarité est défini comme le rapport entre le jeuet l’amplitude de l’excitation. Les simulations numériques issues des différents tirages sont effectuées sur base modale avec un schéma de Newmark inconditionnellement stable. La base modale construite ici est plus riche que pour les études précédentes : 40 modes sont considérés, pour une excitation centrée autour du deuxième mode, les premier et sixième modes étant respectivement à 26,9 Hz et 1685 Hz. Des intervalles de confiance sur la répartition spectrale de l’énergie mécanique sont alors calculés pour chaque valeur du jeu. On tire deux enseignements de cette étude. Quelque soit le degré de non-linéarité, même très faible, quic correspond à un système presque linéaire, le contenu spectral des réponses est à beaucoup plus large bande que la bande étroite considérée en excitation. En regardant la proportion d’énergie mécanique hors de la bande d’injection, on peut classer l’effet de la non-linéarité : celle-ci a un effet maximal pour une non-linéarité moyenne, ni trop grande, ni trop faible. On retient des deux études précédentes que l’on peut effectuer des calculs sur base modale, qui doit être assez riche si on s’intéresseà des critères énergétiques. La non-linéarité de type choc répartit l’énergie mécanique sur uneargel gamme de fréquences. On retrouve cependant les grands comportements de l’excitation harmonique (présence de sous-harmoniques, …).

Comme autre application d’intérêt, on peut citer Col1][ qui optimise et analyse la sensibilité des paramètres d’un absorbeur dynamiquecouplé à un pendule choquant dans le but de limiter les déplacements d’une structure de génie civil sous l’effet de sollicitations aléatoires (vent ou séisme).

Linéarisation statistique

Les méthodes de linéarisation équivalente ou de linéarisation statistique [Rob1], cherchent à représenter le système non linéaire parun système linéaire approchant la dynamique Mq h ( q , q ; ) f ( t),ɺɺ ɺ (2.1) où M est une matrice symétrique réelle définie positivede taille N× N, h un vecteur de longueur N regroupant les efforts non linéaires portant sur les déplacements q et les vitesses qɺ, f(t) un vecteur de longueur N représentant le chargement extérieur. La non-linéarité h dépend de paramètres tels que le jeu, la raideur decontact, un amortissement de choc, etc. regroupés dans le vecteur. On cherche un système linéaire équivalent sous laforme ɺɺ ɺ  Ke qe  f (t), (2.2) où l’indice e fait référence à « équivalent » ;Me, Ce et Ke sont de taille (N,N) et qe est un vecteur de longueur N. Ces quatre quantités dépendent évidemment de . On ne rappelle pas explicitement cette dépendance dans les équations uivantes, afin de ne pas les alourdir.

Le mouvement du système équivalent (2.2) n’est pas identique à celui du système non linéaire, le déplacementqe ne vérifie donc pas l’équation (2.1). On cherche donc les matrices Me, Ce et Ke minimisant, le plus souvent au sens de la norme quadratique, l’une des deux erreurs suivantes ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ  Ke qe , (2.3)

 e (t; ) Mqe h (qe , qe; ) M e qe Ce qe ɺɺɺɺɺɺ(2.4)

 (t; ) Mq h(q, q; ) M e q Ce q Ke q.

Si on a résolu numériquement la dynamique (2.1), l’utilisation de l’erreur (2.4) permet de conclure. On parle alors de linéarisation vraie. Sinon, on boucle la résolution de (2.2) avec une minimisation de l’erreur (2.3). Comme qe dépend de Me, Ce et Ke, on itère jusqu’à convergence, mais celle-ci n’est pas garantie. Le plus souvent, on se donne des hypothèses sur la réponse qe. Comme la réponse d’un système linéaire à une excitation gaussienne est gaussienne, souvent, les excitations sont supposées gaussiennes. On parle alors de linéarisation gaussienneet les matrices équivalentes sont calculées par les expressions  M e ( ) M

Caractérisation spectrale des processus

L’étude du tube à chocs réalisée est l’étude d’un ystème mécanique déterministe (le tube libre), soumis à un effort aléatoire injecté par lepot et un effort non-linéaire dû aux forces de chocs. Les déplacements ou autres grandeurs vibratoires obtenus numériquement ou expérimentalement sont donc des processus aléatoires. Lorsqu’une configuration d’étude est figée, on peut obtenir plusieurs échantillons de ces grandeurs en réalisant plusieurs calculs ou plusieurs essais. Ces échantillons diffèrent par untirage différent de l’effort aléatoire injecté par le pot. Comme on ne peut pas tirer un nombre infini d’échantillons de longueur infinie, on doit extraire de l’information des quelques tirages disponibles.
L’étude des vibrations aléatoires est un domaine asez récent. Dans son historique des vibrations aléatoires, L. Paez fait remonter les premières applications pratiques au début des années 50 [Pae1], notamment la réponse de structure à une excitation par du bruit généré par des moteurs à réaction. La théorie permettant ces pplications s’est construite durant la première moitié du XXème siècle, le premier articletraitant de manière mathématique les vibrations aléatoires paraissant en 1905 : l’article d’A. Einstein sur le mouvement brownien. L’outil fondamental permettant l’étude des structures mécaniques stationnaires a été formalisé en 1930 par N. Wiener : la Densité Spectrale de Puissance (DSP). Ainsi, un signal aléatoire stationnaire est décrit par la répartition fréquentielle du carré de son amplitude, ce qui se rapproche de l’approche modale utilisée pour décrire les systèmes linéaires : par bande de fréquences, on a la répartition de la participationà la valeur RMS du signal.
Dans un premier temps, en section 2.3.1, on s’intéresse aux questions de stationnarité et d’ergodicité, qui donnent des hypothèses sous lesquelles on peut extraire de l’information de quelques tirages de durée finie. Dans un deuxième emps,t en section 2.3.2, on présente notre grandeur d’intérêt, la Densité Spectrale de Puissance (DSP).

Stationnarité et ergodicité

De nombreuses applications en mécanique des vibrations aléatoires sont étudiées. Par exemple, les vibrations de crayons combustibles soumis à un effort fluide, donc aléatoire et réparti, sont étudiées par L. Perotin et S. Grangerdans [Per1]. L’effort étant supposé stationnaire et gaussien, on arrive à le caractériser par le biais de mesures de déplacements. Des structures à chocs sont l’objet de développements mathématiques. En supposant un effort dépendant de manière non linéaire du déplacement, . SBellizzi et R. Bouc obtiennent la densité de probabilité des déplacements [Bel1]. L’effort extérieur est encore une fois supposé stationnaire et gaussien. Les déplacements sont a priori supposés stationnaires. Il semble que la stationnarité soit toujours requise mais rarement testée. Peu de critères sont définis dans le cadre de la mesure en vibration. L’ergodicité est souvent supposée.
L’économétrie consiste en l’application de notions statistiques à des grandeurs économiques. De nombreux auteurs s’intéressent à la notion de stationnarité et d’ergodicité des données et modèles, par exemple [Cor1, Dom1 etSin1]. Ces travaux concernent des développements mathématiques sur différents modèlesde données. L’approche retenue est cependant beaucoup trop spécifique et abstraite pour être applicable à notre cas d’intérêt. Néanmoins, on retient que des recherches continuent à être faites pour trouver des tests pratiques de stationnarité et d’ergodicité.
Définitions générales
Définissons dans un premier temps stationnarité etergodicité. On s’intéresse ici à un processus stochastique X à valeurs réelles. Pour simplifier, on considère par exemple une coordonnée du déplacement d’un nœud mais les notions se transposent de manière immédiate à des processus à valeurs vectorielles. Concrètemen t, on dispose de M tirages (x1,…x M) de longueur finie [0 ; T]. La Figure 2.2 montre trois tirages différents d’un même processus : le déplacement d’un nœud pour différents tirages de l’excitation. On voit qu’on peut effectuer deux types de moyennes sur ces différents tirages :des moyennes statistiques et des moyennes temporelles. À chaque instant, on peut moyenner sur les différents tirages ; si ces moyennes statistiques, comme la moyenne ou l’écart-type, ne dépendent pas de l’instant, on parle de stationnarité. Pour chaque tirage, on peut moyenner sur les différents instants ; si ces moyennes temporelles ne dépendent pas de l’échantillon, on parle d’ ergodicité. La stationnarité nécessite beaucoup de tirages, l’ergodicité nécessite des tirages longs. Si le processus est stationnaire et ergodique, les moyennes statistiques et temporelles sont égales. De plus, les moyennes statistiques sont alors indépendantes de l’instant et peuvent être calculées par moyenne temporelle sur un échantillonsuffisamment long.

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Table des matières

Table des matières
Chapitre 1. Introduction générale
1.1. Contexte industriel et problème posé
1.2. Plan général et apports de la thèse
Chapitre 2. État de l’art
2.1. Analyse des systèmes non-linéaires à jeu
2.1.1. Excitation harmonique
2.1.2. Excitation aléatoire
2.1.3. Linéarisation statistique
2.1.4. Difficulté d’utilisation des modes non-linéaires
2.1.5. Système stochastique linéaire équivalent
2.1.6. Conclusion
2.2. Schéma d’intégration temporelle non-linéaire
2.2.1. Principe du schéma de Newmark et implémentation non-linéaire
2.2.2. Propriétés du schéma
2.2.3. Bilan d’énergie
2.3. Caractérisation spectrale des processus
2.3.1. Stationnarité et ergodicité
2.3.2. Estimateur de DSP
2.3.3. Conclusion
Chapitre 3. Validation d’un modèle numérique réduit adapté à la simulation temporelle de chocs
3.1. Construction du modèle de tube
3.1.1. Présentation de la maquette GV-LOCAL
3.1.2. Analyse modale du tube libre
3.1.3. Résultats d’identification
3.1.4. Corrélation calcul/essai
3.1.5. Recalage des raideurs en pied de tube
3.1.6. Analyse de sensibilité locale
3.1.7. Conclusion et choix d’un jeu de raideurs
3.2. Modélisation de la zone de contact tube/PE
3.2.1. Modélisation du contact avec ovalisation
3.2.2. Influence du nombre de points de contact retenus sur une PE
3.2.3. Liens avec les modèles à DDL bloqués utilisés dans GEVIBUS
3.2.4. Blocages pour le modèle de poutre Timoshenko
3.2.5. Blocages pour le modèle de poutre de Bernoulli
3.2.6. Analyse des modes avec PE bloquée
3.2.7. Analyse détaillée de l’influence de la raideur de contact
3.3. Réduction de modèle
3.3.1. Synthèse modale avec corrections statiques
3.3.2. Bases enrichies
3.3.3. Ensemble de vecteurs et base
3.3.4. Bases considérées
3.4. Erreurs sur les fréquences induite par la réduction
3.4.1. Bases contenant des modes libres
3.4.2. Modes bloqués au centre des PE
3.4.3. Modes bloqués sur les PE et corrections statiques
3.4.4. Comparaison des bases contenant un type de déformées et des corrections statiques
3.4.5. Bases contenant plusieurs types de déformées
3.4.6. Choix d’une base de réduction
3.5. Choix des paramètres du schéma d’intégration numérique
3.5.1. Paramètres du schéma sur des simulations linéaires (sans choc)
3.5.2. Analyse de la conservation d’énergie en non-linéaire
3.5.3. Cas test : lâcher conservatif
3.5.4. Non conservation de l’énergie pour des chocs élevés
3.5.5. Analyse détaillée des variations d’énergie au cours des chocs
3.5.6. Simulations non-linéaires : de l’importance des hautes fréquences
3.5.7. Effet de la modification des modes haute fréquence sur les temporels
3.5.8. Bilan sur le choix du pas de temps
3.5.9. Conclusions
Chapitre 4. Caractérisation expérimentale et numérique de systèmes à choc
4.1. Validation du modèle numérique par corrélation calcul-essai
4.1.1. Conditions d’essai et simulation
4.1.2. Impossibilité de comparer des temporels
4.1.3. Corrélation des DSP de déplacement hors-plan
4.1.4. Corrélation des DSP de déplacement dans le plan
4.1.5. Conclusion
4.2. Analyse en fonction de raideurs et amortissements apparents
4.2.1. Réponses non-linéaires et linéaires
4.2.2. Comparaison avec un système linéaire à contact bilatéral
4.2.3. Raideurs et amortissements apparents obtenus à partir du pic non-linéaire prépondérant
4.2.4. Raideurs et amortissements apparents obtenus à partir de la déformée en fonctionnement non-linéaire
4.2.5. Raideurs et amortissements apparents obtenus à partir de la DSP non-linéaire 130ix
4.2.6. Système linéaire équivalent dépendant de l’amplitude
4.3. Évaluation d’une description stochastique du comportement
4.3.1. Choix d’un descripteur de raideur
4.3.2. Statistiques sur les raideurs apparentes
4.3.3. Densités de probabilité sur la raideur de contact
4.3.4. Construction d’une DSP équivalente
4.3.5. DSP équivalente dépendant de l’amplitude
4.3.6. Conclusion
Chapitre 5. Effet stabilisateur du contact
5.1. Analyse de stabilité en contact bilatéral à raideur variable
5.1.1. Méthodologie employée
5.1.2. Cartes de stabilité
5.1.3. Gain maximal en fonction de l’altitude
5.1.4. Évolution des fréquences et amortissements
5.1.5. Évolution des déformées
5.2. Analyse de stabilité dans des temporels non-linéaires
5.2.1. Limites de pénétration et critère d’arrêt des temporels
5.2.2. Recherche d’un gain limite
5.2.3. Conclusions partielles
5.3. Essais de déstabilisation par rétro-action
5.3.1. Protocole expérimental
5.3.2. Propriétés de la chaîne de contrôle
5.3.3. Analyse expérimentale de l’influence du gain de déstabilisation
5.4. Vers un calcul de stabilité fluide-élastique
5.4.1. Grandeurs thermo-hydrauliques et mécaniques
5.4.2. Stabilité et réponse dans le domaine fréquentiel
5.4.3. Réponse dans le domaine temporel
5.4.4. Prise en compte du contact
Chapitre 6. Conclusions et perspectives
Références bibliographiques