DES SITUATIONS RECHERCHE…
Les rencontres proposées entre les mathématiques et les apprentis chercheurs dans le cadre du projet Maths à modeler se font par le biais de situations appelées situations recherche qui sont telles que:
• Le problème abordé est le plus souvent issu de problèmes de recherche actuels, il peut comporter une, plusieurs ou aucune solution.
• Le point de départ est une question facilement compréhensible pour celui à qui elle est posée.
• Les méthodes de résolution ne sont pas désignées. Plusieurs pistes peuvent être suivies.
• Les principaux savoirs en jeu sont des savoirs «!transversaux!» .
• Le domaine conceptuel dans lequel se trouve le problème, même s’il n’est pas familier, est d’un accès facile pour que l’on puisse prendre facilement possession de la situation, s’engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution.
• La résolution de la situation recherche peut amener à se poser de nouvelles questions.
Cette définition n’est pas sans rappeler celle du problème ouvert introduite par Arsac et son équipe [Arsac et al, 1988]. Toutefois, même si on peut noter plusieurs points communs comme le fait que l’énoncé n’induise ni la méthode ni la solution, que la solution ne soit pas une application directe des résultats présentés en cours mais soit tout de même accessible et surtout que la résolution nécessite la mise en oeuvre d’une démarche de recherche, on peut identifier plusieurs différences!:
• une situation recherche peut avoir, une, plusieurs ou aucune solution,
• il n’y a pas nécessairement de savoir mathématique notionnel à assimiler. En effet, nous cherchons avant tout à mettre l’accent sur la démarche de recherche en elle-même, sur l’activité de recherche en mathématiques et nous rapprochons donc en ce sens de G. Glaeser qui cherchait à susciter!«!un développement comportemental plutôt qu’un développement cognitif dans un domaine mathématique particulier.!» [Glaeser, 1999, p217] .
ISSUES DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES DISCRETES…
L’équipe CNAM regroupe des chercheurs en didactique et des chercheurs en mathématiques discrètes. Alors que ce domaine des mathématiques est quasi absent de l’enseignement en France, la pluridisciplinarité de notre équipe a permis depuis plusieurs années d’identifier cette discipline comme support permettant de faire évoluer le rapport à des concepts transversaux en mathématiques. Ainsi, D. Grenier et C. Payan suggèrent que les mathématiques discrètes puissent être utilisées comme alternative à la géométrie pour l’apprentissage de la preuve [Grenier, Payan, 1998]. Après avoir identifié le décalage entre ce qu’est la modélisation d’une part pour l’institution savante mathématicienne et d’autre part pour les élèves, J. Rolland a montré la pertinence des mathématiques discrètes pour l’apprentissage de cette étape de l’activité mathématique, en vue d’une meilleure conformité. [Rolland, 1999]!
D’autres recherches ont étudié comment les mathématiques discrètes peuvent aider à construire et mieux définir des notions para-mathématiques.
C. Ouvrier-Buffet [2003]!, dans sa thèse, définit plusieurs situations issues des mathématiques discrètes en vue d’établir un ensemble de situations qui peut être considéré comme une situation fondamentale pour l’apprentissage de la construction de définitions en mathématiques. Parmi ces situations, on trouve notamment la situation «droite discrète». Il s’agit de construire des définitions d’une droite discrète, soit en partant d’une situation de classification et en cherchant explicitement à définir une droite dans le cadre discret, soit en partant d’une problématique plus axiomatique et en demandant de construire des triangles discrets et d’expliciter la construction.
Enfin, un support à l’apprentissage de l’implication a été développé par V. DeloustalJorrand [2004] à partir notamment de problèmes de type «pavages de polyminos». Il s’agit d’étudier les conditions d’existence du recouvrement, ou pavage, d’une grille à l’aide de formes prédéfinies, les polyminos, sans qu’il ne reste de case vide ou que deux formes ne se chevauchent.
Toutes ces recherches s’intéressent jusqu’à présent principalement à l’université. Dans le cadre de notre thèse, nous élargirons ces approches et nous situerons au niveau du collège et de l’école primaire, à l’instar d’autres recherches menées actuellement au sein de l’erté Maths à modeler, notamment celles de C. Poisard [Poisard, 2005]. C. Poisard se place d’une part dans l’institution «loisir scientifique», dans le cadre d’un atelier de mathématiques mis en place par un centre d’animation scientifique et technique qui reçoit des scolaires du cycle 3 de l’école primaire, d’autre part dans l’institution scolaire. Elle étudie dans les deux cas en quoi la fabrication et la compréhension de l’utilisation d’instruments à calculer, en particulier le boulier chinois, présentée sous la forme d’une situation recherche, peut permettre, dès le cycle 3, la mobilisation de savoirs transversaux ainsi qu’une réorganisation des connaissances relatives à la numération de position, aux algorithmes, et en particulier à la notion de retenue.
PRESENTEES SOUS FORME DE JEUX
Comme nous le verrons notamment dans la deuxième partie de cette thèse, les mathématiques discrètes sont source de nombreux sujets de jeux mathématiques proposés pour les olympiades mathématiques (Kangourou, Quizz math…), dans des revues de vulgarisation, ou dans la presse quotidienne (par exemple la rubrique Affaire de logique dans le journal Le Monde). Cela nous conforte dans l’hypothèse que nous faisons sur l’utilisation de cette branche des mathématiques comme support potentiel à une rencontre avec les mathématiques, susceptible d’être accessible au plus grand nombre.
Aussi les situations recherche inhérentes au projet Maths à modeler sont-elles présentées sous la forme de jeux, dans le sens où:
• on peut jouer à un, deux ou plusieurs joueurs.
• les actions possibles sont organisées par des règles du jeu (les consignes)
• le déroulement d’une partie s’appuie sur l’utilisation d’un support, que ce soit un support matériel, informatique ou papier-crayon.
• le jeu permet de traiter tous ou certains aspects de la situation recherche dans le sens où il peut présenter le problème dans des cas particuliers (choix de valeurs).
|
Table des matières
Introduction
Chapitre 1: Plusieurs rapports convergents
Chapitre 2: Position de la recherche
I- Nos objets de recherche
I-1 Des situations recherche
I-2 …issues des recherches en mathématiques discrètes
I- 3 …présentées sous forme de jeux
II- Questions de la recherche
III- Cadre théorique et méthodologie
Chapitre 3: Heuristique et mathématiques : quelques définitions
I- Qu’est-ce que faire des mathématiques ?
I-1 Petit tour dans les dictionnaires courants!: des définitions succintes
I-2 Le point de vue des experts: les chercheurs
II- Nos définitions
II-1 Chercher en mathématiques et heuristique
II-2 Problème
III- Faire faire des mathématiques ?
III-1 Analyse de la tâche «recherche en mathématiques»
III-2 C’est quoi un résultat ?
IV- Situations recherche et heuristique
Chapitre 4: La roue aux couleurs
I- Le problème mathématique
II- Résolution du problème
II-1 Etude de (n,n)
II-2 Etude de (n,k), 1£ k£ 2
II-3 Etude de (n,k), 2<k<n
II-4 Récapitulatif des conjectures et remarques associées aux cas (n,1), (n,2), et (n,n)
III- Analyse didactique du problème mathématique!: les stratégies de
recherche envisageables
III-1 Sordre: recherche par le biais de l’ordre
III-2 Ssym: recherche par le biais d’une propriété géométrique, la symétrie
III-3 Sarith: recherche par le biais d’une propriété arithmétique
III-4 Sgraphe: recherche par le biais de graphes
Conclusion
Télécharger le rapport complet
