PFE & RAPPORT PROCESSUS DE MARKOV A TRAJECTOIRES EVALUEES ET SES RELATIONS AVEC LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES PDF
Introduction générale
CHAPITRE 0 : NOTION PRELIMINAIRE : RAPPELS ET DEFINITIONS
PROCESSUS DE MARKOV
Chapitre 0 : Notion Préliminaire : Rappels et Définitions
L’ESPACE POLONAIS
LE MOUVEMENT BROWNIEN
PROCESSUS PONCTUEL
LA FONCTION HARMONIQUE
ENSEMBLE POLAIRE ET CAPACITE
FONCTION DE GREEN
CHAPITRE I : LES PROCESSUS A TRAJECTOIRES EVALUEES ET SES MESURES D’EXCURSIONS
LE PROCESSUS A TRAJECTOIRE-EVALUE
Chapitre I : Les Processus a Trajectoires Evaluées et ses Mesures d’Excursions
THEOREME 1
THEOREME 2
PROPOSITION 3
PROPOSITION 4
PROPOSITION 5
PROPOSITION 6
LA MESURE DE SORTIE
PROPOSITION 7
DEFINITION DE LA MESURE DE SORTIE
PROPOSITION 8
PROPOSITION 9
CHAPITRE II : RELATIONS AVEC LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
SOLUTION DE L’EQUATION DANS UN DOMAINE
PROPOSITION 10 (Formule de Palm)
Chapitre II : Relations avec les Equations aux Dérivées partielles
THEOREME 11
PROPOSITION 12
COROLLAIRE 13
SOLUTION AVEC INFINITE DES CONDITIONS A LA FRONTIERE
PROPOSITION 14
LEMME 15
PROPOSITION 16
THEOREME 17
Conclusion générale
Rapport PFE, mémoire et thèse avec la catégorie MATHEMATIQUES PURES |
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RAPPELS ET DEFINITIONS
Dans ce chapitre, nous rappelons les définitions et quelques propriétés essentielles des outils dont nous aurons besoin par la suite PROCESSUS DE MARKOV
Soit E un ensemble et ξ une tribu sur E , Ω un ouvert non vide.
On désigne par ( ) , E ξ
un espace mesurable et ( )
t t I X ∈
un processus à valeurs dans E , indexé par un ensemble totalement ordonné I, adapté à une filtration ( )
t t I ∈ F
sur un espace probabilisé ( )
, Ω F, P où P est une probabilité sur Ω
Définition [10] Le processus ( )
t X est dit Markovien par rapport à la filtration ( ) t F
si, pour tout couple
( ) , s t d’instants tel que s t < , toute fonction (mesurable) bornée f sur E , on a
[ ] [ ] / /
t s t S
E f X E f X X = o o F
p.s
Maintenant, appelons tribu du passé à l’instant s la tribu ( )
s F, tribu du présent la tribu engendrée par ( ) t X
seulement, et tribu du futur la tribu ( ) t G
engendrée par les variables aléatoire ( ) t X , t s ≥ , on a le théorème très simple suivant :
Théorème
Le processus ( ) t X est Markovien si est seulement si, pour tout instant s, le passé ( ) s F et le futur ( ) t G
sont conditionnellement indépendants relativement au présent.
Ainsi dans le phénomène Markovien, le futur ne dépend que du présent et pas du passé, on peut aussi dire que les variables sont indépendants Par exemple :
1. Gestion de stocks : l’état stock à l’instant ( ) 1 n + dépend de l’état du stock à l’instant n, et des départs et arrivées des différentes composantes du stock entre l’instant n et l’instant n+1.
2. Prix d’une action au temps ( )
1 1 : 1
n n n
t P P r
+ +
= +
où n
r est le taux de variation au temps
n.
Rappels et Définitions
Le Noyau de Transition
Définition 1
Soit E un ensemble et ξ une tribu sur E et soit A une partie de E
L’espace ( )
, ξ Ε est un espace mesurable
Un noyau N de E est une application de { } ξ + Ε × → + ∞ U ¡
telle que i) Pour tout ( ) , l’application , x x ∈ Ε Α → Ν Α est une mesure positive sur ξ ii) Pour tout ( ) , l’application , x x ξ Α ∈ → Ν Α est ξ -mesurable
Un noyau Π est appelé Probabilité de transition si ( ) , 1 pour tout x x ∏ Ε = ∈ Ε
Dans le cas Markovien, les Probabilités de transition sont souvent notées par i Ρ avec i appartient à l’ensemble d’indices Si f ξ + ∈ et N un noyau, nous définissons le noyau de ξ par ( ) ( ) ( ) , f x x dy f y Ε Ν = Ν ∫ Si M et N sont des noyaux, on définit
( ) ( ) ( ) , , , x x dy y Ε Ν Μ Α = Μ Ν Α ∫
Définition2 [10]
Une fonction de transition de l’espace mesurable ( ) , ξ Ε est une famille ( ) , s t o s t Ρ ≤ ≤ de
Probabilité de transition ( ) , ξ Ε telle que pour tout s t v < < , x ∈ Ε et ξ Α ∈ on a ( ) ( ) ( ) , , , , , ,
s t t v s v
x dy y a x A Ρ Ρ = Ρ ∫ où ( ) ( ) , , / , . t s t s u
X X X u s p s σ Ρ Α = Ρ ∈ Α ≤
La fonction de transition est dite homogène si , s t Ρ dépend de s et t à travers la différence t-s Dans ce cas, nous écrivons t Ρ pour , s t Ρ et on a l’équation ( ) ( ) ( ) , , ,
t s s t
x x dy y
+
Ρ Α = Ρ Ρ Α
∫
Propriété de Markov [10]
Soit X un processus adapté et t
θ une semi groupe de transition et ν une mesure ou
distribution initiale X et Z une variable aléatoire mesurable par rapport à la filtration t F
, positive (ou bornée)
Alors pour tout t>0 on a [ ] ( ] { }
/ Pv pres .
