Aspects épistémologiques des figures et du raisonnement pour l’entrée dans la géométrie théorique

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Première analyse des programmes scolaires des cycles 1 à 4

Dans cette section, nous proposons une première analyse des programmes scolaires en vigueur à la rentrée 2020. Dans le chapitre 5, nous étudierons plus en profondeur ceux des cycles 3 et 4 qui nous intéressent plus particulièrement pour la conception des parcours d’apprentissage.

Vision globale de l’enseignement de la géométrie

L’enseignement de la géométrie plane de l’école maternelle au lycée est souvent décrit comme fait de ruptures. Nous nous appuyons sur les travaux de Perrin-Glorian et Godin (2014) et Mathé, Barrier, et Perrin-Glorian (2020) ainsi que sur les programmes des cycles 1, 2, 3 et 4 de 2020 pour les expliciter.

l’école maternelle, une forme géométrique est un objet matériel que l’on peut déplacer, retourner, assembler à d’autres. Les élèves reconnaissent perceptivement les formes géométriques et découvrent leurs premières caractéristiques. Ils s’en servent comme gabarit ou comme pochoir pour dessiner des figures géométriques planes.

Par des observations, des comparaisons, des tris, les enfants sont amenés mieux distinguer différents types de critères : forme, longueur, masse, contenance essentiellement. Ils apprennent progressivement à reconnaître, distinguer des solides puis des formes planes (Programme du cycle 1 , 2020, p. 22).

La première rupture a lieu à la transition cycle 1 / cycle 2 où les instruments usuels de tracé, de mesure et de vérification des propriétés sont peu à peu introduits. Les instruments de tracé et de report de grandeur permettent de produire les caractéristiques visuelles des figures dont certaines relèvent de propriétés géométriques (angles droits et perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, etc.) et d’autres de propriétés spatiales (emplacement sur la feuille, orientation, etc.). La validation des propriétés des figures géométriques ne s’appuie donc désormais plus sur la simple perception mais sur l’utilisation des instruments comme on le lit dans le programme du cycle 2 :

— utiliser la règle (non graduée) pour repérer et produire des aligne-ments ;

— repérer et produire des angles droits à l’aide d’un gabarit, d’une équerre […] ;

— repérer ou trouver le milieu d’un segment, en utilisant une bande de papier avec un bord droit ou la règle graduée ; […]

— reconnaître si une figure présente un axe de symétrie (à trouver), visuellement et/ou en utilisant du papier calque, des découpages, des pliages (Programme du cycle 2 , 2020, p. 64).

La deuxième rupture a lieu à la transition cycle 3 / cycle 4 lorsque les élèves sont amenés à passer de la géométrie physique des tracés matériels avec des instruments la géométrie théorique des démonstrations. Les figures sont désormais des objets géométriques définis par des propriétés avec une axiomatique plus ou moins explicite. Les propriétés sont énoncées ou codées sur les figures et expriment des relations entre des éléments constitutifs des figures. Faire de la géométrie, c’est déduire de nouvelles propriétés à partir de celles que l’on a déjà. Cette rupture tient en particulier au mode de validation des solutions proposées. Au cycle 3, en particulier à l’école primaire, la perception aidée d’instruments de tracé ou de mesure portant sur des objets matériels ou graphiques suffit la plupart du temps. Tandis qu’au cycle 4, il est nécessaire d’établir un discours logique à partir d’énoncés décrivant des propriétés d’objets théoriques ou de relations entre ces objets.

Prolongeant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèves de passer progressivement d’une géométrie où les objets (le carré, la droite, le cube, etc.) et leurs propriétés sont essentiellement contrôlés par la perception à une géométrie où le recours à des instruments devient déterminant, pour aller ensuite vers une géométrie dont la validation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation (Programme du cycle 3 , 2020, p. 97).

Ils valident désormais par le raisonnement et la démonstration les pro-priétés qu’ils conjecturent (Programme du cycle 4 , 2020, p. 136).

Première analyse des programmes scolaires des cycles 1 à 4

Le logiciel MindMath étant à destination des collégiens, nous nous positionnons au niveau de la deuxième rupture lors de l’introduction d’une « géométrie dont la validation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation » que Mathé et al. (2020) appellent géométrie théorique. Nous nous concentrons donc sur l’entrée dans le raisonnement de la géométrie théorique tel qu’il est décrit dans les programmes du cycle 4 (Programme du cycle 4 , 2020) et apparaît dans les attendus de fin d’année dès la classe de 5e :

Le programme du cycle 4 permet d’initier l’élève à différents types de raisonnement, le raisonnement déductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde 9 (Programme du cycle 4 , 2020, p. 127).

Compétences travaillées […] démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion (Programme du cycle 4 , 2020, pp. 129-130).

Ce que sait faire l’élève […]. Il mène des raisonnements en utilisant des propriétés des figures, des configurations

— et des symétries (Attendus de fin d’année de 5e, 2019, p. 10) ;

— et de la translation (Attendus de fin d’année de 4e, 2019, p. 10) ;

— de la rotation et de l’homothétie (Attendus de fin d’année de 3e, 2019, p. 8).

Nous en concluons que le passage de la géométrie physique à la géométrie théorique et en particulier l’utilisation du raisonnement géométrique déductif (même non encore entièrement formalisé sous la forme de démonstrations) doivent donc être des objectifs d’apprentissage des parcours que nous proposons dans le logiciel MindMath à destination des élèves de cycle 4. Nous nous demandons alors naturellement : comment amener ces élèves à entrer dans la géométrie théorique ?

Pour cela, nous commençons par étudier brièvement les continuités et disconti-nuités entre les programmes des cycles 3 et 4 afin de déterminer, dans une première approche, des objets sur lesquels nous pourrions nous appuyer pour amener les élèves entrer dans le raisonnement de la géométrie théorique.

Continuités et discontinuités dans les programmes scolaires des cycles 3 et 4

Après une première lecture rapide des programmes de cycle 3 et de cycle 4 de 2020, nous pouvons déjà pointer des types de problèmes et/ou des démarches de résolution en géométrie plane travaillés dans une institution et plus, moins, ou différemment dans l’autre.
En premier lieu, au cycle 3, nous trouvons beaucoup de tâches de construction, qu’il s’agisse de :
— construire à l’aide d’instruments matériels comme l’équerre (angles droits, droites perpendiculaires), le rapporteur ou le gabarit (pour construire et reporter des angles) ou une association de la règle et de l’équerre (droites parallèles) ;
— reproduire, représenter ou construire des figures simples ou composées de figures simples dans l’environnement papier-crayon ou informatique ;
— construire ou compléter l’image d’une figure simple ou composée de figures simples (y compris un point, un segment ou une droite) par une symétrie axiale.

Nous étudierons plus finement les distinctions entre ces types de tâches dans la section 3.2.2. Ainsi, au cycle 3, « les constructions géométriques ont un rôle essentiel dans les apprentissages. Elles permettent de réinvestir les définitions et les propriétés qui ont été institutionnalisées » (Espace et géométrie au cycle 3 , 2018, p. 6).
Au contraire, au cycle 4, très peu de tâches de construction sont proposées dans les programmes. La seule mention concerne la construction de figures géométriques à partir d’un « protocole de construction », déjà présent dans les programmes scolaires des cycles 2 et 3 sous le nom de « programme de construction ». Dans les attendus de fin d’année, on trouve cependant quelques tâches de construction, en particulier pour mettre en jeu les transformations géométriques. En 5e, il est également indiqué que l’élève doit réussir à tracer « des triangles et des parallélogrammes donnés sous forme de figure à main levée ou d’un texte » (Attendus de fin d’année de 5e, 2019, p. 10) ou tracer « en vraie grandeur » une figure donnée avant d’en expliquer le protocole de construction.

Cela ne signifie pas que les élèves ne construisent plus de figures en 4e et en 3e. Il est toujours régulièrement demandé dans les manuels scolaires de « construire (en vraie grandeur) » la figure décrite par un énoncé avant de travailler sur ses propriétés (comme sur image 1.1, par exemple). Ce n’est cependant plus un attendu du programme.

Point de vue de l’élève

Nous utilisons donc la notion de praxéologie pour étudier comment l’institution prend en charge le passage de la géométrie physique à la géométrie théorique à la transition cycle 3 / cycle 4. Cependant, notre travail porte aussi sur la conception d’un EIAH qui prend en compte et s’adapte aux raisonnements, erreurs et difficultés mathématiques de élève. Nous nous intéressons donc aux activités cognitives en jeu dans l’apprentissage de la géométrie plane. Dans cette section, nous ne développons que les concepts didactiques que nous utiliserons tandis que les activités cognitives elles-mêmes sont plus largement étudiées dans le chapitre 3.

Besoins d’apprentissage et modes de justification

l’origine des travaux autour du logiciel Pépite, Grugeon (1997) cherche à comprendre pourquoi des élèves ayant un baccalauréat technologique se retrouvent en difficulté en mathématiques lorsqu’ils entrent en première d’adaptation 3.

Elle met donc en relation le fonctionnement cognitif des élèves, défini à partir de leurs rapports personnels à l’algèbre élémentaire, et les rapports institutionnels à l’algèbre dans les deux institutions auxquelles elle s’intéresse : le BEP tertiaire et la première d’adaptation. Grugeon décrit l’algèbre selon plusieurs dimensions à partir desquelles elle construit une structure d’analyse pour repérer les rapports personnels et institutionnels à l’algèbre.

Dans les années 1990, après l’obtention d’un Brevet d’Études Professionnelles (BEP), il était possible pour les meilleurs élèves de terminale d’obtenir également un baccalauréat technologique en passant par une classe passerelle entre le BEP et la terminale technologique : la première G d’adaptation, qui devient première S.T.T. d’adaptation à partir de 1993.

En s’appuyant sur les travaux de Castela (2008), Grugeon-Allys (2016) fait l’hy-pothèse que ces décalages peuvent constituer autant de besoins d’apprentissage des élèves ignorés par les institutions. Bien que régulièrement utilisée, cette notion de besoins d’apprentissage n’est jamais réellement définie dans les lectures que nous avons faites. Nous proposons donc de définir les besoins d’apprentissage d’un élève comme « ce qu’il est nécessaire de travailler pour faire évoluer son rapport personnel actuel vers un rapport personnel idoine au regard des attendus de l’institution » (Jolivet, Lesnes-Cuisiniez, & Grugeon-Allys, À paraître). Les besoins d’apprentissage correspondent donc à ce qui est à travailler par l’élève pour :

— favoriser la négociation de ruptures d’ordre épistémologique (Vergnaud et al., 1988) ;

— poursuivre la construction d’éléments technologico-théoriques pour résoudre des tâches du domaine nécessitant pour leur résolution la convocation de différents types de tâches (Castela, 2008) comme nous le verrons dans la section 2.2.2.

Dans le cadre du logiciel Pépite, Grugeon construit donc un diagnostic infor-matisé de dix-neufs tâches pour essayer de repérer ces besoins d’apprentissage. Une analyse très fine des techniques mises en œuvre dans la résolution de chacune de ces tâches, n’étant pas directement exploitable par les enseignants en classe, Grugeon s’intéresse à une étude transversale des tâches pour repérer des cohérences dans les raisonnements mis en œuvre par les élèves et définir ainsi des profils d’élèves. Ce qu’elle exprimera, après l’introduction des praxéologies dans la TAD (Chevallard, 1999) par : « nous cherchons à dégager à travers les techniques correctes ou incorrectes mobilisées par les élèves, le bloc technologico-théorique que les élèves mobilisent de façon prégnante » (Grugeon-Allys, 2016, p. 66, c’est nous qui soulignons). Ainsi, comme nous l’avons vu dans la section 2.1.4, Grugeon-Allys s’intéresse au bloc logos des praxéologies, correctes ou erronées, développées par les élèves et les hiérarchise pour situer les praxéologies apprises par rapport à celles visées.

Pour chacune des dimensions de l’algèbre relevées (usage de l’algèbre (UA), calcul algébrique (CA), et traduction – génération entre différents registres sémiotiques au sens de Duval (1993b) (T)), Grugeon-Allys identifie des modes qui caractérisent les praxéologies développées par les élèves au niveau du bloc technologico-théorique et permet de les comparer au modèle de référence. Elle définit ainsi un mode technologico-théorique idoine au regard du niveau scolaire considéré, un mode technologicothéorique faible en lien avec une technologie faible développée par l’enseignant au sens de Wozniak (2012), un mode technologico-théorique incorrect relativement à certains aspects épistémologiques de l’algèbre élémentaire et un mode technologico-théorique qui relève d’un logos « ancien », ici, appuyé sur l’arithmétique. La définition des modes technologico-théoriques permet l’élaboration d’une typologie des praxéologies apprises par les élèves de façon à repérer leurs besoins d’apprentissages en les comparant aux praxéologies définies dans le MPR.

Pour désigner les modes technologico-théoriques définis par Grugeon-Allys (2016), nous parlons de modes de justification. En effet, un mode de justification est en lien avec le processus de conceptualisation d’un élève et rend compte d’un aspect de son fonctionnement cognitif sur un domaine donné des mathématiques. Il s’agit de caractériser un aspect de son activité lié en particulier à la justification des techniques de résolution employées, voire à une justification plus théorique. Ce choix nous permet également d’éviter le terme « technologique » qui peut prêter confusion, en particulier dans le domaine des EIAH et lorsque nous discutons avec d’autres acteurs du projet MindMath qui ne font pas partie de la communauté didactique. Nous nous alignons ici sur le choix de Taranto, Robutti, et Arzarello qui travaillent dans un contexte de MOOCs (Massive Open Online Courses), la justification renvoyant ici à la partie technologie des praxéologies mobilisées par l’élève (Taranto et al., 2020, p. 1440).

En complément du MPR qui nous permet d’analyser les praxéologies à enseigner en prenant en compte un point de vue institutionnel, les modes de justification nous permettent d’analyser les praxéologies apprises en prenant en compte le point de vue de l’élève (cf. image 2.4).

Dans le chapitre 4, nous définirons les modes de justification en géométrie selon les dimensions de l’activité géométrique que nous expliciterons. Dans le chapitre 7, nous verrons comment nous nous appuyons sur la définition de ces modes de justification pour modéliser l’élève dans l’EIAH.

Complexité des tâches mathématiques

Le but de cette thèse est d’amener l’élève à entrer dans la géométrie théorique et donc à faire évoluer son activité géométrique. Pour cela, au-delà du travail sur les différents types de tâches du domaine géométrique, nous jouons, pour un type de tâches donné, sur la portée des techniques et la complexité des tâches proposées.

Ainsi, nous confrontons d’abord l’élève à la limite de la portée des techniques (erronées ou anciennes) qu’il utilise et donc à la nécessité de mobiliser d’autres techniques associées à d’autres technologies idoines pour résoudre un type de tâches donné (Grugeon-Allys, Pilet, Chenevotot-Quentin, & Delozanne, 2012, p. 14).

Une fois une praxéologie ponctuelle correspondant à une technologie visée intro-duite, nous jouons sur la complexité des tâches proposées afin de faire développer à l’élève un rapport idoine à la géométrie théorique en le rendant capable d’utiliser les objets de l’institution en tant qu’outils pour résoudre des tâches où ils ne sont pas forcément directement évoqués. En effet, l’élève « n’avance pas seulement par intro-duction d’une OM 4, il progresse en complexifiant les niveaux d’intervention de cette OM » (Castela, 2008, p. 155). Cette notion de complexité a été étudiée par Robert (2008b) dans le cadre de la théorie de l’activité en didactique des mathématiques. En TAD, Castela s’appuie sur ces travaux pour proposer une analyse à un niveau plutôt macrodidactique (Castela, 2008, p. 153).

Nous nous plaçons donc ici du côté du sujet cognitif. Celui-ci développe une activité pour réaliser une tâche. Une tâche a toujours un objet à transformer ou étudier et « peut se décrire au minimum en termes de résultats à atteindre : l’état de l’objet quand la tâche aura été (correctement) réalisée » (Rogalski, 2008, p. 15). L’activité est donc composée d’actions, d’interactions avec d’autres sujets, d’hypothèses, de décisions prises, de manières de gérer le temps, de l’état personnel du sujet, etc. Mais si le sujet, en réalisant la tâche, modifie la situation, il se modifie également lui-même, c’est la dimension constructive de l’activité. Nous verrons comment Rabardel (1995) part également de ce principe pour développer la notion de genèse instrumentale (cf. section 2.3.2).

On distingue en fait plusieurs tâches selon le point de vue auquel on se situe.

Castela (2008) parle d’OM quand nous parlons de praxéologies dans le reste de thèse, on peut les employer comme synonymes (cf. section 2.1.3).

Ainsi, du côté du prescripteur de la tâche, on parle de tâche prescrite (les buts et conditions sont explicités dans les textes prescriptifs) ou de tâche attendue (qui correspond au contenu réel des attentes de la personne qui prescrit la tâche). Du côté de celui qui réalise la tâche, on parle de tâche redéfinie (conception de la tâche que se donne le sujet) ou de tâche effective (tâche à laquelle le sujet répond effectivement) (Rogalski, 2003, p. 350). « L’activité est déterminée par la tâche effective, ce que le sujet a effectivement accompli, les buts visés par l’action, les moyens effectivement mis en œuvre, les contraintes effectivement respectées » (Rogalski, 2003, p. 350).

Pour analyser l’activité de l’élève, on peut donc d’abord analyser a priori la tâche prescrite (par l’enseignant la plupart du temps). Celle-ci s’analyse, bien sûr, en référence aux savoirs en jeu mais aussi aux connaissances supposées disponibles de l’élève et au contexte (niveau de la classe, programmes scolaires en vigueur, environnement technologique, etc.) (Vandebrouck & Robert, 2017, p. 4). Ainsi, Castela se demande « quels sont les savoirs déjà institutionnalisés ? Quels sont les problèmes déjà résolus ? L’énoncé est-il posé dans le cadre d’un chapitre précis ? Certaines techniques sont-elles usuellement associées à certains éléments, configurations ou autres ostensifs 5 par exemple ? Ceux-ci sont-ils présents dans l’énoncé ? » (Castela, 2008, p. 151). De plus, le traitement de cette tâche « peut susciter l’apparition de tâches cachées dans la prescription initiale » (Castela, 2008, p. 151), ces tâches étant souvent issues de types de tâches différents. La détermination de ces tâches cachées et les réponses aux questions de Castela permettent de déterminer la complexité de la tâche prescrite.

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Table des matières

Introduction
1 Contexte de la recherche et questions initiales
1.1 Les projets MindMath et Pépite : liens et enjeux
1.1.1 Inscription dans le projet MindMath
1.1.2 Appui sur le projet Pépite
1.2 Première analyse des programmes scolaires des cycles 1 à 4
1.2.1 Vision globale de l’enseignement de la géométrie
1.2.2 Continuités et discontinuités dans les programmes scolaires des cycles 3 et 4
1.2.3 Une double rupture épistémologique entre la géométrie physique et la géométrie théorique
1.2.4 Difficultés des élèves de cycle 4 en géométrie
1.3 Gestion de la double rupture entre géométrie théorique et géométrie physique
1.3.1 Des travaux en didactique des mathématiques à la transition entre géométrie physique et théorique
1.3.2 Géométrie des tracés
1.3.3 Le raisonnement déductif dans des situations de décision
1.3.4 Rôles des constructions de figures
1.4 Objectifs de la thèse
I Étude des conditions didactiques pour l’entrée dans la 6géométrie théorique
2 Cadre théorique, problématique et méthode
2.1 Point de vue institutionnel
2.1.1 Objets, rapports, institutions, sujets et système didactique
2.1.2 La transposition didactique
2.1.3 Praxéologies
2.1.4 Praxéologies personnelles
2.1.5 Échelle de codétermination des savoirs
2.1.6 Modèle praxéologique de référence
2.2 Point de vue de l’élève
2.2.1 Besoins d’apprentissage et modes de justification
2.2.2 Complexité des tâches mathématiques
2.2.3 Aides procédurales, aides constructives
2.3 Prise en compte de l’outil informatique
2.3.1 Transposition informatique
2.3.2 La genèse instrumentale
2.3.3 Valences pragmatique et épistémique des techniques de résolution
2.3.4 Générateurs de types de tâches
2.4 Problématique et méthode générale de la thèse
2.4.1 Problématique et hypothèse de recherche
2.4.2 Méthode générale de la thèse
3 Aspects épistémologiques des figures et du raisonnement pour l’entrée dans la géométrie théorique
3.1 Figures géométriques
3.1.1 Figure géométrique et visualisation non iconique
3.1.2 Déconstruction instrumentale et dimensionnelle
3.1.3 Sens et dénotation des énoncés décrivant les figures géométriques
3.1.4 Fonction heuristique des figures géométriques
3.2 Problèmes de construction
3.2.1 Tracé et construction de figures
3.2.2 Restauration, reproduction et construction de figures
3.2.3 Raisonnement par analyse-synthèse
3.2.4 Programmes de construction
3.2.5 Exemples de résolution d’une tâche de construction
3.3 Raisonnements
3.3.1 Première définition du raisonnement
3.3.2 Argumentation, preuve, démonstration, raisonnement déductif 95
3.3.3 Argumentation heuristique
3.3.4 Une typologie plus fine des preuves
3.3.5 Milieu, validation et contrôles
3.4 Éléments épistémologiques relatifs à la géométrie des figures planes
retenus pour la construction du MPR
3.5 Conditions didactiques à la création d’un milieu riche pour les tâches
de construction
3.5.1 Travail sur les grandeurs géométriques
3.5.2 Jeu sur les outils de construction à disposition
3.5.3 Résumé des conditions didactiques sur les tâches de construction
4 MPR et modes de justification de l’élève relatifs aux figures planes de la géométrie « à la Euclide » dans le champ d’action de la transition cycle 3/cycle 4
4.1 Organisation du savoir géométrique
4.2 La praxéologie locale relative à la construction de figures planes
4.2.1 Types de tâches
4.2.2 Technique
4.2.3 Éléments technologico-théoriques
4.3 Modes de justification de l’élève relatifs à la construction de figures planes
4.3.1 Définition des modes de justification de l’élève
4.3.2 Critères pour l’analyse des productions de l’élève
5 Entrée dans la géométrie théorique dans les programmes et manuels scolaires en vigueur à la rentrée 2020
5.1 Méthode d’analyse des programmes et manuels scolaires
5.2 Analyse écologique des programmes scolaires depuis 2008
5.2.1 Programmes scolaires étudiés
5.2.2 Structure des programmes scolaires de 2008 et de 2020
5.2.3 Raisons d’être des problèmes de construction et du raisonnement déductif dans les programmes scolaires de 2008 et 2020
5.3 Praxéologies locales de construction et liens avec l’entrée dans la géométrie théorique dans les programmes scolaires de 2020
5.3.1 Praxéologies de construction
5.3.2 Liens entre construction et raisonnement déductif
5.3.3 Besoins d’apprentissage ignorés des programmes scolaires de 2020
5.4 Éléments praxéologiques relatifs aux constructions dans les manuels scolaires en vigueur à la rentrée 2020
5.4.1 Structure des manuels scolaires
5.4.2 Praxéologies de construction dans les situations d’introduction et les parties cours
5.5 Conditions didactiques sur les énoncés des exercices de construction des manuels scolaires en vigueur à la rentrée 2020
5.5.1 Manuels de 6e
5.5.2 Manuels de 5e
5.6 L’entrée dans la géométrie théorique par les constructions dans les manuels scolaires en vigueur à la rentrée 2020
5.6.1 Manuels de 6e
5.6.2 Manuels de 5e
5.7 Conclusion sur le savoir à enseigner dans les programmes et manuels scolaires en vigueur à la rentrée 2020
5.7.1 Praxéologies de construction
5.7.2 Conditions didactiques relatives au milieu des tâches de construction
5.7.3 Aspects épistémologiques relatifs aux figures, aux raisonnements et aux problèmes de construction
6 Figures et raisonnements géométriques dans un environnement de géométrie dynamique
6.1 Une réification des propriétés géométriques
6.1.1 Déplacements dans un environnement de géométrie dynamique 181
6.1.2 Les outils de construction des logiciels de géométrie dynamique184
6.2 Construire et prouver dans un environnement de géométrie dynamique189
6.2.1 Construire dans un environnement de géométrie dynamique . 189
6.2.2 Prouver dans un environnement de géométrie dynamique
6.3 Géométrie dynamique dans les programmes en 2020
6.4 Retour à la problématique
II Conception des modèles didactiques dans un EIAH et expérimentations
7 Modélisation didactique pour la conception d’un EIAH
7.1 Modélisation didactique du savoir
7.2 Modélisation didactique des tâches
7.2.1 Générateurs de types de tâches
7.2.2 Variables de tâches
7.2.3 Familles de tâches
7.3 Modélisation didactique de l’apprenant
7.3.1 Modes de justification de l’élève
7.3.2 Techniques et technologies mobilisées par l’élève
7.3.3 Limitations dans le repérage des techniques mobilisées par l’élève215
7.4 Modélisation didactique des parcours d’apprentissage
7.4.1 Rôle des variables de types de tâches et de tâches dans la modélisation des parcours
7.4.2 Exemple de parcours pour l’entrée dans la géométrie théorique en 5e
7.4.3 Parcours diagnostiques
7.5 Ontologie
7.6 Conclusion concernant les modèles didactiques pour la conception d’un EIAH
8 Modélisation didactique des rétroactions dans un EIAH
8.1 Définition et intérêts des rétroactions
8.1.1 Définitions didactiques et dans le domaine des Environnement Informatique pour l’Apprentissage Humain (EIAH)
8.1.2 Rétroactions internes, rétroactions externes
8.2 Rétroactions dans le domaine des EIAH
8.2.1 Types de rétroactions
8.2.2 Quelques recommandations générales pour la création de ré- troactions
8.3 Rétroactions en didactique des mathématiques
8.3.1 Étayages
8.3.2 Place et rôle des rétroactions dans des logiciels ou des bases d’exercices en ligne
8.4 Modélisation didactique des rétroactions
8.4.1 Explicitation de certains choix concernant les rétroactions
8.4.2 Modèle didactique des rétroactions
8.4.3 Forme et contenu des rétroactions
8.4.4 Diagnostic des erreurs et envoi d’une rétroaction
8.4.5 Implémentation et limites actuelles dans l’EIAH MindMath
9 Expérimentations
9.1 Contexte des expérimentations
9.1.1 Public et durée des trois expérimentations réalisées
9.1.2 Première et deuxième expérimentations
9.1.3 Troisième expérimentation
9.1.4 Quatrième expérimentation
9.2 Expérimentations « diagnostic »
9.2.1 Questions de recherche
9.2.2 Scénario de l’expérimentation et méthode de recueil des données257
9.2.3 Conception du diagnostic
9.2.4 Méthode d’analyse des productions
9.2.5 Analyse des productions des élèves
9.2.6 Conclusion sur les expérimentation « diagnostic »
9.3 Expérimentation « parcours »
9.3.1 Questions de recherche
9.3.2 Scénario de l’expérimentation et méthode de recueil des données
9.3.3 Conception du parcours relatif à la construction de triangles
9.3.4 Conception des rétroactions relatives aux tâches de construction de triangles
9.3.5 Méthode d’analyse des productions
9.3.6 Analyse des productions des élèves
9.3.7 Conclusion sur l’expérimentation « parcours »
9.4 Expérimentation « Montmélian »
9.4.1 Questions de recherche
9.4.2 Scénario prévu de l’expérimentation et méthode de recueil des données
11Conclusion
Principaux résultats
Perspectives de recherche
Références 318