Synchronisation à base d’observateurs adaptatifs à entrées inconnues

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Synchronisation des systèmes chaotiques

Parall`element aux grandes avanc´ees r´ealis´ees dans la th´eorie de chaos, les perspectives de l’utilisation du chaos dans diverses applications, notamment en t´el´ecommunication, ont motiv´e les chercheurs a` ´etudier la question de l’´eventuelle possibilit´e de synchroniser le chaos.

La synchronisation des oscillateurs non lin´eaires est un ph´enom`ene qui a attir´e l’attention des cher-cheurs depuis le constat et la description de ce ph´enom`ene par Huygens en 1673, dans un exemple de deux syst`emes m´ecaniques coupl´es. Le ph´enom`ene de synchronisation est manifest´ lorsque deux syst`emes dynamiques ´evoluent d’une mani`ere identique en fonction de temps. L’une des configu-rations de synchronisation les plus populaires est la configuration maˆıtre-esclave pour laquelle un syst`eme dynamique, appel´ syst`eme esclave suit le rythme et la trajectoire impos´es par un autre syst`eme dynamique, appel´ syst`eme maˆıtre.

L’un de premiers travaux de recherche proposant une approche de synchronisation maˆıtre-esclave a et´ r´ealis´ par Pecora et Caroll en 1990 [7]. L’id´ee de base de leur approche consiste `a trouver une d´ecomposition appropri´ee du vecteur d’´etat x = (x1; x2) du syst`eme maˆıtre (´emetteur) : x˙ = f (x), coupl´e par l’interm´ediaire de x1 avec un syst`eme esclave (r´ecepteur) : y˙2 = f2(x1, y2), de telle mani`ere que les exposants de Lyapunov (dits conditionnels) de la dynamique du syst`eme esclave soient n´egatives.

Depuis cette d´ecouverte innovatrice, diﬀ´erents r´egimes de synchronisation ont et´ distingu´es tels que la synchronisation identique [7], [8] (Voir d´efinition 1.1), la synchronisation g´en´eralis´ee [9], la synchronisation retard´ee [10], la synchronisation projective [11], la synchronisation impulsive [12], la synchronisation de phase [13] et la synchronisation adaptative [14], nous rappelons ici bri`evement les principales caract´eristiques de ces r´egimes de synchronisation :

1- On dit que deux syst`emes (1.8) et (1.9) se synchronisent au sens g´en´eralis´ s’il existe un diﬀ´eomorphisme D tel que limt→∞ |x1(t) − Dx2(t)| = 0, ainsi la synchronisation identique ap-pel´ee aussi “synchronisation compl`ete” est un cas particulier de la synchronisation g´en´eralis´ee.

2- La synchronisation projective est une autre forme sp´eciale de la synchronisation g´en´eralis´ee, elle est ´etablie s’il existe une constante α telle que limt→∞ |x1(t) − αx2(t)| = 0. Par ailleurs, la syn-chronisation retard´ee entre deux syst`emes (1.8) et (1.9) est r´ealis´ee s’il existe un retard τ > 0 tel que limt→∞|x1(t) − x2(t − τ )| = 0.

3- Pour r´ealiser la synchronisation impulsive, un signal de sortie y(t) du syst`eme maˆıtre de la forme (1.8) est envoy´ au syst`eme esclave sous forme d’impulsions aux instants discrets pr´ed´efinis.

4-La synchronisation adaptative concerne les syst`emes maˆıtres pr´esentant des incertitudes param´etriques ou des param`etres inconnus ; dans ce cas, l’objectif est de synchroniser les syst`emes maˆıtre et esclave d’une mani`ere adaptative et robuste en d´epit de ces incertitudes.

La th´eorie de commande des syst`emes a jou´e un rˆole fondamental dans le d´eveloppement des m´ethodes de synchronisation des syst`emes chaotiques. Parmi ces techniques, on cite notamment la technique de synchronisation avec commande par retour d’´etat [15], la synchronisation par “backs-tepping” [16] et la synchronisation par observateurs [14], [17], [18]. L’approche de synchronisation par observateurs est l’approche qui nous int´eresse particuli`erement dans ce travail de th`ese. La deuxi`eme partie 1.3 de ce chapitre sera exclusivement consacr´ee a` la th´eorie des observateurs non lin´eaires et leurs m´ethodes de synth`ese. La connexion entre le probl`eme de synchronisation et le probl`eme d’estimation d’´etat a et´ bien mise en relief dans les r´ef´erences [19] et [20]. En eﬀet, en examinant la d´efinition de synchronisation maˆıtre-esclave 1.5, si on consid`ere le syst`eme (1.9) comme ´etant un es-timateur d’´etat (observateur) pour le syst`eme (1.8) conform´ement a` la d´efinition d’observation d’´etat donn´ee plus loin dans la section 1.3.1, alors on constate bien la liaison entre les deux d´efinitions. Ainsi, le probl`eme de synchronisation peut ˆetre examin´ de ce point de vue comme ´etant un probl`eme d’estimation d’´etat. Cette connexion entre les deux probl`emes a ouvert la voie pour des nombreux travaux de recherche exploitant les propri´et´es des observateurs non lin´eaires dans les applications de synchronisation des syst`emes dynamiques, et plus particuli`erement dans les applications de synchro-nisation des syst`emes chaotiques pour la transmission s´ecuris´ee d’informations. Dans ce travail de th`ese, nous avons d´evelopp´ diﬀ´erentes m´ethodologies de synchronisation de syst`emes chaotiques a` base d’observateurs non lin´eaires appliqu´ees aux syst`emes de communications dans divers sc´enarios pouvant exister en pratique tels que la pr´esence de perturbations, d’incertitudes param´etriques, du bruit dans le canal public, de retards de transmission, etc. Comme nous allons voir dans les prochains chapitres, les techniques de synchronisation elabor´ees sont robustes et adaptatives et s’appuient sur diﬀ´erents types d’observateurs : des observateurs a` entr´ees inconnues, des observateurs adaptatifs, des observateurs a` modes glissants, des observateurs singuliers, etc. Dans la section suivante, nous nous int´eressons au principe de transmission d’informations bas´e sur la synchronisation des syst`emes chaotiques et nous faisons un tour d’horizon des techniques de communications traditionnelles.

Syst`emes de communications bas´es sur la synchronisation des syst`emes chaotiques

Dans cette section, on s’int´eresse aux techniques de transmission s´ecuris´ee d’informations qui re-posent sur le principe de synchronisation chaotique. Le point commun constat´e dans la majorit´e des techniques d´evelopp´ees dans la litt´erature est l’utilisation de la configuration maˆıtre-esclave pour laquelle on dispose d’un ´emetteur chaotique (syst`eme maˆıtre) qui g´en`ere le signal du texte chiﬀr´e transmis dans le canal de communication vers un syst`eme r´ecepteur (syst`eme esclave) qui a pour objectif de synchroniser avec le syst`eme maˆıtre et de restaurer le signal d’information. Parmi les techniques de communications traditionnelles a` base du chaos, on cite : le masquage chaotique [21], la modulation param´etrique [21], [22], la commutation chaotique [23], [24], le cryptage par injection [25], la transmission a` deux voies [26] et le cryptage combin´e [27].

Le masquage chaotique

Le masquage chaotique [21] est la technique de transmission d’information la plus simple et la plus el´ementaire. La figure 1.5 illustre le principe de base de cette technique. Le signal d’information M (t) de nature binaire ou analogique est additionn´e a` un signal porteur chaotique X(t) g´en´er´ par le syst`eme ´emetteur. Le signal du texte chiﬀr´e T (t) ainsi obtenu est transmis a` travers le canal de transmission vers le syst`eme r´ecepteur qui se synchronise identiquement avec le syst`eme maˆıtre. Le signal d’information reconstruit M 0(t) est obtenu apr`es la soustraction entre le signal chiﬀr´e (transmis) T (t) et le signal porteur estim´ X0(t).

Ce syst`eme est eﬃcace seulement en absence du bruit de canal. Par ailleurs, la puissance du signal d’information doit ˆetre de 35 a` 65 db moins elev´ee que le signal porteur en absence de bruit de canal et le spectre de fr´equences du signal chaotique porteur doit ˆetre plus large que celui du signal du texte clair. En revanche, en utilisant un canal de transmission bruit´e et si l’´emetteur chaotique pr´esente des incertitudes param´etriques, les performances du syst`eme se d´egradent consid´erablement et on peut mˆeme perdre la synchronisation entre les syst`emes maˆıtre et esclave. De plus, du point de vue s´ecurit´e, il s’est av´er´ que cette technique est tr`es fragile par rapport a` diverses m´ethodes d’attaques.

La modulation param´etrique

Le principe de modulation param´etrique consiste a` utiliser le signal d’information, g´en´eralement de nature binaire, pour moduler l’un des param`etres du syst`eme chaotique ´emetteur – voir [21], [22]. La figure 1.6 repr´esente le sch´ema d’un syst`eme de communication utilisant cette technique. Le syst`eme r´ecepteur synchronise d’une mani`ere adaptative avec l’´emetteur chaotique et le signal d’information est restaur´ par l’interm´ediaire d’une loi d’adaptation. Cette technique peut ˆetre interpr´et´ee comme ´etant un probl`eme d’estimation conjointe des ´etats et des param`etres inconnus : le syst`eme r´ecepteur est con¸cu a` l’aide d’un observateur adaptatif pour le syst`eme ´emetteur.

Afin de pr´eserver le comportement chaotique du syst`eme maˆıtre, l’amplitude du signal d’information ne doit pas d´epasser certaines valeurs limites. Notons ´egalement que la dur´ee d’un bit du signal d’information doit ˆetre suﬃsamment long puisque la convergence du syst`eme r´ecepteur passe par une p´eriode transitoire a` chaque changement de bit. Cette technique s’est av´er´ee ´egalement sensible a` quelques techniques d’attaques [28]. Dans les chapitres 2 et 4, nous allons voir avec plus de d´etails comment des techniques similaires a` la modulation param´etrique seront utilis´ees conjointement avec des m´ethodes de synchronisation a` base d’observateurs adaptatifs pour garantir la transmission et la r´eception des messages de type binaire et constants par morceaux.

La commutation chaotique

Le sch´ema de principe de cette technique est repr´esent´ par la figure 1.7. Au niveau de l’´emetteur, on dispose de deux oscillateurs g´en´erant les signaux chaotiques A(t) et B(t). Le signal d’information de type binaire M (t) est utilis´e pour commuter entre A(t) encodant le bit 1 et B(t) encodant le bit 0. Le signal r´esultant X(t) est transmis a` travers le canal de transmission vers le syst`eme r´ecepteur constitu´e de deux syst`eme esclaves. Le premier syst`eme esclave synchronise exclusivement avec le premier oscillateur (correspondant au signal chaotique A(t)) de telle fa¸con que le bit 1 est d´etect´ par la convergence de l’erreur de synchronisation vers z´ero et par cons´equent le signal d’information peut ˆetre enfin restaur´ a` la fin du processus de d´etection.

message binaire

Figure 1.7: Sch´ema repr´eentatif de la technique de commutation chaotique

Compar´ee a` la technique de masquage chaotique, la commutation chaotique pr´esente relative-ment plus de robustesse au bruit de canal ; n´eanmoins, les cryptosyst`emes utilisant cette technique poss`edent une faible vitesse de transmission car a` chaque changement de bit on doit tenir compte du temps de convergence n´ecessaire pour la mise en place de la synchronisation. Cette m´ethode est caract´eris´ee par un faible niveau de s´ecurit´ puisqu’`a chaque changement du niveau binaire, on peut observer la modification du signal du texte chiﬀr´e, surtout lorsque les deux oscillateurs utilis´es au niveau de l’´emetteur poss`edent deux attracteurs tr`es diﬀ´erents – voir [23], [24].

Cryptage par injection

Le sch´ema de principe de cette technique est repr´esent´ dans la figure 1.8. Il s’agit d’injecter le signal d’information dans la dynamique de l’´emetteur chaotique. Le r´ecepteur a pour but de synchroniser avec l’´emetteur et de reconstruire le signal d’information. Conform´ement au constat de Nijmeijer et Mareels [19], le syst`eme esclave peut ˆetre con¸cu sous la forme d’un observateur a` entr´ees inconnues ou un observateur a` modes glissants – Voir les sections 1.3.5 et 1.3.6.

Cette technique est valable pour transmettre un message de nature binaire ou analogique, mais la puissance de ce dernier doit ˆetre suﬃsamment petite pour ne pas d´et´eriorer le comportement chaotique du syst`eme maˆıtre. Cette technique pr´esente un niveau de s´ecurit´ nettement elev´ par rapport aux techniques pr´ec´edentes puisque le signal d’information est masqu´e dans la dynamique du syst`eme maˆıtre et que le signal chaotique disponible dans le canal public ne porte pas l’information d’une mani`ere directe comme dans le cas de la technique de masquage chaotique. Pour plus de d´etails, le lecteur peut consulter la r´ef´erence [25].

Transmission `a deux voies

Le sch´ema de principe de la transmission a` deux voies est illustr´e dans la figure 1.9. L’id´ee de base consiste a` s´eparer les tˆaches de synchronisation et de cryptage en utilisant deux voies de communication [26]. L’´emetteur chaotique g´en`ere un signal chaotique Y (t) transmis dans un premier canal de communication (Canal 1) vers le r´ecepteur qui doit synchroniser avec le syst`eme maˆıtre. L’´emetteur g´en`ere ´egalement un autre signal chaotique X(t) utilis´e par une fonction de cryptage qui produit le signal du texte chiﬀr´e C(t) transmis dans un deuxi`eme canal de transmission (Canal 2).

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Table des matières

Introduction g´en´erale
0.1 Contexte et motivations
0.2 Objectifs de la th`ese
0.3 Organisation du m´emoire et contributions
1 Etat de l’art
1.1 Introduction
1.2 Syst`emes de communications bas´es sur la synchronisation des syst`emes chaotiques
1.2.1 Les syst`emes chaotiques
1.2.2 Analogie entre les syst`emes chaotiques et les syst`emes cryptographiques
1.2.3 Synchronisation des syst`emes chaotiques
1.2.4 Syst`emes de communications bas´es sur la synchronisation des syst`emes chaotiques
1.2.4.1 Le masquage chaotique
1.2.4.2 La modulation param´etrique
1.2.4.3 La commutation chaotique
1.2.4.4 Cryptage par injection
1.2.4.5 Transmission `a deux voies
1.2.4.6 Cryptage combin´e
1.2.5 Analyse de s´ecurit´e
1.2.5.1 Cryptanalyse et attaques cryptographiques
1.2.5.2 Cryptanalyse sp´ecifique aux syst`emes de communications analogiques `a base des syst`emes chaotiques
1.3 Observateurs non lin´eaires
1.3.1 Position du probl`eme
1.3.2 Observabilit´e des syst`emes non lin´eaires
1.3.3 Diff´erentes approches de synth`ese des observateurs non lin´eaires
1.3.3.1 Synth`ese d’observateur pour une classe de syst`emes non lin´eaires satisfaisant la condition de Lipschitz
1.3.3.2 M´ethode bas´ee sur la transformation en syst`emes lin´eaires `a param` etres variants
1.3.3.3 M´ethode bas´ee sur la propri´et´e du secteur et sur le crit`ere du cercle
1.3.3.4 Observateurs `a grand gain
1.3.4 Observateurs non lin´eaires adaptatifs
1.3.4.1 Observateurs non lin´eaires adaptatifs utilisant la condition de Lipschitz et la propri´et´e d’excitation persistante
1.3.4.2 Observateurs adaptatifs pour les syst`emes MIMO `a temps variant
1.3.5 Observateurs `a modes glissants
1.3.5.1 Observateur de Walcott-Zak
1.3.5.2 Observateur de Edwards-Spurgeon
1.3.5.3 Observateur `a modes glissants d’ordre sup´erieur
1.3.6 Observateurs `a entr´ees inconnus
1.4 Conclusion
2 Synchronisation à base d’observateurs adaptatifs à entrées inconnues
2.1 Introduction
2.2 Contexte et position du probl`eme
2.3 Observateur adaptatif `a entr´ees inconnues
2.3.1 Estimation d’´etat et rejet des perturbations
2.3.2 Convergence param´etrique
2.3.3 Proc´edure de synth`ese de l’observateur
2.4 Applications : synchronisation des syst`emes chaotiques pour la transmission d’informations
2.4.1 Exemple 1 : ´ Emetteur `a base du syst`eme de R¨ossler
2.4.2 Exemple 2 : ´ Emetteur `a base du syst`eme Genesio-Tesi avec incertitudes
2.5 Conclusion
3 Synchronisation à base d’observateurs adaptatifs à “ modes glissants”
3.1 Introduction
3.2 Synth`ese d’observateurs adaptatifs `a “modes glissants”
3.2.1 Contexte et position du probl`eme
3.2.2 Observateur adaptatif `a modes glissants : analyse du probl`eme
3.2.2.1 Un observateur pour le syst`eme Tx˙ = Ax
3.2.2.2 Compensation adaptative des non-lin´earit´es
3.2.2.3 Convergence de l’erreur d’estimation
3.2.3 Observateur adaptatif `a “modes glissants” modifi´e
3.2.4 Reconstruction de l’entr´ee inconnue 1
3.2.5 Exemple num´erique : robot flexible
3.3 Un syst`eme de communication s´ecuris´ee bas´e sur la synchronisation de syst`emes
chaotiques utilisant les observateurs adaptatifs `a “modes glissants”
3.3.1 Description du syst`eme de communication
3.3.2 Description des diff´erents syst`emes dynamiques
3.3.3 Simulations num´eriques
3.3.3.1 Transmission des signaux harmoniques
3.3.3.2 Cryptage d’images binaires
3.3.3.3 Analyse de s´ecurit´e
3.3.3.4 Analyse de la cl´e secr`ete
3.4 Conclusion
4 Synchronisation à base d’observateurs adaptatifs en présence des retards de transmission
4.1 Introduction
4.2 Contexte et motivations
4.3 Position du probl`eme
4.4 Synth`ese du syst`eme esclave
4.5 Analyse de stabilit´e
4.5.1 Stabilit´e des syst`emes `a retard
4.5.2 Synchronisation maˆıtre-esclave et restauration des messages transmis
4.6 Synchronisation `a base d’observateurs en cascade dans le cas des longs retards de transmission
4.6.1 Conception du syst`eme esclave en configuration cascade
4.7 Exemples num´eriques
4.7.1 Un syst`eme de communication chaotique utilisant l’oscillateur de “Duffing” sous l’influence d’un retard de transmission constant
4.7.2 Exemple 2 : Un syst`eme de communication chaotique `a base des circuits de Chua coupl´es sous l’influence d’un retard de transmission `a temps variant
4.7.3 Un syst`eme de communication utilisant l’oscillateur de “Duffing” et la configuration en cascade des observateurs en pr´esence d’une valeur de retard plus ´elev´ee
4.8 Application : Un syst`eme de communication s´ecuris´ee en pr´esence des retards de transmissions
4.8.1 Illustrations et simulations num´eriques : cryptage et transmission d’une image
4.8.1.1 G´en´eration de la s´equence chaotique
4.8.1.2 Algorithme de cryptage
4.8.1.3 Conception des syst`emes maˆıtre et esclave
4.8.1.4 Algorithme de d´ecryptage
4.8.2 Analyse de s´ecurit´e
4.8.2.1 Analyse de la cl´e secr`ete
4.8.2.2 Analyse statistique
4.9 Conclusion
Conclusion générale
Bibliographie