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FEM
La méthode MEF est très générale et permet de bien modéliser les matériaux magnétiques, les milieux non- homogènes et les structures de forme très complexe. C’est une méthode rigoureuse, mais qui nécessite un temps de calcul important ainsi qu’une grande capacité de mémoire du calculateur. En effet, par sa nature, la méthode MEF nécessite, par exemple, la définition de conditions de troncature pour une simulation en espace libre. Pour cela, il faut définir une boite contenant toute la structure à modéliser. La surface de la boite présente des conditions absorbantes qui proviennent du fait qu’on a un champ EM nul à l’infini. L’intérieur doit être discrétisé d’une façon plus ou moins fine selon la géométrie de la structure. Deux types de discrétisation peuvent être utilisés : des tétraèdres dans le cas 3D ou bien des triangles (2D). Dans les deux cas, la discrétisation géométrique n’est pas forcément uniforme.
En présence de conducteurs plats ou filaires ou de conducteurs en grand nombre, la méthode MEF devient très exigeante en temps de calcul et en capacité de mémoire surtout qu’on est amené à discrétiser aussi l’air.
Contrairement aux méthodes aux équations intégrales telles que la méthode des MoM, la matrice résultante est creuse pour n’importe quelle structure. En effet, lors la modélisation avec la méthode FEM, chaque cellule de discrétisation ne tient compte que des cellules de son voisinage. Lorsque les cellules sont éloignés les unes des autres, l’interactio n est absente ce qui conduit à ces matrices creuses qui sont facilement inversibles.
L’utilisation de cette méthode est restreinte à des problèmes de petites dimensions (vis-à-vis de la longueur d’onde). Ceci ne répond pas à nos critères de choix de la méthode de simulation. Pour cela, notre choix penche du côté des méthodes aux équations intégrales.
MoM
La méthode des moments (MoM : Method of Moments) est très largement utilisée depuis plusieurs décennies dans diverses disciplines de la modélisation EM et en particulier en CEM. Elle s’applique généralement à la résolution d’une formulation intégrale de surface du champ électrique (EFIE : Electric Field Integral Equation) ou magnétique (MFIE : Magnetic Field Integral Equation). C’est une méthode de résolution plutôt fréquentielle même si elle peut être utilisée dans le domaine temporel. Appliquée à des structures de câblage ou des circuits PCB, contrairement aux méthodes volumiques, la MoM ne modélise que les structures à simuler en l’occurrence dans notre travail les conducteurs. Autrement, elle ne fait pas partie des méthodes volumiques dans lesquelles on doit prendre en compte l’air. Elle est bien adaptée à la modélisation des régions minces et filaire, car l’utilisation des méthodes volumiques devient vite inadaptée.
Malgré les avantages qu’elle présente devant la méthode MEF, la MoM conduit à un calcul assez lourd. Ainsi, les capacités mémoires requises et le temps de simulation requis croissent très rapidement avec la complexité du problème EM à résoudre. Aussi, pour des structures complexes contenant des matériaux diélectriques ou bien des matériaux magnétiques, la résolution à l’aide de la MoM reste très délicate.
FEM-MoM
De plus en plus, dans les logiciels commerciaux de modélisation EM, nous remarquons la combinaison de plusieurs méthodes numériques. Généralement, la tendance est de coupler des méthodes aux équations intégrales avec d’autres aux équations différentielles. Dans la modélisation EM et en particulier dans le domaine de la CEM les méthodes les plus communément utilisées sont, la MoM, la MEF ou FEM et la FDTD (Finite-difference time-domain method). À titre d’exemple (non exhaustif), nous citons les méthodes hybrides FDTD/MoM et FEM/MoM. Cette hybridation profite des points forts de chaque méthode. Pour une méthode hybride FEM/MoM, l’idée est d’utiliser d’un coté la méthode MEF pour traiter les parties de structure qui sont hétérogènes et de l’autre coté la méthode des moments qui évite une discrétisation non nécessaire d’un espace homogène de la structure et qui est bien adaptée à la modélisation des conducteurs de dimensions fines ou plates. De la sorte, on obtient un modèle général (FEM), rapide (MoM) et bien sûr fiable (FEM et MoM).
Méthode PEEC
La méthode a été développée par RUHELI en 1974 dans le but de calculer le couplage inductif dans les circuits intégrés de type VLSI [25]. Ensuite, afin d’assurer la nécessité de la montée en fréquence, l’effet capacitif [26] a été rajouté au calcul des inductances pour une méthode de modélisation à part entière [13].
En 1992 un modèle PEEC prenant en compte les régions diélectriques a été présenté [27]. Par la suite, des travaux sur la méthode PEEC ont amélioré différents aspects tels que l’effet de peau et de proximité [28] et la stabilité liée à la résolution des systèmes linéaires [29].
Jusqu’en 1999, dans tous les travaux sur la méthode PEEC, on a utilisé une discrétisation orthogonale. Date à laquelle, la discrétisation non orthogonale des conducteurs a été introduite [30]. Ce type de discrétisation a été développé et amélioré dans [31]. Dans [32], la méthode PEEC a été adaptée aux structures de section circulaire.
La méthode, développée au début pour l’analyse du comportement électromagnétique des VLSI, est devenue une méthode incontournable dans l’étude et la modélisation des pistes de circuit imprimé (PCB) des systèmes électroniques embarqués (interconnexions), de l’électronique de puissance, des lignes de transmission, des antennes et aussi dans l’étude des systèmes de câblage (câbles, plan de masse, bus barre etc.) [33].
Implémentation de la méthode PEEC
Discrétisation et circuit élémentaire PEEC
Le passage de l’équation intégrale du champ électrique (EFIE) à la méthode PEEC se fait en discrétisant les conducteurs en des volumes et des surfaces exploitables pour l’obtention du circuit équivalent RLC. Le choix des dimensions des cellules de discrétisation qu’elles soient volumiques ou surfaciques est directement lié à la fréquence maximale de travail, à la précision de calcul souhaitée et par conséquent au temps de calcul.
D’une façon générale, en modélisation EM, le critère de discrétisation, donné par la relation (I.27), doit être respecté [34][35]. Il assure une discrétisation très fine comparée à la longueur d’onde. Dans la relation (I.27), lth représente la dimension des cellules de discrétisation, c représente la vitesse de la lumière et λmin est la longueur d’onde relative à la plus haute fréquence d’étude f max . La longueur électrique κ est définie comme étant le rapport entre la longueur de la cellule et la longueur d’onde. Généralement, dans les méthodes de modélisation EM, on fixe κ = 10 . Cependant, il a été démontré dans [36]que le choix de κ = 20 est plus adapté au modèle PEEC. Dans la littérature, plusieurs types de discrétisation sont utilisés dans la méthode PEEC. Dans notre travail, nous nous contentons de la discrétisation orthogonale et dite « de Manhattan ». Nous pouvons en distinguer 3 types : 1D, 2D et 3D. Il est évident, par rapport au temps de calcul, qu’on préfère la discrétisation 1D et 2D à celle à 3D et on n’hésite pas à le faire dès que la nature de la structure le permet. La plus générale (3D) considère les trois dimensions de la structure. Elle est utilisée pour les systèmes massifs dans lesquels la distribution du courant se fait dans toutes les directions x, y et z. Chacune des cellules est définie par son origine, ses dimensions, sa conductivité et ses deux nœuds auxquels elle est reliée [38].
Figure I.3 – Discrétisation 3-D
Le deuxième type de discrétisation est adapté aux systèmes 2D (Figure I.4) tels que les plans de masse dans lesquels la distribution de courant se fait sur la surface. La composante normale du courant est négligeable vu son épaisseur par rapport à sa longueur et sa largeur.
Pour traiter des câbles, nous utiliserons la discrétisation à une dimension (1-D). La discrétisation en une seule dimension des câbles est expliquée par la circulation du courant. Ce type de discrétisation appliqué au câble permet de prendre en compte l’effet de peau et l’effet de proximité. Donc, afin de mener à bien la résolution du problème EM lié au câblage à l’aide de la méthode PEEC, nous devons étudier l’effet de peau et l’effet de proximité, qui présentent à eux deux une très grande influence dès que l’on monte en fréquence.
Figure I.4 – Discrétisation 2-D d’un plan de masse
En se fiant à la relation (I.22), base de la mise en circuit équivalent, les surfaces utilisées pour le calcul capacitif ne sont que les surfaces extérieures des cellules volumiques de discrétisation. Autrement dit, à chaque nœud on associe les surfaces correspondantes (Figure I.5).
La surface à prendre en compte est la surface extérieure de ce volume puisque les charges considérées dans le calcul capacitif sont les charges électriques qui sont surfaciques.
Éléments partiels
Le circuit équivalent à une cellule de discrétisation et qui est placé entre deux nœuds est constitué de trois éléments partiels. Premièrement, l’inductance partielle propre à chaque cellule volumique ainsi que les inductances partielles mutuelles entre-elles. Ces éléments représentent le couplage magnétique dans le circuit éq uivalent. Le deuxième élément, qui présente l’effet capacitif, est le coefficient de potentiel représentant le couplage électrique entre les surfaces qui entourent chacun des nœuds. Enfin, le troisième élément du circuit équivalent est sa résistance.
Cette technique est d’autant plus précise que ces deux conditions sont satisfaites: les surfaces qui entourent les nœuds sont équipotentielles et auss i admettent la même densité de charges. Lorsque la fréquence de travail augmente et il devient nécessaire de discrétiser une structure de câblage le plus finement possible, le nombre de cellules surfaciques devient énorme et les systèmes complexes à résoudre. En effet, la matrice de coefficients de potentiel est une matrice pleine dont sa dimension augmente très rapidement en fonction de la discrétisation. Et, l’inversion d’un système contenant une telle matrice demande davantage de temps de calcul et de mémoire. Pour cela, il était nécessaire de considérer un nouveau calcul capacitif que nous allons détailler dans ce qui suit.
Concernant l’intégration de l’effet capacitif dans le circuit équivalent PEEC, après quelques simplifications [38], on peut utiliser deux différents modèles de type circuit : un modèle associant en série une pseudo-capacité et un générateur de tension piloté en tension (Figure I.9.a), cette source contrôlée est pilotée par toutes les tensions des autres éléments du maillage; un modèle comportant en parallèle une pseudo-capacité et un générateur de courant piloté en courant. (Figure I.9.b). Le générateur est également contrôlé par tous les éléments du maillage.
Contrairement au calcul inductif qui ne se fait que sur une même direction du courant, le calcul capacitif se fait aussi bien pour des cellules parallèles que pour les cellules perpendiculaires [38] (Annexe A). Cela entraine forcément un nombre de calculs très important pour des structures de grande taille. Toutefois, le plus délicat est d’en extraire un circuit électrique équivalent. En effet, la notion de source contrôlée fait interagir toutes les cellules, et quand le nombre de celles-ci est important, il devient difficile de mettre en œuvre ce type de montage, ajouté à cela les éventuelles limitations liées aux logiciels de simulation électrique tel que Spice3f5 utilisé dans notre cas [43][44]. Le couplage capacitif dans la méthode PEEC est calculé entre chaque couple de cellules du système discrétisé en trois dimensions. Plus la discrétisation est fine plus le calcul devient lourd. Dans le but de modéliser une structure de câblage, après l’avoir discrétisée convenablement, nous en déduirons les éléments partiels relatifs à chaque cellule. Les éléments partiels relatifs à chaque cellule forment un circuit équivalent de base (Figure I.10). Les circuits équivalents de base, regroupés, permettent de décrire le comportement, à la fois, électrique et électromagnétique de la structure entière.
Afin de résoudre ce problème EM, deux possibilités se présentent. La première est basée sur la création d’un fichier de type circuit traitable par un simulateur de type SPICE. Dans ce fichier circuit, nous définissons les éléments circuits qui sont les inductances, les résistances, les couplages inductifs, la capacité partielle propre et les sources contrôlées par courant présentant les couplages capacitifs. Le deuxième type de résolution utilise l’inversion matricielle. Cette résolution est mathématiquement équivalente à celle de type circuit. Son avantage est qu’elle n’est pas limitée au nombre d’éléments circuits comme le cas de certains outils de simulation circuit.
Résolution de type circuit
Les simulateurs SPICE, souffrent du fait qu’ils ne supportent pas un très grand nombre de sources contrôlées. Par exemple, dans notre travail, nous utilisons Spice3f5 dans lequel nous ne pouvons pas mettre plus de 64 sources. Afin de remédier à ce problème, la mise en série de plusieurs sources de tensions, dont chacune est commandée par moins de 64 sources, est possible (Figure I.11.a). Pour un même objectif, la présentation en sources de courant peut être modifiée en mettant, cette fois, en parallèle les différentes sources. Chacune de ces sources ne doit pas être commandée (contrôlée) par plus que 64 sources (Figure I.11.a).
La valeur de ce coefficient de couplage varie entre -1 et 1. Elle renseigne sur l’importance d’un tel couplage. Lorsque deux cellules s’éloignent, ce coefficient tend vers zéro. Inversement, le module de ce coefficient tend vers un lorsque les cellules se rapprochent. Lorsque les cellules sont confondues, il vaut 1.
La définition d’un couplage inductif à travers le coefficient de couplage inductif nous épargne l’utilisation de sources de tension commandée par courant. Dans ce cas, contrairement à l’implémentation du modèle de l’effet capacitif, nous ne sommes pas limités par rapport au nombre des inductances (cellules) couplées.
Résolution Matricielle
Le problème EM obtenu par la méthode PEEC peut être défini sous une forme matricielle. Cette résolution permet de prendre en compte plus facilement l’effet de peau que la résolution de type circuit. En utilisant la méthode MNA (MNA, Modified Nodal Analysis), le modèle circuit obtenu par PEEC peut être placé sous forme d’un système matriciel [45].
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Table des matières
Introduction générale
Chapitre I Modélisation PEEC
I.1 Hypothèses de calcul
I.2 Quelques Méthodes numériques de Modélisation EM
I.2.1 FEM
I.2.2 MoM
I.2.3 FEM-MoM
I.3 Méthode PEEC
I.3.1 Formulation mathématique de la méthode PEEC
I.3.2 Implémentation de la méthode PEEC
I.3.2.1 Discrétisation et circuit élémentaire PEEC
I.3.2.2 Éléments partiels
I.3.2.3 Résolution de type circuit
I.3.2.4 Résolution Matricielle
I.3.2.5 Effet de peau et effet de proximité par la méthode PEEC
I.4 Émissions conduites
I.4.1 De la méthode PEEC conventionnelle à la méthode PEEC Hybride
I.4.2 Description de la géométrie et de la discrétisation du système étudié
I.4.3 La considération de l’effet capacitif dans la méthode PEEC
I.4.4 Temps de calcul :
I.5 Conclusion
Chapitre II Émissions Électromagnétiques rayonnées
II.1 Calcul des émissions EM rayonnées
II.1.1 Équations d’ondes en milieu homogène [62]
II.1.2 Définition des champs électromagnétiques proche et lointain
II.1.3 Calcul des champs électromagnétiques
II.1.4 Calcul Analytique 1D
II.1.4.1 Approximation du Régime Quasi Stationnaire
II.1.4.2 Approximation du dipôle infiniment petit :
II.1.4.3 Approche proposée : développement en série de Maclaurin :
II.1.4.4 Validation
II.1.5 Calcul Analytique 3D
II.1.6 Validation du calcul
II.2 Modélisation des émissions rayonnées
II.2.1 Validation par la méthode des éléments finis
II.2.2 Mesures des émissions rayonnées : banc champ proche
II.3 Conclusion
Chapitre III Application au rayonnement de câblages
III.1 Étude d’un cas test reflétant les problèmes EM rencontrés dans le câblage automobile
III.1.1 Système étudié
III.1.2 Étude Émission conduite
III.1.3 Émissions EM rayonnées
III.2 Association d’un système de câblage à un convertisseur DC-DC
III.2.1 Source de perturbations
III.2.2 Modèle HF du filtre du convertisseur DC-DC
III.2.3 Modèle simplifié du système de câblage
III.2.4 Émissions EM conduites et rayonnées
III.2.4.1 Émissions conduites
III.2.4.2 Émissions rayonnées
III.3 Conclusion
Bibliographie III
Conclusion générale et perspectives
Liste des publications liées aux travaux de thèse
Annexe A : Modélisation PEEC : calcul des éléments circuits
Annexe B : Définition des champs électromagnétiques proche et lointain
Annexe C : Codes de calcul des champs EM : Série Maclaurin
Annexe D : Identification de la source perturbations
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