Forme bilinéaire et dualité

Table des matières

1 Formes bilinéaires et Formes quadratiques 
1.1 Généralités sur les formes bilinéaires
1.1.1 Définition d’une forme bilinéaire
1.1.2 Matrice associée à une forme bilinéaire
1.1.3 Changement de base
1.1.4 Forme bilinéaire et dualité
1.1.5 Rang d’une forme bilinéaire
1.2 Formes bilinéaires symétriques
1.2.1 Formes quadratiques
1.3 Orthogonalité
1.3.1 Formes non dégénérées
1.3.2 Bases orthogonales
1.4 Réduction des formes quadratiques
1.4.1 Méthode de Gauss
2 Espaces euclidiens et Groupe orthogonal 
2.1 Espaces euclidiens
2.1.1 Produit scalaire
2.1.2 Orthogonalité dans les espaces préhilbertiens réels
2.1.3 Adjoint d’un endomorphisme
2.1.4 Endomorphisme symétrique
2.2 Groupe orthogonal
2.2.1 Isométries d’un espace euclidien
2.2.2 Matrices réelles orthogonales
2.2.3 Isométries directes, indirectes (Orientation de l’espace)
3 Formes hermitiennes et espaces hermitiens 
3.1 Forme hermitienne
3.1.1 Matrice d’une forme hermitienne
3.1.2 Changement de base
3.1.3 Rang d’une forme hermitienne
3.1.4 Forme hermitienne et forme quadratique
3.1.5 Orthogonalité
3.1.6 Forme non dégénérée
3.1.7 Base orthogonale et orthonormale
3.1.8 Réduction des formes hermitiennes
3.2 Espace hermitien
3.2.1 Produit hermitien
3.2.2 Orthogonalité dans les espaces préhilbertiens complexes
3.2.3 Adjoint d’un endomorphisme
4 Applications des formes quadratiques 
4.1 Endomorphismes symétriques et formes quadratiques
4.1.1 Formes quadratiques et les extremums
4.2 Les coniques
4.2.1 Réduction de l’équation d’une conique
4.2.2 Classification des coniques
4.3 Les quadriques
4.3.1 Principe de réduction des quadriques
4.3.2 Classification des quadriques