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Quelques notions relatives au processus d’écoulement multi-phasique
Une étude locale entre une phase en place dans le milieu poreux et une seconde phase venant la déplacer nécessite de regarder les effets intervenants à l’échelle du pore. En particulier, il faut regarder les effets du mouillage et de la cap-illarité entre les fluides. Ces deux propriétés sont essentiels pour décrire les écoulements à travers des pores microscopiques ([5, Christophe COTTIN],([21, Adrienne YRA])).
Tension superficielle
Un certain nombre d’expérience simple permet de mettre en évidence la ten-sion superficielle. Considérons deux liquides immiscibles. A l’interaction, chaque liquide va alors ajuster sa forme pour minimiser l’énergie de surface exposée à l’interface. Une fois exposée à une surface, une molécule est donc dans un état d’énergie défavorable. La tension de surface mesure directement cet accroisse-ment d’énergie par unité de surface.
Exemple:
Considérons une goutte d’eau, en équilibre avec sa vapeur, les forces gravitation-nelles sont négligées. La goutte adopte une forme sphérique pour minimiser son énergie de surface. La courbure de la surface traduit une différence de pression entre la phase liquide et la phase gazeuse. La pression à l’intérieur de la goutte du coté concave est supposée être supérieur à la pression du côté convexe. Nous notons la tension superficielle de la goute.
L’énergie libre de surface de la goutte est donnée par 4 R2 , où R désigne le rayon de la goutte.
Augmentons de dR le rayon de cette goutte, l’incrément d’énergie de surface cor-respondant est donné par 8 R dR. Cette énergie doit être compensée par les forces de pression entre l’eau et la vapeur. Nous notons 4p > 0 la différence de pression entre l’eau et la vapeur.
Mouillabilité et capillarité
Elle indique la capacité d’un liquide à se répandre sur une surface solide. Le mouillage d’un liquide sur une surface est caractérisé par l’angle de contact formé entre une goutte de ce liquide et une surface, nous notons cet angle par . Cet angle dépend des tensions de surface impliquées dans l’équilibre de la goutte.
Pour un écoulement diphasique en milieu poreux, l’angle de contact intervient dans la définition de la pression capillaire([19, Louis Salkin]). Chaque phase a sa propre pression, il y a une discontinuité de la pression sur l’interface qui sépare les deux fluides immiscibles, c’est à cause de la tension inter-faciale existante à l’interface. La discontinuité entre la pression de la phase non mouillante et celle de la phase mouillante est la pression capillaire. A l’interface entre les phases comme le montre la figure (I.3), l’équilibre statique impose la relation suivante entre les pressions : si pn désigne la pression de la phase non mouillante et pw celle de la phase mouillante,
Drainage et imbibition
En fonction des propriétés de mouillage des fluides sur la surface du milieu poreux, deux types de déplacement sont rencontrés en milieu poreux :
Le drainage, lorsqu’un fluide non mouillant pour la surface est injecté pour déplacer un fluide en place mouillant.
L’imbibition, cas inverse du drainage, rencontré lorsqu’un fluide mouillant est injecté pour déplacer un fluide en place non mouillant.
Ces deux mécanismes sont assez différents : à très basse vitesse imposée, dans le cas du drainage, le fluide pousseur va prioritairement envahir les pores les plus gros. Pour envahir un pore dans cette situation, il est nécessaire d’appliquer au fluide pousseur une pression seuil supérieure à la pression capillaire de ce pore.
Simulation numérique d’un écoulement diphasique et immiscible en milieux poreux
A l’inverse, dans le cas de processus d’imbibition, le fluide pousseur mouillant va prioritairement envahir les pores les plus petites, le fluide pousseur n’a alors pas de seuil à franchir pour se propager dans le milieu poreux.
Perméabilité relative et saturation
Afin d’étudier l’écoulement d’une phase notée , nous analysons la fraction ou la proportion présente de cette phase dans un espace poreux. Nous appelons cette fraction, la saturation(S ):
S = 1 (I.12)
est n (non-weitting) pour la phase non mouillante,w ( wetting) pour la phase mouillante et g pour la phase gaz.
La perméabilité relative est une quantité qui décrit le taux d’affaiblissement de l’écoulement d’une phase par l’autre c’est-à-dire elle traduit le fait que plus la phase est présente dans le milieu plus elle est mobile. Elle est une fonction de la saturation et peut dépendre de la saturation d’une autre phase. La perméabilité relative de la phase est Kr , c’est une fonction à valeur dans [0; 1], vérifiant:
kr (S = 0) = 0
et
kr (S = 1) = 1
La perméabilité relative de la phase aqueuse, huileuse ou gazeuse sont notés respectivement krw,kro et krg.
Equations générales de l’écoulement multiphasique en milieu poreux
Les équations décrivant les déplacements de deux fluides immiscibles sont données par la conservation de la masse de chaque phase, la loi de Darcy et la loi de la pression capillaire.
Loi de Darcy
Le chevalier Henri Darcy, étudiant du Fontaines de la ville de Dijon vers 1856, établit expérimentalement que le débit d’eau s’écoulant à travers un massif de sable, comme le montre la figure(I.4), peut se calculer ([4, G. de Marsily]):
Q = KA4Lh
Q: Débit volumique
K: Coefficient de perméabilité du milieu poreux
A: Section du milieu poreux
L: Épaisseur du milieu poreux
4h: Variation de hauteur
En divisant chaque membre par la section A, nous avons :
Simulation numérique d’un écoulement diphasique et immiscible en milieux poreux
Figure I.4: Expérience de Darcy
Q=KA4horU =Q
AALA
U = K4heti =4h
LL
D’où(I.14)
U = Ki
qui est l’expression le plus simple de la loi de Darcy.
Avec
U: vitesse de filtration
i: gradient hydraulique
La formulation de la loi de Darcy devient rapidement locale, applicable à des corps poreux hétérogènes, à des fluides autres que l’eau, éventuellement compressibles, et à des écoulements non uniformes, elle a la forme suivante([15, Martin Zerner]):
!=!p~g)
UK(r(I.15)
La loi a initialement été élaborée pour une unique phase pour être ensuite généralisée à la présence de plusieurs phases. Dans le cas multiphasique, elle s’exprime toujours en fonction d’un gradient de pression et du terme perméabilité. Cependant, on pondère cette fois le coefficient de perméabilité par perméabilité relative. Une fois les phases définies, il reste à caractériser le terme de perméabilité relative.
Équation de continuité
L’équation de continuité traduit le principe de la conservation de la masse ; nous l’obtenons en écrivant que la variation de la masse du fluide contenu dans un volume élémentaire du milieu poreux est égale à la différence des quantités de fluide entré et sorti pendant le même temps. Considérons un écoulement suivant l’axe (ox) traversant un élément d’un volume unité de dimension dx dy dz comme dans le figure (I.5).
MATÉRIELS ET MÉTHODES
Les problèmes physiques que nous rencontrons dans notre vie quotidienne peuvent être décrits par des équations aux dérivées partielles fortement couplées et non linéaires. En général, ces équations n’admettent pas de solutions analytiques sauf dans des cas très simplifiés. C’est pourquoi un recours aux méthodes de résolution numériques s’avère nécessaire.
Matériels
Actuellement, la réduction du temps de calcul est l’une des caractéristiques fon-damentales dans l’évolution du matériel informatique. En plus, il existe plusieurs produits pour traiter un problème de Dynamique des fluides numériquement (CFD : Computationnal Fluid Dynamics). Nous allons présenter ici ceux que nous avons utilisés tout au long du travail.
Gmsh
Gmsh est un logiciel libre développé par Christophe Geuzaine et Jean-François Remacle. Il dispose d’une capacité à prendre en compte des équations paramétriques simples dans son pré-traitement, et d’un système de visualisation efficace dans son mécanisme de post-traitement. En effet, il contient quatre (4) modules qui sont : module de géométrie, module de maillage, un module de solveur et un module de post-traitement. Mais nous nous sommes servi de Gmsh pour mailler notre domaine ([6, Carlos Felipe Guzman], [7, C.Geuzaine and J.F. Remacle]).
Matlab
Matlab (Matrix laboratory) est un langage de programmation de quatrième généra-tion et un environnement de développement. Il est utilisé à des fins de calcul numérique. Développé par la société The MathWorks, Matlab permet la ma-nipulation de matrice, afficher des courbes et des données, mettre en oeuvre des algorithmes, créer des interfaces utilisateurs, et peut s’interfacer avec d’autres langages comme le C++, Java et Fortran. Nous pouvons utiliser Matlab pour la résolution approchée des équations dérivées partielles, de système d’équation linéaire ou non linéaire,. . . Mais nous avons élaboré des programmes sous Matlab pour la mise en oeuvre de la méthode des volumes finis et la visualisation des résultats.
Méthode des volumes finis
A présent, nous nous intéressons à l’approximation numérique des solutions de système d’équations. Pour cela, nous développons un schéma volumes finis. La méthode des volumes finis est une méthode de discrétisation utilisée pour des équations aux dérivées partielles. Elle consiste à intégrer, sur des volumes élé-mentaires, les équations écrites sous forme intégrale. Elle est applicable à des maillages régulières ou irrégulières. Elle est bien adaptée aux lois de conserva-tion car localement, c’est-à-dire d’une maille à sa voisine, le flux numérique est conservé([25, Pascal Jacq]).
Maillage
Le domaine géométrique est divisé en maille élémentaire. Nous utilisons ici le maillage régulière « celle-center » ([24, Valérie AUFFRAY])comme le montre sur la figure (II.1). Les inconnues se trouve sur le centre de gravité de chaque maille.
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Table des matières
INTRODUCTION
I GÉNÉRALITÉS
I.1 Généralités sur l’écoulement multiphasique dans un milieu poreux
I.1.1 Milieu poreux
I.1.2 Notions de Volume Elémentaire Représentatif (VER):
I.1.3 Paramètres hydrodynamiques d’un milieu poreux:
I.1.4 Quelques notions relatives au processus d’écoulement multiphasique
I.1.5 Equations générales de l’écoulement multiphasique en milieu poreux
I.2 Écoulement diphasique en milieu poreux
I.2.1 Équations de l’écoulement diphasique
II MATÉRIELS ET MÉTHODES
II.1 Matériels
II.1.1 Gmsh
II.1.2 Matlab
II.2 Méthode des volumes finis
II.2.1 Maillage
II.2.2 Discrétisation en temps et en espace
II.2.3 Approximation
II.3 Résolution numérique
II.3.1 Schéma IMPES
II.3.2 Construction de la matrice
II.3.3 Conditions aux limites
II.3.4 Choix du pas de temps
II.3.5 Calcul de la saturation
III RÉSULTATS ET DISCUSSIONS
III.1 Résultats
III.1.1 Perméabilité relative
III.1.2 Pression capillaire
III.1.3 Champ de la pression de gaz
III.1.4 Saturation en eau
III.2 Discussion
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
A Les différentes échelles d’observations d’un milieu poreux I
A.1 Échelle du pore dite microscopique
A.2 Échelle locale dite macroscopique (Echelle de Darcy)
A.3 Échelle globale dite grande échelle
B Théorème de Green III
C Les équations empiriques proposé par Van Genuchten et Vargaftik
C.1 Perméabilité relative en gaz
C.2 La perméabilité relative du liquide
C.3 Tension superficielle
C.4 Pression capillaire
C.5 La masse volumique de l’eau
C.6 Viscosité dynamique de l’eau
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