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ÉQUATION DE BURGERS
L’équation de Burgers est présentée dans les ouvrages de référence [Burgers, 1974], [Whitham, 1974], [Rudenko et Soluyan, 1975], [Enflo et Hedberg, 2002]. Elle peut être mise en évidence dans de nom-breux cas de l’acoustique non linéaire par les changements de variables appropriés. Elle trouve des applications variées, par exemple dans l’étude de l’interaction d’un bruit haute fréquence avec une onde non linéaire basse fréquence [Gurbatov, 1981], ou l’étude des caustiques liées aux ondes de choc des avions supersoniques [Marchiano et al., 2003]. Ses propriétés en tant que système dynamique font l’objet d’approches mathématiques et informatiques [Basto et al., 2007]. Nous nous intéressons ici à ses propriétés non linéaires conduisant à la formation d’ondes de choc, notamment d’ondes en N. L’équation conduisant à la formation de telles ondes de choc est, d’après Whitham, l’équation de Burgers. Il la décrit comme « l’équation la plus simple combinant à la fois des effets de propagation non linéaire et des effets diffusifs. » [Whitham, 1974] Cette équation a la forme ∂t∂ x∂ x2∂ c + c ∂ c = ν ∂ 2c , (1.97) où ν est une constante qui représente, du point de vue de la mécanique des fluides, la viscosité ci-nématique du fluide. Il est nécessaire de préciser une condition initiale de la forme c(x,t = 0) = F(x). La démonstration de l’établissement de l’équation (1.97) selon Whitham, ainsi qu’une discussion physico-mathématique sur les propriétés non linéaires de l’équation de Burgers, notamment dans ses rapports avec le formalisme de Green, sont présentés en annexe B. Ce que nous retiendrons ici est la propriété de l’équation de Burgers de conduire à des solutions multivaluées, comme la fonction de Whitham, et d’être à l’origine de la formation de chocs.
RELATIONS DE RANKINE-HUGONIOT
Les relations de Rankine-Hugoniot expriment les lois de conservation de part et d’autre du choc, lorsque l’on considère une onde de choc stationnaire, c’est-à-dire lorsque l’on se place dans le référentiel comobile de la source en mouvement. Les relations de Rankine-Hugoniot expriment la p
variation de l’enthalpie spécifique h = e + ρ , partant du premier principe de la thermodynamique [Faure, 2008, pp. 31-32] : dh = V d p + δ wd + δ q (1.98)
où wd est le travail dû aux irréversibilités mécaniques et δ q la quantité de chaleur échangée avec l’extérieur du système. Les relations de conservation s’expriment localement, de part et d’autre du choc [Faure, 2008, p. 172] :
— Conservation de la masse : ρ1v1 = ρ2v2, (1.99)
— Conservation de la quantité de mouvement : p1 + ρ1v12 = p2 + ρ2v22, (1.100)
— Conservation de l’énergie :v2v2 h1 + 1 = h2 + 2 . (1.101)
Sans détailler les calculs, les relations de Rankine-Hugoniot dans le cas d’un choc oblique d’angle α s’expriment [Faure, 2008, p. 175] : M21 +γ−1M2 sin2 α 2=21(1.102)
M222γ−1 1γM1 sinα −2, ρ2v2(γ + 1)M2 sin2α 2=2=1(1.103)
ρ12v122 + (γ −1)M12 sin2 α, T2=p2ρ1.(1.104)
Ces relations établissent le « saut » des grandeurs physiques de part et d’autre du choc, mais il faut bien garder en tête que la notion de saut est une abstraction phénoménologique due au fait que l’étude des ondes de choc demeure hors du cadre de la thermodynamique quasi-statique. Une étude réaliste de la physique des chocs, fondée sur la thermodynamique hors équilibre, par conséquent bien au-delà du cadre du présent manuscrit, n’admet pas la discontinuité des grandeurs physiques comme phénomène ontologiquement envisageable. La non-linéarité possède le statut de réalité ontologique, en tant que complexité particulière d’un phénomène physique. La discontinuité, en tant que simplification épistémologique, ne le possède pas. Cet argumentaire trouve ses fondements dans la littérature de référence concernant les ondes de choc [Courant et Friedrichs, 1948, p. 117] :
Irreversible processes are to be described by sudden jump discontinuitites, occurring across certain sharply defined surfaces in the fluid. Such discontinuities, with infinite gradients in some of the quantities, replace in the mathematical idealization the narrow zones of noticeable irreversibility. In reality very considerable changes of velocity and temperature accur across such surfaces ; thus the assumption of sharp discontinuities is indeed an idealization which agrees with the fact rather better than we might hope.
Bien que la notion de choc décrive une indéniable réalité physique, celle de discontinuité de-meure une « idéalisation », un outil mathématique confortable pour décrire un phénomène dont les ordres de grandeur le situent en dehors des descriptions physiques actuelles. Le déplacement supersonique d’une source conduit localement, c’est-à-dire au voisinage de la source, à des phé-nomènes physiques intrinsèquement non linéaires qui conduisent à la formation d’une onde de choc. Cela peut être interprété comme multivaluation des solutions à l’équation de Burgers en masse volumique, dans le cadre d’un comportement fortement non linéaire, c’est-à-dire presque au contact de la surface su projectile, ou bien comme multivaluation de la fonction de Whitham F(y) lorsque deux caractéristiques se croisent, quand une méthode de caractéristiques peut être employée, c’est-à-dire en champ proche. Cette onde de choc possède un profil particulier qui se propage selon des lois quasi-linéaires, c’est-à-dire qui peuvent être étudiées par des méthodes de perturbation en champ moyen, la signature acoustique présente asymptotiquement la forme d’un signal en N en champ lointain. Les différentes zones d’analyse sont représentées en figure (1.11). La formation du choc lié au déplacement supersonique d’une source acoustique demeure phénoménologique, dans le sens où elle assure la jonction entre les deux phénomènes que sont l’écoulement subsonique sans choc et l’écoulement supersonique où l’onde de choc est présente. Elle se situe dans un domaine de la physique des fluides où les écoulements obéissent à des équations fortement non linéaires : la résolution des équations se situe à la limite de nos capacités mathématiques actuelles. Cependant une compréhension du mécanisme de formation des chocs peut être mis en évidence par deux idées complémentaires :
1. La vision asymptotique d’une superposition infinie des fronts d’onde au niveau du nez du projectile est une vue de l’esprit gouvernée par une vision linéaire du rayonnement acoustique.
2. L’étude de l’équation de Burgers en tant que système dynamique instable conduit à la formation du choc par multivaluation de grandeurs physiques.
Dans les deux cas la formation du choc ne s’explique que par résolution selon des arguments empiriques d’une contradiction inhérente à notre compréhension actuelle de la physique du processus. C’est pourquoi nous disons que la formation du choc n’accepte pour l’instant que des justifications phénoménologiques. L’approche relativiste que nous proposerons au chapitre (7) tentera de ramener ces considérations à une conception géométrique d’un tel phénomène physique.
Nous avons présenté la théorie physique décrivant le comportement du champ de pression généré par un objet soumis à un écoulement supersonique, ou, de manière équivalente,par un objet en déplacement supersonique par rapport à un observateur. Le champ de pression est la grandeur mesurable dont nous avons besoin pour effectuer le retournement temporel. Dans le chapitre suivant, nous allons recréer en laboratoire les principales propriétés du cône de Mach sans déplacement de projectile, à l’aide d’une ligne de haut-parleurs, afin de mettre en place un protocole expérimental de résolution du problème inverse.
CONTRAINTES D’ÉCHANTILLONNAGE
La discrétisation du terme source conduit à des contraintes d’échantillonnages spatio-temporel que nous allons résumer ici.
Échantillonnage spatial : Si l’on considère que le signal s(t) est échantillonné à une fréquence Fs, la plus grande fréquence fmax contenue dans s(t) doit respecter le critère fmax < F2s . La ligne de haut-parleurs est échantillonnée spatialement d’un pas constant 3 ∆x, de telle sorte que le plus grand nombre d’onde admissible respecte kmax < π/∆x. Les signaux se propageant dans l’air à la vitesse c, leur contenu fréquentiel vérifie la relation f = kc/2π, de telle sorte que la fréquence maximale vérifie c fmax < 2∆x . (2.10)
Contraint par la taille des haut-parleurs, que l’on peut voir en figure (2.2), nous choisissons ∆x = 4.36 cm. L’équation (2.10) donne alors fmax < 3922 Hz. Ce résultat est acceptable si l’on considère que la composante principale de la signature acoustique recherchée est centrée autour de 3500 Hz.
Échantillonnage temporel : L’intervalle de temps ∆t = ∆vx = 42.4 µs entre deux émissions du signal source n’est clairement pas un intervalle d’échantillonnage spatial. Il doit vérifier fmax∆t < 21M ≈ 0.167. Comme l’on travaille sur des signaux numériques, il est nécessaire que toutes les durées soient exprimées en tant que multiples de l’inverse de la fréquence d’échantillonnage : Fs∆t ∈ N, FsT ∈ N. Ces entiers sont les durées données en nombres d’échantillons : ⌊Fs∆t⌋ = 2,⌊FsT ⌋ = 10, c’est pourquoi dans la suite nous prenons les approximations ∆t = 2/Fs ≈ 41.7 µs (comparé à 42.4 µs) et T = 10/Fs ≈ 208 µs (valeur théorique : 211 µs).
Fréquence d’échantillonnage élevée : Les contraintes sur ∆x et ∆t sont respectées si Fs est suffisamment élevée pour que chaque fréquence contenue dans le signal s(t) soit petite devant Fs de plusieurs fois le nombre de Mach, c’est-à-dire s’il existe n ∈ N tel que 2n⌊M + 1⌋ fmax < Fs.v(2.11)
On a alors < ⇒ < . En prenant ∆x = n , on a à la fois ∆x < et Fs∆t = Fs2⌊M+1⌋ fmaxFs2 fmaxFs2 fmax n ∈ N. En d’autres termes, l’échantillonnage spatio-temporel de la source acoustique supersonique est correctement réalisé lorsque l’énergie du signal en N devient négligeable au-delà d’une fréquence limite déterminée par la fréquence d’échantillonnage et le nombre de Mach. Les composantes hautes fréquences sont les lobes spectraux d’un sinus cardinal, dû à un fenêtrage Heaviside marquant la finitude du support temporel [Lee et al., 1968]. Ainsi plus la fréquence d’échantillonnage est élevée, plus en hautes fréquences les lobes du sinus cardinal sont de faible amplitude ce qui permet de vérifier approximativement la condition (2.11). La valeur maximale de la fréquence d’échantillonnage des cartes son utilisées en émission était Fs = 48 kHz, qui s’avère acceptable. Cependant, les mesures acoustiques ont été effectuées sur un frontal d’acquisition à 192 kHz pour une meilleure résolution en temps.
FILTRAGE INVERSE POUR LA SYNTHÈSE DE LA SIGNATURE ACOUSTIQUE
Jusqu’à présent, nous avons supposé que les haut-parleurs émettaient un signal correspondant à une signature acoustique en forme de N idéal. Nous n’avons pas tenu compte du fait que la réponse en fréquence des hauts-parleurs n’est pas parfaitement plate et que l’émission d’un signal impulsionnel allait conduire à émettre ce signal convolué par la réponse impulsionnelle du haut-parleur, ainsi que d’éventuels effets de diffraction : voir par exemple la figure (2.3). Observe-t-on un signal en N ? Pas du tout. Heureusement, sous l’hypothèse que cette distorsion se fait de manière linéaire, il est possible de la corriger par une méthode de filtrage inverse. Appelons s(t) le signal temporel qui doit être injecté dans le haut-parleur de telle sorte que le signal de pression mesuré en un point de l’espace, que nous appellerons w(t), soit un signal en N parfait. Sous l’hypothèse de linéarité, il existe une fonction h(t) telle que w = h ∗s. (2.12)
En utilisant une version simplifiée de la théorie développée par [Kirkeby et Nelson, 1999], l’inver-sion du système repose sur le fait qu’il est possible d’écrire la convolution comme un simple produit matriciel w = Hs (2.13) où H est une matrice de Toeplitz contenant h dans sa première colonne. L’équation (2.13) peut être pseudo-inversée par la formule s = (H∗H)−1H∗w, (2.14) l’étoile dénotant le transposé-conjugué. La tâche principale consiste à déterminer la matrice H ou, de manière équivalente, le vecteur h, c’est-à-dire de procéder à l’apprentissage de la réponse impulsionnelle du système convolutif responsable de la distorsion. Dans ce but, nous avons employé une procédure de Welch [Oppenheim et Schafer, 1974] consistant à enregistrer le signal de pression mesuré par le microphone du centre de l’antenne émettant un bruit blanc de 30 secondes de durée, puis d’estimer la réponse en fréquence par densité spectrale de puissance. Le microphone (n◦ 21 sur une antenne de 41 micros) est disposé à une distance a = 38,5 cm du haut-parleur considéré. Les mesures sont effectuées en chambre anéchoïque afin d’isoler au mieux la réponse individuelle du haut-parleur en champ libre. Malgré tout, la méthode de Kirkeby et Nelson n’est optimale qu’au point de mesure. On suppose que dans l’approximation de champ libre, le filtrage inverse est quasi-invariant par translation spatiale. •• x y ←y-axis displacement→ (21, 16)
Les résultats expérimentaux montrent que cette approximation est valable dans la région de l’espace délimitée par la grille montrée en figure (2.5), bien qu’une détérioration soit observée aux bords, sans doute à cause d’effets de diffraction. Effectuer une procédure de filtrage inverse par position de microphone aurait conduit à un protocole expérimental lourd et rébarbatif, mais surtout à l’absence d’existence physique de l’onde synthétisée, puisque chaque mesure optimisée n’aurait été valide qu’en un seul point de l’espace. En revanche, nous effectuons à chaque fois un filtrage inverse par haut-parleur, pour tenir compte de leur position respective sur la ligne et des effets de diffraction associés. On calcule donc une fonction hi par haut-parleur et sa matrice de Toeplitz associée Hi, chacun d’eux conduisant à un signal inverse si = (Hi∗Hi)−1Hi∗w (2.15)
PROPAGATION ACOUSTIQUE DEPUIS UNE SOURCE LINÉIQUE SUPERSONIQUE
On cherche à caractériser le signal émis par la ligne de hauts-parleurs simulant un déplacement supersonique. La formation d’une onde conique de type cône de Mach est observée à la fois sur des simulations et des mesures expérimentales, pour une distance entre les haut-parleurs ∆x = 4,36 cm comme nous l’avons montré plus haut, mais aussi pour le modèle de ligne plus précis Durandal (∆x = 2 cm) présenté en figure (2.12a). Chaque cellule de la ligne émet le signal présenté en figure (2.12c) ; le signal mesuré dans l’espace subit des distorsions dues à la superposition des fronts d’onde de manière non simultanée, telles que présentées en figures (2.12b) et (2.12d).On se propose ici d’étudier cette distorsion de manière analytique, en raisonnant par analogie avec la théorie linéaire de Whitham sur l’étude de la propagation de signaux depuis une source supersonique. Si l’on observe le profil de la signature acoustique de la ligne, on peut envisager de l’associer à la fonction de Whitham, définie à l’équation (1.49). En effet la démarche exposée dans le chapitre 1 semble s’appliquer ici, bien que le traitement mathématique ne soit pas rigoureusement identique : en particulier, nous ne partons pas du même terme de source, et nous ne pouvons pas formuler d’approximation d’écoulement stationnaire dans le référentiel d’observation. Il est possible de raisonner en termes d’analogie temps-espace comme Whitham le fait. Par analogie avec l’équation (1.39), on considère le terme source du champ de pression comme décrivant la dérivée d’une section de profil de projectile, en remplaçant la variable spatiale par la variable temporelle : s(t) = σ′(t). (2.29)
On obtient alors, par analogie avec la proposition (1.2.2), qu’au voisinage du front d’onde le signal de pression est proportionnel à la fonction de Whitham associée au signal en N s(t) : 1r p(r,t) ∼ √ F t − (2.30) c r.
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Table des matières
Introduction
1 Le cône de Mach
1.1 Potentiel de vitesse d’une source en mouvement
1.2 Calcul du potentiel de vitesse en approximation linéaire
1.3 Correction au second ordre pour la pression
1.4 Phénoménologie des ondes de choc
2 Simulation d’un cône de Mach en champ libre au moyen d’une ligne de haut-parleurs
2.1 Discrétisation du terme source
2.2 Contraintes d’échantillonnage
2.3 Filtrage inverse pour la synthèse de la signature acoustique
2.4 Résultats expérimentaux
2.5 Condition de recouvrement du support et formation du cône
2.6 Propagation acoustique depuis une source linéique supersonique
3 Théorie géométrique de la réverbération
3.1 Réverbération spéculaire entre deux murs infinis
3.2 Un peu de théorie des groupes
3.3 Réverbération spéculaire entre deux murs finis
3.4 Étude d’un source linéique à fronts d’onde coniques
3.5 Réverbération spéculaire dans une boîte
3.6 Prise en compte du sol
3.7 Calcul des temps d’arrivée sur des mesures de terrain
4 Principes du retournement temporel
4.1 Théorèmes de Green et formule de Kirchhoff-Helmholtz
4.2 Focalisation par retournement temporel
4.3 Prise en compte de la réverbération
4.4 Exemples d’utilisation
5 Problème inverse pour la ligne de haut-parleurs
5.1 Modélisation
5.2 Localisation de l’axe du cône de Mach
6 Retournement temporel sur des mesures de tirs à balles réelles
6.1 Description des mesures
6.2 Traitement des données
6.3 Simulation numérique non linéaire du problème direct
7 Utilisation de la transformée de Lorentz
7.1 Invariance de Lorentz de l’équation d’onde
7.2 Application au retournement temporel
7.3 Résumé des propriétés et ouverture
Conclusion
A Cartographie de la focalisation par retournement temporel des 33 mesures en champ de tir
B Vers le retournement temporel non linéaire
B.1 Fonctions de Green associées à des équations non linéaires
B.2 Cadre théorique pour l’analyse fonctionnelle du retournement temporel non linéaire
B.3 Problèmes ouverts en analyse non linéaire
Bibliographie
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