LIGNES TRIGONOMETRIQUES DES ANGLES

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LES ELEMENTS DE LA TRIGONOMETRIE

Les premiers éléments de la trigonométrie

Le cercle trigonométrique

Définition

Dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé direct O( i, ,j ), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et derayon 1, orienté dans le sens direct ; et sa longueur ( sa circonférence) est 2 .

Soit M un point de ce cercle et M a des coordonnées(x,y), le cercle trigonométrique est l’ensemble de points M tel que OM R .

Le radian

Quand nous parlons de trigonométrie, la première chose qui devrait venir à l’esprit et s’imposer comme tel comme standard de mesure d’a ngles plans est la notion de radians.

Définition: Un radian, noté rad, est l’angle plan décrit parune sécante à un cercle, passant par son centre, tel que l’arc de cercle ainsi défini par l’axe horizontal passant par son centre et la sécante soit égal à la longueur son rayon.

Par exemple pour un cercle de rayon R 1, la longueur de l’arc de cercle définie par une sécante ayant un angle de 1radian par rapport à l’horizontal passant par le centre du cercle sera égale à 1.

Les unités de mesures des angles

Les angles s’expriment de trois manières différentes : -le degré ( )

-le grade (gr)

-le radian (rad)

Le degré est utilisé depuis l’AntiquitéIl. est au partage du cercle en six parties de 60 (60 est la base numérique des Babyloniens).

Le grade est utilisé par les géomètresLié. au système métrique, il fut inventé lors de la Révolution française.

Le radian est la mesure naturelle des angles : il permet d’associer angle et longueur. Il est utilisé par les scientifiques depuis le début ud XX ème siècle et est l’unité légale.

Dans un tour complet de cercle, il vient que l’angle sera de : 360 degrés 400 grades 2 radians.

La mesure se fait à partir du coté droit et orienté dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

De par cette définition, le point le plus haut est donc égal à 90 degrés ou 100 grades ou

p radian.

Remarques

R1-Dans un cercle de rayon R quelconque et de circonférenceP 2R ; l’angle pour un tour complet sera toujours 2rad.De plus l’angle pour un demi-tour est égal àrad et l’angle pour un quart de tour serarad, etc.…

R2-Les langages de programmations ( Basic, Pascal,…) expriment les angles uniquement en radian. Donc, il faut d’abord convertir l’angle en radian avant d’en demander le sinus, le cosinus ou la tangente. De même quandà partir de la valeur d’un sinus ou d’une tangente,… on en demande l’angle ( fonctions arc si nus, arc tangente,…).

Dans ce dernier cas, l’angle est systématiquement en radian ; il faut en faire une conversion si l’on veut cet angle en degré ou en grade. La conversion à faire n’est pas trop difficile ( c’est une simple règle de trois).

Voici les formules de conversions des angles

Angle en radian *(angle en degré)/180

Angle en radian *(angle en grade)/200

Angle en grade 200*(angle en degré)/180

Angle en grade 200*(angle en radian)/

Angle en degré 180*(angle en grade)/200

Angle en degré 180*(angle en radian)/

Soit r la mesure d’un angle en radian, d la mesure du mêmeangle en degré et gla mesure de ce même angle en grade (vieille unité), nous avons par définition :rdg

Exemples

Convertir les angles suivants :

· 1radian en degré et en grade

· 72degré en radian et en grade

· 98grade en radian et en degré

Quelques éléments en relation à la trigonométrie

Angle et longueur sur un cercle

La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à l’angle au centre qui l’intercepte. (C) est un cercle de centre O et de rayon R. Les deux points A et M appartiennent à (C). Soit b la mesure en degré de l’angle orienté(OA, OM ) et l la longueur de l’arc qui relie les points A et M.

Calculatrice et trigonométrie

Une calculatrice permet de déterminer une valeur approchée :

-du cosinus, du sinus ou de la tangente d’un angle aigu donné, on utilise la touche cos, sin et tan.

-de la mesure de l’angle aigu dont le cosinus, le sinus et la tangente sont données ; on utilise les touches cos1 , sin1 et tan1 ou INV cos, INV sin et INV tan, mais ceci dépend de la calculatrice à utilisée.

Note : Tout d’abord vérifier que la calculatrice est en mode de degré. Exemples :1) 50 sin ce qui donne 0,7660444, donc sin 50 0,77

2) 2 tan1 ce qui donne 63,434949 d’où tan 63 2

3) 90 a cos pour trouver le cosinus de (90 a) .

Table trigonométrique

Les mathématiciens arabes, au Moyen Age, ont dressé les premières tables trigonométriques. A partir de la Renaissance, les occidentaux ont établi des tables de plus en plus précises. Voici un extrait d’une table trigonométrique, telle qu’on en trouvait dans les livres de mathématiques avant l’avènement des calculatrices.

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Table des matières

INTRODUCTION
PARTIE I : GENERALITES SUR LA TRIGONOMETRIE
CHAPITRE I : ANGLES ET TRIGONOMETRIE
I.1. ANGLES ORIENTES
I.1.1. Angles orientés de vecteurs du plan
I.1.2.Orientation du plan
I.1.3. Mesures des angles orientés
I.1.4.Cosinus et sinus d’un angle orienté dans 2 2 e (e orienté)
I.1.5.Angles orientés remarquables
I.1.6.Changement d’orientation de 2 e
I.2.LES ELEMENTS DE LA TRIGONOMETRIE
I.2.1.Les premiers éléments de la trigonométrie
I.2.2.Quelques éléments en relation à la trigonométrie
I.2.3.Détermination des équations de base
I.2.4.Théorème de cosinus et théorème de sinus
CHAPITRE II- LIGNES TRIGONOMETRIQUES
II.1.LIGNES TRIGONOMETRIQUES DES ANGLES
II.1.1.Lignes trigonométriques des angles remarquables
II.1.2.Lignes trigonométriques des angles associés
II.2.FORMULES DE TRANSFORMATIONS
II.2.1.Formules d’additions
II.2.2.Formules de quelques angles
II.2.3.Expression du cosinus, du sinus et de la tangente de a en fonction de la tangente de avec a ¹p [2p ]
II.3.FORMULES DE TRANSFORMATIONS DE SOMME EN PRODUIT ET VICE VERSA
II.3.1.Formules de transformation de somme en produit
II.3.2.Formules de transformation de produit en somme
CHAPITRE III.RESOLUTION DES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
III.1.RESOLUTIONS NUMERIQUES DES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
III.1.1 Résolutions de cos x = a avec aÎ
III.1.2. Résolution de sin x = b avec bÎ
III.1.3. Résolution de tgx = c avec cÎ
III.1.4. Résolution de l’équation a cos x + bsin x + c = 0
III.2.RESOLUTIONS GRAPHIQUES DES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
III.2.1. Résoudre graphiquement l’équation a cos x + bsin x = c
III.2.2. Remarques
III.2.3. Exemples d’applications
III.2.4. Conclusion
PARTIE II : QUELQUES APPLICATIONS DE LA TRIGONOMETRIE
CHAPITRE IV : APPLICATIONS DE LA TRIGONOMETRIE AU NOMBRE COMPLEXE
IV.1. ARGUMENT ET FORME TRIGONOMETRIQUE DE z
IV.1.1.Argument d’un nombre complexe z
IV.1.2.Forme trigonométrique d’un nombre complexe z
IV.2. TRADUCTION DES OPERATIONS AVEC LA FORME TRIGONOMETRIQUE
IV.3. FORMULE DE MOIVRE
IV.4. RACINE nièmè D’UN NOMBRE COMPLEXE
IV.5. PRINCIPE DE LINEARISATION
IV.5.1. Formule d’Euler
IV.5.2. Formule de Moivre
CHAPITRE V.APPLICATION DE LA TRIGONOMETRIE A LA SERIE DE FOURIER
V.1.SERIE ENTIERE
V.1.1.Dérivée d’une série entière
V.1.2.Développement en série entière
V.2. SERIE DE FOURIER OU SERIE TRIGONOMETRIQUE
V.2.1.Définition
V.2.2.Polynôme de Fourier ou polynôme trigonométrique
V.2.3.Série de Fourier associée à une fonction 2p -périodique
CHAPITRE VI : APPLICATION DE LA TRIGONOMETRIE A LA MECANIQUE
VI. 1.LA TRIGONOMETRIE APPLIQUEE AU SYSTEME DE COORDONNEES
VI.1.1.Repérage d’un point dans un plan
VI. 1.2. Repérage d’un point dans un espace
VI.2.LA TRIGONOMETRIE APPLIQUEE AUX ANGLES SOLIDES
VI.2.1.Notion d’angle solide
VI.2.2.Définition
VI.3.LA TRIGONOMETRIE APPLIQUEE AU PLAN INCLINE
VI.3.1.Rappels
VI.3.2.Application de la trigonométrie au théorème du centre d’inertie et au théorème de l’énergie cinétique dans un champ de pesanteur uniforme : plan incliné
VI.3.3.Autres applications de la trigonométrie en utilisant le plan incliné
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE