Algorithme générique AMR intégrant les méthodes de raffinement local de pas de maillage 

Dans le domaine de la modélisation du combustible nucléaire, le CEA figure au premier plan à l’échelle internationale. L’application ALCYONE [4, 5], destinée à la simulation du comportement des combustibles de la filière REP, est développée par le CEA et ses partenaires à l’intérieur de la plateforme logicielle PLEIADES [6, 7]. Ce logiciel a été établi à base des développements mis au point dans les antérieurs METEOR [8] et TOUTATIS [9], et permet d’intégrer un ensemble des phé-nomènes complexes de nature très variée (neutronique, thermique, mécanique, physico-chimie, etc.) se produisant lors de l’irradiation des combustibles de REP.

Dans ALCYONE, deux modélisations 2D sont généralement utilisées pour étudier le comporte-ment du combustible, cf. [2, 4]. Deux phénomènes (la déformation en diabolo et la fragmentation des pastilles) caractérisant l’IPG, sont représentés séparément, voir Figure 1.6 :

— Une configuration 2D axisymétrique, ou 2D(r, z), consiste à modéliser la déformation en diabolo de la pastille, cf. partie gauche de la Figure 1.6. Pour des raisons de symétrie, seule la moitié de la hauteur de la pastille est représentée.

— Une configuration 2D sous l’hypothèse des déformations planes, ou 2D(r, θ), représente l’effet de la fissuration de la pastille sur le chargement de la gaine, cf. la partie droite de la Figure 1.6.

Seul 1/16-ème du plan inter-fragment est modélisé, car la pastille est supposée se fissurer de manière régulière, cf. [10].

La modélisation 3D regroupe ces deux phénomènes, voir Figure 1.7. Cette modélisation s’appuie sur les mêmes hypothèses géométriques que les deux modélisations 2D. Ainsi, on modélise une re-présentation géométrique d’1/32ème de la pastille et de la partie de la gaine l’entourant.

La problématique industrielle à adresser consiste à améliorer l’approche utilisée actuellement pour la simulation de l’IPG. En effet, il a été montré dans de nombreuses études qu’un maillage fin avec des éléments de l’ordre d’un micromètre dans chaque direction est nécessaire afin de capturer avec précision la concentration de contraintes au point triple dans le cas tridimensionnel (cf. Figure 1.7). L’approche actuellement utilisée dans ALCYONE consiste à s’appuyer sur un maillage conforme gé-néré a priori avec des éléments plus fins concentrés autour du point triple, cf. un exemple du maillage sur la Figure 1.7. Un tel maillage est alors non-uniforme avec une distribution d’éléments effectuée de façon à concentrer les éléments au mieux dans la zone critique. Cependant, la taille d’éléments atteinte localement n’est pas suffisamment fine. De plus, comme ce maillage est construit de façon manuelle a priori, il ne tient potentiellement pas compte de la zone critique réelle et ne permet pas de suivre l’évolution du contact pastille-gaine en temps. Un autre défaut important est qu’un tel maillage implique des éléments dégénérés, très étirés et aplatis, ce qui détériore le conditionnement des systèmes et conduit à une convergence très lente voire à des erreurs d’approximation.

Raffinement adaptatif de maillage (AMR) 23

L’objectif de cette thèse est de se doter d’un algorithme de raffinement adaptatif de maillage dépassant les limitations auxquelles la simulation mécanique du comportement du combustible nu-cléaire est actuellement confrontée. L’approche proposée doit permettre d’utiliser un maillage évolutif (suit l’évolution de phénomène étudié en temps) et raffiné localement permettant d’atteindre la pré-cision voulue, tout en limitant le coût de calcul.

Ce travail s’inscrit dans une réflexion générale autour de la mise en place de stratégies de raffi-nement adaptatif de type multiniveau initiée dans les travaux [11, 12] menés au sein du Laboratoire de Simulation du Comportement des Combustibles du CEA Cadarache. Motivés par l’applicabilité des méthodes multigrilles locales sur des comportements élastiques linéaires [11] et des non linéarités de type contact-frottement [12], nous nous focalisons sur la justification de leur intérêt industriel en mécanique quasi-statique, mais également sur l’extension de ces méthodes pour des comportements non linéaires des matériaux.

La simulation de phénomènes localisés aux échelles macroscopique ou mésoscopique nécessitant souvent des calculs locaux plus fins est une problématique qui dépasse largement le domaine du combustible nucléaire et concerne de nombreux domaines d’applications (aéronautique, automobile, naval, etc.). Par conséquent, un grand soin a été apporté dans cette thèse pour rendre les algorithmes proposés génériques et applicables à une large classe de problèmes.

Dans de nombreux domaines, la modélisation et la simulation numériques des problèmes fai-sant intervenir des phénomènes complexes localisés à différentes échelles restent toujours des enjeux. Pour ces problèmes, une solution locale précise est souvent indispensable afin de bien capturer le phénomène étudié. Il est illusoire de penser pouvoir simuler ces problèmes en utilisant un maillage uniforme de taille de mailles fine nécessaire pour capturer tous les phénomènes les plus fins. Une approche alternative est de s’appuyer sur une méthode de couplage multiéchelle. Le choix de l’ap-proche numérique à appliquer est généralement régi par le paramètre de séparation d’échelles entre la dimension de la structure et le phénomène que l’on cherche à représenter.

Dans le cas de notre étude, nous nous intéressons à des problèmes à faible séparation d’échelles. Ces problèmes intègrent des phénomènes localisés à l’échelle proche de celle de la structure, comme notamment des comportements des matériaux non linéaires, des géométries complexes, des conditions aux limites discontinues, ou des fissures.

Parmi de nombreuses imprécisions et erreurs accompagnant inévitablement la modélisation et la simulation numérique (par exemple, l’erreur de modélisation, l’erreur de discrétisation ou encore l’er-reur numérique) [13], dans cette étude nous cherchons à maîtriser l’erreur de discrétisation. L’erreur de discrétisation se produit en raison de l’approximation de la solution en utilisant une technique de discrétisation (différences finies, éléments finis, volumes finis, etc.). Nous nous focalisons dans cette thèse sur l’erreur de discrétisation spatiale. La discrétisation spatiale (ou le maillage), support des calculs, joue un rôle important et conditionne le rapport qualité de la solution/coût de calculs. Par conséquent, un maillage bien choisi permet d’atteindre la précision souhaitée tout en limitant le coût de calcul.

Afin de bien représenter les phénomènes localisés étudiés, un maillage avec des éléments suffi-samment fins doit être utilisé. Les méthodes de raffinement adaptatif de maillage (AMR) permettent d’ajuster automatiquement le maillage lors de calculs en l’enrichissant localement dans des régions critiques où la solution est moins régulière et l’erreur de discrétisation est élevée. Ces approches per-mettent alors d’atteindre une précision souhaitée à un coût numérique généralement attractif. Une méthode AMR se base sur deux aspects clés : génération de maillage raffiné et résolution du problème donné sur ce maillage. L’idée des approches AMR consiste à générer un maillage raffiné localement afin de réduire l’erreur de discrétisation en O(hp). Le raffinement est effectué soit par la réduction locale du pas de maillage h, soit via l’augmentation de degré des fonctions d’interpolation p, soit les deux combinées. Les spécificités du maillage raffiné généré avec une méthode AMR conditionnent la procédure de résolution.

Parmi de nombreuses méthodes AMR développées, deux groupes principaux peuvent être distin-gués : les méthodes adaptatives et les méthodes multigrilles locales.

Actuellement, les maillages dits conformes aux frontières (boddy-fitted mesh en anglais) restent majoritaires dans l’industrie. Ces maillages s’appuient sur le domaine physique d’étude et donc prennent en compte la géométrie du domaine. Les maillages structurés ou non-structurés, composés par exemple des triangles/rectangles en 2D, des tétraèdres/hexaèdres en 3D, ou de leur mélange, sont générés en fonction de la géométrie du domaine.

Les maillages composés d’éléments quadrilatéraux/hexaédriques (également couramment appe-lés les maillages quad/hexa) sont souvent utilisés en pratique pour simuler différents phénomènes physiques (mécanique des solides, dynamique des fluides, …). La génération robuste et efficace des maillages quad/hexa pour de vraies géométries industrielles reste toujours une question ouverte. Cependant, les maillages quad/hexa sont intéressants pour leur structure de type produit tensoriel (matrices à faible taille de bande, efficacité, flexibilité de raffinement [14, 15, 16]) et offrent des pro-priétés de modélisation remarquables [17, 18, 19], pas de difficulté particulière pour gérer les relations de contact unilatéral [20, 2] ou la plasticité [21]. Les éléments quad/hexa bénéficient en plus d’une approximation d’ordre plus élevé permettant de mieux saisir les variations d’ordre supérieur, et de plus, d’éviter les phénomènes de verrouillage rencontrés avec les triangles/tétraèdres [22].

Motivé par un intérêt croissant pour les maillages quad/hexa et par leurs avantages, il a été décidé dans cette étude de traiter exclusivement ce type d’éléments.

Le panorama des méthodes AMR issues de deux classes mentionnées précédemment est explicités par la suite pour les maillages quad/hexa considérés dans cette thèse.

Le but des techniques adaptatives est de fournir un maillage global (couvrant l’ensemble du domaine de calcul) raffiné localement. Nous allons introduire dans cette partie certaines méthodes adaptatives les plus connues, se différenciant par la façon dont le maillage est raffiné.

Les stratégies basées sur l’ajustement de la taille h des éléments, ou méthodes h-adaptatives [23, 24, 25], semblent être les méthodes adaptatives les plus connues. Elles consistent à ajouter des éléments plus fins dans des zones d’intérêt, tout en conservant le type d’interpolation. La popularité des méthodes h-adaptatives provient de leur simplicité et leur efficacité. Ces méthodes permettent d’obtenir des taux de convergence optimaux, en particulier lorsque des singularités sont présentes [26].

Dans le cadre du raffinement de type h-adaptatif, deux procédures pour générer un maillage raffiné sont généralement considérées [27, 28]. La première procédure repose sur le remaillage complet du domaine. Ce schéma de raffinement prend en entrée une distribution estimée de pas de maillage et produit un maillage raffiné (généralement conforme) à l’aide d’un générateur de maillage (mailleur), cf. Figure 1.8a. Le maillage raffiné obtenu est, cependant, difficilement contrôlable par l’utilisateur et peut être loin de la distribution prescrite [28].

La deuxième procédure, également appelée le raffinement hiérarchique, consiste à enrichir le maillage existant se basant sur la division des éléments qui nécessitent le raffinement en plusieurs éléments. Contrairement à la stratégie de remaillage complet, l’approche hiérarchique est générique et permet de mieux contrôler le raffinement/déraffinement grâce à une structure de données hiérarchique explicite.

On peut distinguer quelques techniques de raffinement hiérarchique. La stratégie la plus simple consiste à ne subdiviser que les éléments nécessitant le raffinement (voir Figure 1.8b). Cette ap- proche conduit généralement (surtout pour des maillages quad/hexa) à des maillages non-conformes (avec des nœuds non-conformes ou hanging nodes en anglais). Ces approches requièrent certaines modifications algorithmiques permettant de maintenir la continuité de la solution. Il existe plusieurs approches pour gérer les relations de non-conformité (par exemple [29, 30, 31, 32, 33]).

D’autre part, la génération de maillages quad/hexa conformes raffinés de façon hiérarchique peut être une tâche complexe. Plusieurs techniques ont été proposées dans la littérature. On peut nommer une classe d’approches basée sur des sheet operations (voir l’article de synthèse de [34]). Ces techniques consistent à substituer certaines couches (dites feuilles, ou sheets en anglais) d’éléments par des couches constitués d’éléments plus raffinés. Parmi ces stratégies on peut nommer les algorithmes dits dicing [35], pillowing [36] ou matching [37]. Un exemple d’un maillage conforme hiérarchique associé est illustré sur la Figure 1.8c. Ces approches peuvent être facilement implémentées dans un code de calcul existant et permettent de conserver la structure (topologie géométrique) du maillage d’origine. Cependant, les zones raffinées sont naturellement étendues.

Une autre classe de techniques est basée sur des modèles (ou templates) de raffinement, comme l’approche de Schneiders [38] pour les maillages structurés et son extension à des maillages non-structurés [39]. Un exemple de ce type de modèles est donné sur la Figure 1.8d bas. Ces stratégies n’intègrent que les éléments quad/hexa et permettent de conserver le caractère local du raffinement. Cependant, elles sont assez loin d’être triviales à mettre en œuvre et donc nécessitent un générateur de maillage dédié. Une autre stratégie consiste à utiliser des maillages hybrides (mélange des éléments, triangles et quadrangles par exemple) pour rendre le maillage conforme [40], cf. Figure 1.8d haut. Cette technique nécessite un solveur pouvant traiter les différents types d’éléments.

Une classe de méthodes alternatives à des approches de type h-adaptatives ou encore à des straté-gies multiniveaux s-adaptatives sont les méthodes multigrilles locales [65, 66, 67, 68]. Ces méthodes sont également appelées en anglais Multi-Level Adaptive Techniques (cf. les travaux de Brandt [65]) ou Locally adaptive multigrid methods (cf. l’étude [69]).
Ces approches sont inspirées des méthodes multigrilles standards qui consistent à accélérer la convergence d’un calcul sur un maillage très fin en utilisant une hiérarchie des maillages globaux déraffinés, cf. Figure 1.13a. Les solutions sur ces différents niveaux couvrant l’ensemble du domaine de calcul sont successivement lissées, jusqu’à atteindre la convergence sur la grille initiale la plus fine. Ces approches exploitent une résolution itérative basée sur les opérateurs de transfert : l’opérateur de restriction permet de transmettre un résidu d’un niveau fin vers un niveau grossier, tandis que l’opérateur de prolongement consiste à transmettre une correction d’un niveau grossier vers un niveau fin.
Les méthodes multigrilles locales exploitent une hiérarchie de grilles inverse, cf. Figure 1.13b. Introduites dans un contexte de raffinement de maillage multiniveau, l’idée des méthodes multigrilles locales est de fournir une possibilité pour “zoomer” le domaine de calcul dans les régions d’intérêt et ainsi d’améliorer localement la précision de la solution tout en corrigeant la solution grossière. Partant d’un maillage grossier initial couvrant tout le domaine Ω, ces techniques consistent à ajouter des niveaux de maillages avec des éléments de plus en plus fins uniquement dans les régions où une précision plus élevée est requise, voir Figure 1.13b. Étant générique et flexible, les méthodes AMR multiniveaux permettent de changer le ratio de raffinement, le modèle, le solveur, le maillage (les niveaux de maillages pas forcément hiérarchiques), etc. entre chaque niveau (voir par exemple [70, 71]).

Afin de répondre à la problématique industrielle posée dans cette thèse, la méthode de raffinement adoptée doit offrir la meilleure précision pour des problèmes dont la solution manque de régularité dans des régions très localisées à l’échelle de la structure (singularités locales, zones de plasticité localisées, etc.). Une autre contrainte de ce travail consiste à utiliser le solveur industriel en “boîte noire”, ce qui impose à la méthode retenue de permettre une implémentation la moins intrusive pos-sible. Cela concerne les deux aspects, le raffinement de maillage ainsi que la résolution du problème sur le maillage généré.
Les méthodes basées sur le raffinement local du pas de maillage (par exemple méthodes h-, r-, s-adaptatives, CHARMS et multigrilles locales) semblent être les plus adaptées dans notre contexte. L’applicabilité des approches p-adaptatives en présence des singularités et leur mise en œuvre dans des solveurs industriels (généralement conçus pour traiter des éléments d’ordre deux maximum) sont limités. Le principal inconvénient de l’approche r-adaptative est la limitation du nombre de nœuds régie par la discrétisation initiale. Dans la méthode s-adaptative, tous les degrés de liberté des niveaux de maillages générés sont résolus simultanément, ce qui rend cette technique similaire à une technique de type h-adaptatif mais plus coûteuse vis-à-vis des résolutions implicites considérées dans ce travail. A son tour, la technique CHARMS nécessite de développer un solveur dédié, dont la mise en œuvre peut être intrusive.
Il faut également noter que nous adoptons dans cette étude la stratégie de raffinement hiérar-chique, où le maillage initial (qui peut être issus du modèle CAD, effectué avec un générateur de maillage, …) est raffiné en divisant les éléments nécessaires. Cette approche semble être plus géné-rique et robuste comparée à la stratégie basée sur le remaillage complet. Par ailleurs, comme il a été décidé de traiter les maillages composés exclusivement d’éléments quad/hexa, les approches faisant intervenir les éléments d’autres types (maillages hybrides) ne seront pas considérées par la suite.
Par conséquent, dans ce travail nous choisissons de nous appuyer sur les deux classes de méthodes AMR visant le raffinement local du pas de maillage h mais qui exploitent des processus de résolution conceptuellement différents : stratégies h-adaptatives et méthodes multigrilles locales.
Parmi les techniques de type h-adaptatif, les deux approches suivantes sont considérées : technique h-adaptative hiérarchique non-conforme (cf. Figure 1.8b) et technique h-adaptative hiérarchique conforme (cf. Figure 1.8c). Le raffinement avec la méthode h-adaptative non-conforme conduit à des maillages non-conformes qui nécessitent des contraintes supplémentaires pour maintenir la continuité de la solution. Les technique conforme adoptée ici vise à conserver la conformité du maillage grâce au raffinement basé sur des opérations sur des couches [34].
Parmi les méthodes multigrilles locales, la méthode Local Defect Correction (LDC), appliquée précédemment avec succès à des problèmes de mécanique avec singularité locales [88, 89, 20, 102], semble être la technique de raffinement multiniveau la plus appropriée. La méthode LDC peut être vue comme une méthode h-adaptative non-conforme où chaque sous-niveau est résolu séparément de façon conforme (grâce au processus itératif).

Indépendamment de la méthode AMR choisie, il est nécessaire de pouvoir détecter les zones à raffiner. Lorsque le problème et le phénomène étudiés sont bien connus, les zones à raffiner peuvent être déterminées a priori grâce aux connaissances de l’utilisateur. Une approche alternative plus automatique consiste à utiliser un estimateur d’erreur – un outil permettant d’évaluer la qualité de la solution numérique et ainsi détecter de façon plus précise les zones critiques où le raffinement est nécessaire (régions où l’erreur de discrétisation est importante). Nous introduisons ici un problème modèle élastostatique linéaire à partir duquel la majorité des estimateurs disponibles pour la mécanique des solides a été développée. Ce problème nous servira alors de référence pour présenter la notion d’estimation d’erreur.

Nous introduisons ici un problème classique de mécanique élastostatique. Soit D la dimension de l’espace physique. Un solide élastique occupe dans sa configuration de référence un domaine borné Ω ⊂ RD de frontière ∂Ω suffisamment régulière. Les bords D et N forment la frontière ∂Ω de Ω et vérifient D ∪ N = ∂Ω et D ∩ N = ∅.
Soient u le champ de déplacements, σ et ε les champs des contraintes et de déformations, res-pectivement, f la densité volumique d’efforts définis sur Ω, et C le tenseur des modules d’élasticité d’ordre 4. Le problème à résoudre s’écrit : div σ + f = 0 = : σ C ε (P) : ε(u) = 12 (grad u + gradT u) Les conditions aux limites de type Dirichlet (un déplacement donné uD) sont imposées sur D =6 ∅, tandis que les conditions aux limites de Neumann sont appliquées sur N, avec n vecteur unitaire normal dirigé vers l’extérieur de Ω et F N la force exercée. Le problème est alors bien posé au sens où l’existence et l’unicité de la solution en déplacements et en contraintes sont garanties.
La solution exacte (u, σ) du problème donné est le couple de champ de déplacement cinémati-quement admissible satisfaisant les relations de compatibilité de (1.1) et défini comme uCA = {v; v continu et régulier dans Ω et v = uD sur D} (1.2) et de champ des contraintes statiquement admissible satisfaisant σSA = {τ; −div τ = f dans Ω et τn = F N sur N} (1.3)

La technique d’estimation d’erreur basée sur les bases hiérarchiques [105, 106, 21] semble être la technique la plus simple. Son principe consiste à comparer deux solutions du même problème obtenues en utilisant deux schémas de discrétisation de précisions différentes.
La solution “améliorée” u∗h est obtenue en résolvant un même problème sur un maillage avec des éléments plus raffinés ou des fonctions de forme d’ordre plus élevé. L’erreur de discrétisation est ainsi évaluée comme la différence entre la solution enrichie u∗h et l’originelle uh.
Cette approche est très attractive grâce à son applicabilité à une large classe de problèmes et sa simplicité. Il est cependant évident que son inconvénient majeur est le sur-coût de calcul induit par la résolution d’un problème de dimension ou de complexité supérieure.

L’analyse duale [107] est considérée comme étant la première solution à la problématique de l’évaluation d’erreur. L’idée de s’appuyer sur des principes de l’analyse duale pour évaluer l’erreur de discrétisation a été proposée initialement dans [108, 109].
Cette approche repose sur la comparaison de deux solutions issues de différentes analyses éléments finis du même problème : l’une obtenue en se basant sur la formulation en déplacement (solution cinématiquement admissible) et l’autre sur la formulation en contraintes (solution statiquement ad-missible).
En sus de l’analyse complémentaire du même problème engendrant un coût de calcul additionnel, la difficulté de cette approche est liée au calcul du champ des contraintes statiquement admissible via une formulation en effort. Ces estimateurs sont assez peu répandus et n’existent quasiment pas dans des codes de calculs industriels.
Il faut noter que dans les cas linéaires, cette approche s’appuie sur la même base théorique que celle des estimateurs en relation de comportement. Les mesures d’erreur obtenues avec ces deux types d’estimateurs sont donc équivalentes. Cette approche peut être vue comme un cas particulier des es-timateurs impliquant la loi de comportement où le champ des contraintes statiquement admissible est obtenu d’une façon différente.

Ce type d’estimateurs a été introduit dans des travaux pionniers de Babuška et Rheinboldt [114]. Ces techniques se basent sur le fait de la non-vérification de l’équation d’équilibre intérieure. L’erreur commise sur le champ de contraintes est estimée à partir des résidus d’équilibre sur chaque élément.
Deux types d’estimateurs basés sur les résidus d’équilibre peuvent être distingués : les techniques explicites et implicites. Les estimateurs qualifiés d’explicites – Global Explicit Residual Based Error Estimator [114] – se basent directement sur la solution calculée du problème pour obtenir une es-timation globale d’erreur dans une certaine norme. Les estimateurs de ce type ont de fortes bases mathématiques [115, 116], et sont relativement simples de mettre en œuvre. Ils sont néanmoins peu implémentés dans des codes de calculs. Cela s’explique par la complexité d’évaluer avec précision des constantes impliquées dans les expressions de l’estimateur d’erreur [117].
Afin d’éviter le calcul de constantes nécessaires pour les versions explicites de l’estimateur, les approches implicites ont été proposées. L’idée sous-jacente des estimateurs implicites est de rechercher une estimation à travers la résolution de problèmes de petites tailles formulés sur les éléments, méthode appelée Element Residual Method [118, 119], ou des patchs d’éléments, appelées Subdomain Residual Method [120, 121, 122]. Ces estimateurs permettent l’évaluation plus précise de l’erreur comparé à des estimateurs explicites, mais ils souffrent également de plusieurs inconvénients liés notamment à la formulation de problèmes locaux.
Les principes des estimateurs implicites ont été revisités plus récemment avec le but de contour-ner leurs défauts. Cette nouvelle technique, appelée Flux-free error estimate [123, 124, 125], permet d’éviter le calcul des flux à imposer au bord des patches et conduit à résoudre une série de problèmes auto-équilibrés.

L’idée de la technique d’estimation d’erreur basée sur les flux équilibrés est de résoudre un pro-blème local dans chaque patch formulé en termes de flux reconstruit localement conservatif (équilibré) [126, 127, 128, 129]. À l’instar des estimateurs basés sur le résidu d’équilibre, dans le cadre de pro-blèmes élastiques linéaires ces estimateurs exploitent le fait que le tenseur de contraintes discret résultant de la méthode des éléments finis n’est pas continu à travers les interfaces des éléments, et que sa divergence n’est pas localement en équilibre avec le terme source sur les éléments de maillage (non-vérification de l’équation d’équilibre). Les techniques d’équilibrage du flux sur les patch en se basant sur une approximation par éléments finis de type Raviart-Thomas ont été introduites dans [126, 127]. Des reconstructions utilisant l’espace des éléments finis mixtes de type Arnold-Falk-Winther ou de type Arnold-Winther ont été proposées dans [130, 131]. Cet estimateur s’applique à toute discrétisation numérique (éléments finis, volumes finis, Galerkin discontinue, …) et à de nombreux problèmes.
Cette approche peut être assez coûteuse mais elle conduit à des estimations de bonne qualité. Cette stratégie a l’avantage de pouvoir distinguer les différentes composantes d’erreur correspon-dant à la résolution du problème telles que : discrétisation en espace et en temps, linéarisation d’un problème non linéaire, erreur associée au solveur algébrique, etc. Ces informations peuvent être ex-ploitées pour le raffinement adaptatif de maillage en espace/temps, pour la définition de critères d’arrêt adaptatifs pour des solveurs itératifs afin de réduire l’erreur numérique et le coût de calcul.

Ces estimateurs sont fondés sur le fait que le gradient de la solution approximée avec une méthode de discrétisation est discontinu sur les interfaces entre les éléments, d’où le défaut de régularité. Cette classe d’estimateurs, proposée par Zienkiewicz et Zhu [132, 133, 134], consiste alors à reconstruire le gradient (ici le champ de contraintes) plus régulier qui constituerait une meilleure approximation du gradient réel.
On appelle la démarche de reconstruction du champ de contraintes le lissage de contraintes. Plusieurs techniques de lissages ont été proposées dans la littérature : approche basée sur la projection,
Superconvergent Patch Recovery (SPR) ou encore Recovery by Equilibrium in Patches (REP) . Quelle que soit la stratégie de lissage, l’erreur est estimée comme la différence entre la contrainte lissée σ∗h et celle calculée par EF σh.
Les estimateurs basés sur le défaut de régularité sont en général peu coûteux et offrent un rap-port qualité/coût remarquable. Ils possèdent de nombreux avantages, comme la simplicité de mise en œuvre, le coût de calcul limité et l’applicabilité à tout type de problème. Ils sont ainsi très populaires et répandus dans l’ingénierie et largement utilisés dans le cadre de raffinement adaptatif de maillage, cf. par exemple [135, 136, 137].