PFE & RAPPORT QUELQUES BIJECTIONS CLASSIQUES ET Q-ANALOGUES DES NOMBRES DE CATALAN PDF
Introduction générale
CHAPITRE 1 Rappels et définitions de bases
1.1 Notions sur les statistiques et nombres de Catalan
1.2 Généralités sur les permutations
1.3 Généralités sur les chemins
1.4 Q-analogues des nombres de Catalan
CHAPITRE 2 Involutions sans point fixe et Chemins de Dyck
2.1 Involutions sans point fixe
2.2 La statistique area sur D n
2.3 Bijection de I pn sur D n
2.4 Bijection de I cn sur D n
2.5 Bijection de I c n sur I p n
CHAPITRE 3 Involutions sans point fixe et permutations 231-interdites
3.1 Bijection de C. Stump
3.2 Bijection de I p n sur S n (231)
3.2.1 Involutions sans point fixe et sans paire imbriquée
3.2.2 Définition de la bijection
3.3 Bijection de I c n sur S n (231)
3.3.1 Involutions sans point fixe et sans croisement
3.3.2 Définition de la bijection
CHAPITRE 4 Involutions sans point fixe et autres classes de permutations
4.1 Bijection de I c n sur S c n
4.2 Bijection de I p n sur S p n
CHAPITRE 5 Applications aux q-analogues des nombres de Catalan
5.1 q-analogues des nombres de Catalan
5.2 q,t-analogues des nombres de Catalan
5.2.1 q,t-Catalan de J. Haglund
5.2.2 q,t-Catalan de M. Haiman
5.3 x,a,b-analogues des nombres de Catalan
5.4 Quelques remarques pour conclure
Conclusion générale
Rapport PFE, mémoire et thèse avec la catégorie mathématique appliquées |
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Rappels et définitions de bases
Ce premier chapitre présente les notions sur les statistiques, les nombres de Catalan, les objets étudies dans ce mémoire tels que les permutations et les chemins de Dyck, ainsi que les notions sur les q analogues des nombres. Des résultats qui pourrons nous servir dans la suite seront aussi présentes.
Notions sur les statistiques et nombres de Cata-lan
Définitions 1.1. Soit E un ensemble. On appelle statistique sur E, toute application de E vers N.
Etant donnée une statistique s sur E, on appelle distribution ou polynôme énumérateur de s le polynôme en q X e∈E q s(e) .
Une statistique à n variables sur E est une application de E vers N n . La distribution de la statistique (s 1 ,s 2 ,…,s n ) sur E est X e∈E q s 1 (e) 1 q s 2 (e) 2 …q s n (e) n .
Définition 1.2.
Etant données deux statistiques s = (s 1 ,s 2 ,…,s n ) et s 0 = (s 0 1 ,s 0 2 ,…,s 0 n ) sur un ensemble E, on dit qu’elles sont equi-distribuees si elles ont même distribution sur E, c’est à dire X e∈E q s 1 (e) 1 q s 2 (e) 2 …q s n (e) n = X e∈E q s 0 1 (e) 1 q s 0 2 (e) 2 …q s 0 n (e) n .
Exemple. Soit E un ensemble à n éléments. On note par P(E) l’ensemble des parties de E. Soit card l’application de P(E) vers N d´ efinie par A 7−→ card(A) = nombre d’´ el´ ements de A. card est une statistique sur P(E) et sa distribution est
X A∈P(E) q card(A) = n X k=0 X
A ∈ P(E),card(A)=k
q k = n X
k=0 ? n k ?
q k = (1 + q) n .
Définition 1.3. On appelle nombre de Catalan la suite (C n ) n vérifiant la récurrence
C n = n−1 X
k=0
C k C n−1−k (C 0 = 1).
Les premières valeurs de C n sont C 0 ,C 1 ,C 2 ,… = 1,1,2,5,14,42,… . La fonction génératrice C(t) = P n≥0 C n t n
de la suite (C n ) n vérifie C(t) = 1 + tC(t) 2 . En utilisant cette fonction quadratique on obtient la forme explicite de C n , appelé n-ieme nombre de Catalan, C n = 1 n+1 ? 2n n ? . En outre, si on pose C(t) = 1 + z, on obtient l’identité z = X k≥0 C n z n (1 + z) 2n .
Plusieurs objets combinatoires sont énumérés par les nombres de Catalan. Toutes les classes d’objets étudiés dans ce mémoire sont énumérées par ces nombres.
Généralités sur les permutations
Définition 1.4. Une permutation de [n] := {1,2,…,n} est une bijection de [n] sur [n]. L’ensemble des permutations de [n] forme un groupe d’ordre n!, appelé groupe symétrique, et on le note S n . L’inverse d’une permutation π est notée par π −1 .
On appelle permutation miroir d’une permutation π de [n], notée π m , la permutation définie par π m (i) = π(n + 1 − i), 1 ≤ i ≤ n.
Définition 1.5. Soit π un permutation de [n].
Un entier i ∈ [n] est appelé point fixe de π si π(i) = i. On note par Fix(π) l’ensemble des points fixes de π et fix(π) = |Fix(π)|.
Un cycle de longueur l de π est une suite c = (i 1 i 2 …i l ) de l entiers distincts de [n] tels que π(i j ) = i j+1 pour tout 1 ≤ j < l et π(i l ) = i 1 . En particulier, si i est un point fixe de π, (i) est un cycle de longueur 1 de π. Remarque 1.6. Toute permutation de [n] peut s’écrire en produit de cycles disjoints. Si π = c 1 c 2 …c k est la décomposition de π en produit de cycles de π, où les c i sont des cycles de longueur l i deux à deux disjoints (1 ≤ i ≤ k), alors P k i=1 l i = n.
