INTRODUCTION ET POSITION DU PROBLEME
L’innovation impose au chercheur une mise à jour permanente de ses connaissances et une bonne information sur le potentiel offert par les techniques nouvelles, découvertes et mises au point dans les laboratoires de recherche. En traitement du signal, les techniques numériques apportent des possibilités prodigieuses : la conception rigoureuse des systèmes, une grande reproductibilité des équipements, une grande stabilité de leurs caractéristiques en exploitation et une remarquable facilité de supervision. Cependant, ces techniques présentent un certain degré d’abstraction et leur application aux cas concrets requiert un ensemble de connaissances théoriques, jugées souvent plus familières ou plus facilement accessibles au chercheur, et qui peuvent représenter un obstacle à leur utilisation. Cette mémoire contribue à la mise en œuvre de la modélisation et applications des filtres adaptatifs à temps discret. Les solutions techniques basées sur l’optimisation de filtres adaptatifs se rencontrent dans une variété de problèmes de détection, d’estimation et d’identification. Le domaine de l’égalisation des voies de transmission de données que des solutions adaptatives ont été utilisées à grande échelle. Depuis lors, de telles approches ont gagné bien d’autres domaines d’applications. L’objectif de notre recherche dans ce mémoire est :
De fournir un modèle mathématique acceptable pour un système dont on peut dériver de nombreuses informations relatives à son fonctionnement dynamique.
De donner les clés pour comprendre les filtres adaptatifs et ainsi être en mesure de construire le plus adapté aux différents problèmes confrontés.
En effet, l’attrait que suscite chez les électroniciens l’utilisation du filtrage adaptatif ne tient pas qu’aux intérêts applicatifs de cette technique, pourtant considérables; il s’explique aussi, pour une part non négligeable, par la séduction intellectuelle qu’exerce sur les esprits la mise au point de systèmes artificiels capables de s’adapter de manière indépendante aux diverses situations qu’ils sont appelés à rencontrer. Selon les disciplines où elle se rencontre, cette capacité d’adaptation est définie de manière différente. En télécommunication et en informatique, elle se résume souvent à une aptitude à mettre en œuvre des raisonnements logiques selon un certain nombre de règles prédéfinies ou, éventuellement évolutives; c’est là le domaine de l’intelligence artificielle. En électronique, elle se réduit plutôt à l’adaptation, selon un critère mathématique, des paramètres d’un filtre, le plus souvent numérique; il s’agit alors du domaine du filtrage adaptatif. Il existe plusieurs structures possibles, plusieurs types de paramètres et plusieurs critères d’adaptation pour réaliser un filtre adaptatif. Ce mémoire considère le cas des filtres transverses adaptés selon le critère des moindres carrés. Après une introduction détaillée sur les notions de base de quelques outils mathématiques dans le premier chapitre, le second est consacré à la synthèse des deux différentes grandes familles de méthodes d’analyse spectrale : l’analyse spectrale classique, qui fait l’hypothèse d’un modèle stochastique ou déterministe des signaux à analyser. Ainsi, l’existence supposée d’un modèle de génération des signaux dont on dispose, permet de ramener le problème de l’analyse spectrale à un problème d’estimation de paramètres. Le chapitre 3 illustre le tour des techniques de la prédiction linéaire et de l’estimation spectrale sur le traitement numérique du signal. Le chapitre 4 est consacré à la mise en œuvre de la solution des équations de Wiener-Hopf, on étudiera un algorithme de descente du gradient, et une approximation très simple : l’algorithme LMS (Least Mean Square). Pour ce qui est de la bibliographie, ce mémoire est basé essentiellement sur le livre [1]. D’autres sources sont utilisées dans la logique générale du mémoire, qui fait une place plus importante que [1] aux modèles d’état et le filtre adaptatif. Enfin, une conclusion générale donne une synthèse du travail effectué et résume les principaux résultats obtenus ainsi que les perspectives envisagées pour d’éventuelles améliorations ou pour une implémentation à d’autres types de défaillances et d’autres types d’algorithme pour un filtrage adaptatif.
Extraction d’un signal noyé dans le bruit
Le signal informatif est sinusoïdal et se trouve fortement bruité par un signal aléatoire. L’information est véhiculée par l’amplitude du signal informatif et l’on dispose, pour signal de référence, d’un signal sinusoïdale de même fréquence que le signal utile. Soient les signaux: où est le bruit blanc additif. L’ensemble tendant à annuler et le bruit n’étant pas corrélé avec , la sortie doit tendre vers .
– Annulation de bruit pour le téléphone mains libres : On considère le cas d’un téléphone portable accroché au tableau de bord d’un véhicule. Le moteur crée un bruit qui se superposera, à un facteur près, à la voix du conducteur qui constitue le signal . Le bruit est mesuré par un capteur tout près du moteur. Le microphone du téléphone reçoit ainsi le signal parasité , comme le montre sur la figure (4.11). On utilise un neurone linéaire pour atténuer l’interférence due au bruit du moteur. On envoie à l’entrée du neurone le bruit du moteur et l’on cherche à prédire le signal bruité . Le neurone sortira la partie du signal corrélée avec le bruit , soit un signal proche de . L’erreur de prédiction ou la différence entre la cible (signal bruité) et la sortie du neurone constituera le signal utile estimé ̂. Les figures suivantes représentent respectivement le signal utile de la voix, le bruit du moteur et le signal bruité, , capté par le microphone du combiné téléphonique.
– Elimination du bruit dans une conduite : Cette application consiste à utiliser un filtre adaptatif pour éliminer le bruit produit par un ventilateur dans une conduite d’aération. Le ventilateur génère une onde acoustique qui se propage au sein de la conduite, celle-ci pouvant d’ailleurs amplifier certaines composantes du bruit en entrant en résonance. Le bruit de conduite est capté par le microphone 1 afin d’être appliqué à l’entrée du filtre adaptatif . La sortie du filtre génère le contre bruit visant à annuler le bruit résiduel dans la conduite. Quant au microphone 2, il capte le bruit résiduel servant à adapter les coefficients du filtre pour faire tendre vers zéro. Le bruit produit par le ventilateur présente une fréquence fondamentale fonction de la vitesse de rotation et du nombre de pales. Nous allons supposer que le ventilateur tourne avec une fréquence fondamentale du bruit à 150 Hz. Un terme de gain symbolisera l’atténuation subie par le bruit entre l’emplacement du microphone 1 et le haut-parleur de contre bruit, la fonction « transport delay » symbolisera le temps de propagation du signal sonore. Le filtre adaptatif est réalisé à l’aide d’une S-fonction à laquelle nous passerons comme paramètres, la période d’échantillonnage , le coefficient d’adaptation du filtre et l’ordre n du filtre. L’étape d’initialisation conditionne à zéro le vecteur d’entrée , le vecteur des coefficients et le scalaire d’erreur puis appelle la fonction d’initialisation système.
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Dans ce mémoire, des techniques pour modéliser, concevoir et réaliser des filtres adaptatifs ont été présentées. Le filtre adaptatif est un filtre numérique dont les coefficients évoluent en fonction des signaux reçus. Ces coefficients seront estimés par des algorithmes récursifs, au sens d’un certain critère. Les critères qui sont généralement retenus pour l’obtention de ces algorithmes sont du type moindres carrés car ils conduisent aux résultats les plus simples à interpréter. Les filtres peuvent être à réponse impulsionnelle finie (RIF) ou infinie (RII), quant à la structure, elle est soit transverse, soit en treillis. Les familles d’algorithmes qui en découlent ont des complexités arithmétiques différentes et leur comportement dépend du type d’excitation et de l’absence ou de la présence de bruit. L’analyse spectrale et l’estimation linéaire des signaux constituent un moyen très utilisé, à un niveau de synthèse et après analyse préalable, soit les phénomènes physiques ayant donné naissance à un signal soit les mécanismes artificiels de production de ce signal. Elles permettent de traduire, avec un nombre fini de paramètres les principales caractéristiques du signal. La prédiction linéaire est un outil très puissant utilisé pour l’analyse de séries temporelles. On peut utiliser la prédiction linéaire pour modéliser des signaux. Les performances d’un estimateur et d’un prédicteur sont généralement quantifiées par le biais et la variance. Le calcul analytique des expressions du biais et de la variance pour ce genre de méthodes est difficile, voire impossible, car le calcul des racines d’un polynôme de prédiction ou des valeurs propres d’une matrice conduit à une relation complexe entre les statistiques du signal et celles des estimateurs. Les techniques pour concevoir et réaliser des filtres adaptatifs sont basées sur l’algorithme du gradient, qui constitue l’approche la plus simple et la plus robuste pour faire varier les coefficients. La structure RIF directe a été étudiée en détail, en faisant apparaître les paramètres d’adaptation, constante de temps et erreur résiduelle, et de complexité, cadence des multiplications et nombre de bits des coefficients et des données internes ; c’est la structure la plus utilisée. L’analyse des conditions de stabilité de ces structures, l’étude des paramètres d’adaptation et de complexité peuvent se faire en suivant une démarche analogue à celle décrite pour la structure RIF. L’algorithme du gradient amène une évolution relativement lente des valeurs des coefficients du filtre, notamment quand on recherche une erreur résiduelle faible et quand on l’utilise sous sa forme la plus dépouillée, l’algorithme du signe. Pour atteindre une plus grande rapidité d’adaptation, on peut recalculer périodiquement l’ensemble des coefficients en faisant appel à des procédures itératives rapides ; la structure en treillis se prête bien à cette approche et permet d’analyser ou de modéliser des signaux comme la parole en temps réel avec des circuits de complexité modérée. Des critères mieux appropriés dans certaines applications que la minimisation de l’erreur quadratique moyenne peuvent être envisagés et des algorithmes plus performants que le gradient peuvent être élaborés. Cependant la mise en œuvre de ces algorithmes est généralement nettement plus compliquée et des problèmes de sensibilité aux imperfections de la réalisation peuvent apparaître. Finalement la structure RIF, fonctionnant suivant le critère de minimisation de l’erreur quadratique moyenne et utilisant l’algorithme du gradient, ou sa forme la plus simple l’algorithme du signe, offrent un bon compromis de simplicité, d’efficacité et de robustesse pour le filtrage adaptatif.
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Table des matières
REMERCIEMENTS
NOTATIONS
INTRODUCTION ET POSITION DU PROBLEME
CHAPITRE 1 OUTILS MATHEMATIQUES ET APPLICATIONS POUR LES SIGNAUX ALEATOIRES
1.1 Introduction
1.2 Variable aléatoire
1.3 Signaux aléatoires à temps discret
1.3.1 Description
1.3.1.1 Description complète
1.3.1.2 Description partielle
1.3.2 Stationnarité
1.3.3 Ergodisme
1.3.4 Le syndrome gaussien
1.3.5 Les espaces vectoriels
1.3.5.1 Espace vectoriel
1.3.5.2 Orthogonalisation de Gram-Schmidt
1.3.5.3 Produit scalaire
1.3.6 Espace de Hilbert
1.4 Filtrage d’un signal aléatoire stationnaire au sens large
1.4.1 Fonction d’autocorrélation
1.4.2 Densité spectrale de puissance
1.4.3 Formule des interférences
1.5 Applications
1.5.1 Variable aléatoire à distribution uniforme
1.5.2 Signal aléatoire à moyenne mobile
1.6 Conclusion
CHAPITRE 2 ANALYSE SPECTRALE ET ESTIMATION LINEAIRE DES SIGNAUX ALEATOIRES
2.1 Introduction
2.2 Analyse spectrale par corrélogramme
2.3 Estimation linéaire des signaux aléatoires
2.3.1 Filtres de Wiener
2.3.1.1 Equation de base
2.3.1.2 Optimisation
2.3.1.3 Calcul de l’erreur quadratique minimale
2.3.1.4 Equation de Wiener-Hopf
2.3.1.5 Représentation des performances
2.3.2 Filtre de Kalman discret
2.3.2.1 Erreurs a priori et a posteriori
2.3.2.2 Algorithme
2.3.2.3 Prédiction de
2.3.2.4 Stabilité du filtre de Kalman
2.4 Application
2.5 Conclusion
CHAPITRE 3 PREDICTION LINEAIRE ET ESTIMATION SPECTRALE DES SIGNAUX ALEATOIRES
3.1 Introduction
3.2 Prédiction linéaire des signaux aléatoires
3.2.1 Prédiction avant
3.2.2 Prédiction arrière
3.2.3 Relation entre prédiction avant et arrière
3.2.4 Erreur de prédiction
3.2.5 Processus stochastiques discrets
3.2.1.1 Matrice d’autocorrélation
3.2.1.2 Modèles stochastiques
a. Modèles autorégressifs (AR)
b. Modèle à moyenne mobile (MA)
c. Modèle autorégressif à moyenne mobile (ARMA)
3.2.1.3 Caractérisation d’un modèle AR
3.2.1.4 Equations de Yule-Walker
3.2.1.5 Résolution des équations de Yule-Walker
3.3 Conclusion
CHAPITRE 4 FILTRAGE ADAPTATIF A TEMPS DISCRET
4.1 Introduction
4.2 Principe et objectif du filtre adaptatif
4.3 Classification des filtres adaptatifs
4.4 Filtrage linéaire optimal
4.2.1 Algorithme du gradient
4.2.1.1 Convergence de l’algorithme du gradient
4.2.1.2 Pas optimal de l’algorithme du gradient
4.2.1.3 Conditionnement de la matrice d’autocorrélation
4.2.2 Algorithme du gradient stochastique LMS
4.2.2.1 Convergence et stabilité
4.2.2.2 Comportement de l’erreur
4.2.2.3 Convergence de l’algorithme à pas variable
4.2.2.4 Algorithme du signe
4.2.2.5 Algorithme LMS normalisé
4.5 Applications
4.5.1 Introduction
4.5.2 Principe
4.5.2.1 Elimination d’une interférence
4.5.2.2 Extraction d’un signal noyé dans le bruit
4.6 Conclusion
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
ANNEXES : EXTRAIT CODES SOURCES
BIBLIOGRAPHIE
FICHE DE RENSEIGNEMENT
RESUME
ABSTRACT
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