Lubrification hydrodynamique des paliers à feuilles
Le travail théorique de REYNOLDS [REY86] est considéré comme la base de la théorie de la lubrification hydrodynamique travail à partir duquel REYNOLDS obtient par un raisonnement heuristique l’équation qui porte son nom. L’idée de ce travail est d’utiliser l’hypothèse de film mince (c’est-à-dire que la distance séparant les deux surfaces entre lesquelles circule le fluide est très petite devant les dimensions des surfaces) pour simplifier les équations de NAVIER-STOKES en négligeant les variations de la pression dans la direction transverse aux deux surfaces, ainsi que certains termes dans l’équation de l’hydrodynamique.
De nombreuses améliorations ont été apportées aux travaux de REYNOLDS, les recherches scientifiques se concentrent sur le développement de modèles analytiques puisque les ordinateurs n’existaient pas encore. Résoudre l’équation de REYNOLDS et ses conditions aux limites ne peut être réalisée analytiquement. Par conséquent, elle peut se faire en utilisant des hypothèses simplificatrices.
En 1904, SOMMERFELD [SOM04] utilise un changement de variables judicieux et présente une solution analytique à l’équation de REYNOLDS dans le cas du palier infiniment long ??⁄?? = 0. Cependant, les conditions aux limites proposées ne tiennent pas compte de la rupture du film dans le palier, la pression ainsi obtenue est négative dans la zone divergente. Ces conditions aux limites ne sont valables que pour les paliers fonctionnant à de très faibles charges ou avec des pressions d’alimentation très élevées [FRE90].
En 1914, GÜMBEL [GUM14] stipule que l’huile se rompt lorsque sa pression devient négative, en prenant comme référence la pression ambiante et non le zéro absolu. Pour prendre en compte la rupture de film, GÜMBEL néglige donc lors de la résolution de l’équation de REYNOLDS les pressions en deçà de la pression atmosphérique. Autrement dit : p = pamb lorsque p<pamb. En négligeant les pressions négatives, la solution finale de GÜMBEL représente la moitié de celle de SOMMERFIELD. C’est la raison pour laquelle la condition de GÜMBEL est communément désignée par le vocable Demi-SOMMERFELD. En procédant ainsi, GÜMBEL introduit une discontinuité dans le débit. Bien que physiquement inacceptable, ceci n’a pas empêché son application fréquente dans les modélisations.
SWIFT [SWI32] puis STIEBER [STI33] présentent indépendamment, des conditions aux limites à la sortie du film plus représentatives de la réalité. Ils écrivent que dans la zone divergente du palier le film se rompt le long d’une frontière déterminée par les conditions supplémentaires suivantes : le long de la frontière, la pression prend la valeur de la pression saturante du fluide et le gradient de pression s’annule. Ces conditions qui respectent la continuité du débit à la sortie du film, sont dites conditions aux limites de REYNOLDS et sont universellement utilisées aujourd’hui pour le calcul des paliers soumis à des charges constantes. Une méthode numérique de résolution de l’équation de REYNOLDS utilisant ces conditions, a été proposée par CHRISTOPHERSON [CHR 41].
Approximation palier court
Lorsque le rapport ?/? de la longueur au diamètre du palier est faible, on peut négliger le gradient de pression circonférentiel devant le gradient de pression axial. Cette hypothèse émise pour la première fois de MICHELL [MIC29] a été reprise et développée par OCVIRK et DUBOIS [OCV53]. Elle est entièrement justifiée pour les paliers dont le rapport ?/? est inférieur ou égal à 1/4, alors que la plupart des paliers utilisés aujourd’hui dans l’industrie sont sous cette limite, en raison des problèmes de défaut d’alignement. En pratique cette hypothèse est encore utilisée pour des rapports ?/? de 0,5 car l’erreur commise reste faible sur le couple et le débit, elle est d’un ordre de grandeur acceptable sur la charge mais très importante sur la valeur du maximum de pression dans le film. Ces erreurs diminuent lorsque l’excentricité décroît.
Ces modèles analytiques simplifiés qui utilisent l’approximation du palier court et long étaient très populaires et sont encore utilisés dans certains travaux théoriques récents. BROWN et al. [BRO00], YANG et al. [YAN01], KEOGH et KHONSARI [KEO01], TAYLOR [TAY04] et SONG et al. [SON05] ont utilisé l’approximation du palier court pour leurs œuvres, tandis que DENG et BROWN [DEN08] et WANG et KHONSARI [WAN08] ont appliqué l’approximation du palier long. RAISON et NARANG [REA82] ont combiné les deux méthodes au moyen d’une technique de pression moyenne afin d’obtenir des résultats qui seraient valables pour toute la gamme de largeurs de palier. Des approches similaires ont été faites par RAO et al [RAO00], [RAO01] concernant le problème dynamique. Avec une telle approximation on peut trouver une solution analytique simplifiée. Malheureusement, les approches purement analytiques manquent souvent de précision dans de nombreuses applications et leur utilisation implique souvent une simplification excessive du problème. Cela est particulièrement vrai pour traiter des problèmes assez complexes tels que la rupture du film et la prise en considération des conditions d’alimentation en lubrifiant.
Nécessité des méthodes numériques
Comme nous l’avons vu précédemment, le problème de la lubrification hydrodynamique doit être formulé de manière approchée afin d’obtenir une solution purement analytique. Dans certains cas, ces approximations sont justifiées et donnent des résultats satisfaisants. Toutefois, des phénomènes complexes tels que la rupture du film lubrifiant ou des effets thermiques ne peuvent pas être décrits avec précision. Avec le développement des ordinateurs et des outils numériques, les scientifiques commencent à utiliser des méthodes numériques sur ordinateur afin de résoudre ce type de problèmes. Les premiers modèles informatiques sont développés par RAIMONDI et BOYD [RAI58] et PINKUS [PIN58], bien que les méthodes numériques aient été utilisées auparavant par exemple dans CHRISTOPHERSON [CHR41]. Après ces travaux pionniers, les auteurs tentent de décrire la réalité aussi précisément que possible, en gardant à l’esprit moins de simplifications ce qui signifie généralement des coûts de calcul plus élevés. Les progrès dans les capacités de calcul par l’informatique vont enfin permettre aux auteurs d’ajouter le comportement thermique, élastique et dynamique du problème de lubrification hydrodynamique.
Equation de Reynolds Généralisée (GRE)
Lorsque DOWSON, en 1962, publie un document introduisant une forme généralisée de l’équation de REYNOLDS, il explique que son travail vient du manque d’une théorie générale en lubrification en film mince lorsque les paramètres du fluide sont soumis à une forte variation suivant l’épaisseur du film [DOW62]. DOWSON [DOW62] présente en 1962 un travail qui représente une avancée considérable dans l’étude des phénomènes thermiques. Il modifie l’équation de REYNOLDS classique afin de prendre en compte les variations de viscosité et de masse volumique à travers l’épaisseur du film fluide. La solution simultanée de cette équation et l’équation de l’énergie en prenant compte des conditions aux limites constitue le modèle ThermoHydroDynamique (THD). C’est l’équation de Reynolds généralisée qui, couplée avec l’équation de l’énergie par l’intermédiaire de la viscosité et la masse volumique du lubrifiant, permet l’étude locale des phénomènes thermiques en lubrification hydrodynamique.
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Table des matières
Introduction
Etat de l’art
1.1. Introduction
1.2. Lubrification hydrodynamique des paliers à feuilles
1.2.1. Approximation palier court
1.2.2. Nécessité des méthodes numériques
1.2.3. Equation de Reynolds Généralisée (GRE)
1.2.4. Modèle de Reynolds
1.3. Effet thermiques
1.3.1. Etude thermique du film lubrifiant
1.3.1.1. Modèle thermique global
1.3.1.2. Approche locale du problème thermique
1.3.2. Paramètres constants du film lubrifiant
1.3.3. Gradient axial de température
1.3.4. Approximation de Couette
1.3.5. Équations de l’énergie en 3D
1.3.6. Variations thermiques suivant l’épaisseur du film
1.3.7. Transfert de chaleur dans le coussinet
1.3.8. Transfert de chaleur dans l’arbre
1.3.9. Conditions aux limites
1.3.9.1. Continuité à l’interface film- coussinet et film-arbre
1.3.9.2. Recirculation du lubrifiant
1.4. Equation d’état
1.5. Les principales caractéristiques de la turbulence
1.5.1. Modèles de turbulence
1.5.1.1. Modèle de Constantinescu
1.5.1.2. Modèle de Ng, Pan et Elrod
1.5.1.3. Modèle de Hirs (Bulk flow theory)
1.5.1.4. Choix d’un modèle
1.5.2. Modélisation de la transition laminaire turbulent
1.6. Méthodes numériques
1.6.1. Méthode des volumes finis
1.6.2. Méthode des éléments finis
1.6.3. Méthode des différences finies
1.7. Modèles de déformation de la feuille ondulée et coefficients dynamiques des paliers à feuilles
1.7.1. Modèle ressort/amortisseur
1.7.2. Modèle poutre courbe et droite
1.7.3. Modèle coque et plaque
1.8. Conclusion
Modèles théoriques
2.1. Introduction
2.2. Palier en régime THD turbulent
2.2.1. Portance hydrodynamique
2.2.2. Equation de Reynolds généralisée
2.2.3. Equation de l’énergie
2.2.4. Equation de la chaleur dans le coussinet
2.2.5. Equation de la chaleur dans l’arbre
2.3. Calcul de la viscosité
2.4. Equation d’état
2.4.1. Equation d’état de Peng-Robinson modifiée
2.4.2. Formule de Clapeyron
2.4.3. Modèles de transition Vapeur/Liquide
2.5. Modélisation de la turbulence dans les films minces
2.5.1. Equations de conservation
2.5.1.1. Equation de conservation de la masse
2.5.1.2. Equations de conservation de la quantité de mouvement
2.5.1.3. Equation de conservation de l’énergie
2.5.2. Modèle 3D de viscosité turbulente
2.5.3. Modèle de conduction turbulente
2.5.4. Transition de l’écoulement laminaire au turbulent
2.6. Géométrie des paliers à feuilles
2.6.1. Géométrie de base d’un palier à lobes
2.6.2. Caractéristiques statique du palier
2.7. Conditions aux limites thermiques
2.7.1. Interface film-coussinet
2.7.2. Interface coussinet-extérieur
2.7.3. Interface film-arbre
2.7.4. Interface arbre-extérieur
2.7.5. Température à l’entrée du lobe
2.8. Modélisation linéaire
2.8.1. Coefficients dynamiques
2.8.2. Seuil de stabilité
2.9. Méthode de résolution et programmation
2.9.1. Maillage du film fluide
2.9.2. Équation de Reynolds généralisée
2.9.3. Équation de chaleur dans l’arbre
2.9.4. Équation de chaleur dans le coussinet
2.9.5. Équation de l’énergie dans le film mince
2.9.6. Équation d’état
2.9.7. Viscosité turbulente
2.10. Algorithme de résolution
2.11. Conclusion
Résultats et discussions
3.1. Caractéristiques et conditions de fonctionnement
3.2. Comportement statique et dynamique du gaz et du palier pour des conditions de fonctionnement sévères
3.2.1. Champs de pression
3.2.2. Les champs de température
3.2.3. Le comportement du lubrifiant dans la direction transversale
3.2.4. Épaisseur de film minimale
3.2.5. Débit d’alimentation
3.2.6. Couple de frottement
3.2.7. Température maximale du film
3.2.8. Coefficients dynamiques
3.3. Conclusion
Conclusion
