PFE & RAPPORT Anneau quotient et Localisation PDF
Introduction générale
Chapitre 1 : Anneau quotient
1.1 Construction
1.2 Théorèmes des isomorphismes
1.3 Exemples d’anneau quotient
Chapitre 2 : Localisation
2.1 Partie multiplicative
2.2 Construction
2.3 Correspondance entre les idéaux de A et S −1 A
2.4 Exemples de partie multiplicative
Bibliographie
Rapport PFE, mémoire et thèse avec la catégorie anneau |
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Soient A un anneau et I un idéal de A. On définit la relation R par : x R y ⇐⇒ x −y ∈I — Il est facile de vérifie que R c’est une relation d’équivalence. — On va munir A/I d’une structure d’anneau. On définit sur A/I l’addition et la multiplication de la façon suivante : (a+I)+(b+I) = a+b+I. (a+I)(b+I) = ab+I.(1.1) Avec a,b ∈ A.
On vérifie facilement que (1.1) a un sens : Si a 0 ( resp, b 0 ) est un autre représentant de la classe a+I ( resp, b+I), alors la classe de a 0 b 0 est celle de ab, et la classe de a 0 +b 0 est celle de a+b, c’est bien le cas, car : si a 0 = a+h et b 0 =b+h 0 , avec h,h 0 ∈I, alors a 0 b 0 = (a+h)(b+h 0 ) = ab+ah 0 +hb+hh 0 . Chacun des trois produits ah 0 ,hb,hh 0 ∈I. De même pour l’addition : a 0 +b 0 = (a+h)+(b+h 0 ) = a+b+h+h 0 . — 1+I est l’élément unité pour la multiplication. On a donc démontré le théorème suivent : Théorème 1.1.1. –Soient A un anneau et I un idéal de A.
L’ensemble quotient A/ R possède une unique structure d’anneau telle que la surjection canonique cl : A → A/ R est un morphisme d’anneaux. Ce morphisme est surjectif de noyau I. L’anneau quotient A/ R est noté A/I. Le mor- phisme A → A/I est aussi appelé surjection canonique.
Remarque 1.1.2. –Cette façon de « négliger » ( rendre nul) les éléments de I permet dans bien des cas de travailler avec un anneau A/I plus simple que l’anneau A, et d’en déduire les résultats dans A lui même.
L’importance de la structure d’anneau quotient vient notamment du théorème de factorisation que nous démontrons maintenant : Théorème 1.1.3. –Soient A et B deux anneaux et f : A → B un morphisme d’anneaux. Si I est un idéal de A contenu dans ker f , il existe un unique homomorphisme d’an- neaux f : A/I → B tel que f = f ◦cl. D’une façon visuelle on a le diagramme commutatif suivant : A f // cl ?? B A/I ¯ f == Démonstration. –Nécessairement, ¯ f doitêtretelque ¯ f (cl(a))= f (a)pourtout a ∈ A. Comme tout élément de A/I est de la forme cl(a) pour un certain a ∈ A; cela montre qu’il existe au plus un homomorphisme d’anneaux ¯ f : A/I → B tel que f = ¯ f ◦cl.
Montrons maintenant l’existence de ¯ f : Soit x un élément de A/I. On sait qu’il existe a ∈ A tel que x = cl(a). Si a 0 un autre représentant de x tel que x = cl(a 0 ) alors a 0 −a ∈ I, puisque I ⊂ ker f , f (a 0 −a) = 0 et par conséquent, f (a)= f (a 0 ). On peut ainsi poser ¯ f (x)= f (a). Le résultat est indépendant de représentant choisi. Il reste à montrer que ¯ f est un homomorphisme d’anneaux : Comme cl(0 A )=0 A/I et cl(1 A )=1 A/I , on a bien ¯ f (0 A/I )=0 B et ¯ f (1 A/I )=1 B .
