Apports pour la modélisation des systèmes écologiques et sociaux

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Dynamique : coupler les phénomènes démographiques, écolo-giques et économiques

Nous modélisons la dynamique de trois variables, la taille de la population humaine x, le niveau de capital naturel renouvelable y et la quantité de biens manufacturés par individu z (cela implique donc que nous supposons que la taille de population est toujours non nulle et que chaque membre de la population dispose d’une quantité égale de biens manufacturés). Nous faisons les suppositions suivantes :

— Les individus sont égaux dans leur capacité à consommer des biens manufacturés et dans la sensibilité de leur taux de reproduction à cette consommation.

— Le système écologique et social est isolé. Aucun capital naturel renouvelable ni de biens manufacturés ne peut rentrer ni sortir du système écologique et social. Aucun individu ne peut quitter ni entrer dans le système écologique et social.

— Le maintien de la population dépend directement de la disponibilité en biens manufacturés (et indirectement de la disponibilité du capital naturel renouvelable).

Nous supposons que les variations de (x; y; z) sont données par un système d’équations de la forme suivante :

x = (Cc( C ; z))x (2.1)

y = y) YER(px; y) (2.2)

z = CER((1 p)x; YER(px; y)) Cc( C ; z): (2.3)

Le taux de croissance de la taille de population dépend explicitement de la quantité de biens manufacturés extrait par individu Cc( C ; z). Cc( ; ) est une fonction croissante de la quantité de biens manufacturés disponibles par individu et d’un paramètre représentant l’intensité de consommation individuelle de biens manufacturés C . Le capital naturel renouvelable est soumis à deux dynamiques antagonistes : une croissance logistique ) et une diminution due à l’extrac-tion par une proportion p de la population pour produire des biens manufacturés, YER(px; y).

Dynamique du niveau de capital naturel renouvelable

Le niveau de capital naturel [Missemer 2018] renouvelable y, est modélisé comme auto-reproduisant et exploité par les humains. Nous supposons que le terme correspondant à l’ex-traction faite par les producteurs correspond à un terme de type Lotka-Volterra (considérant les producteurs comme les prédateurs et le capital naturel renouvelable comme la proie). Ainsi la dynamique détaillée de y est : y y = ry(1 ) Rpxy K avec r le taux de reproduction du capital naturel renouvelable, K correspond à niveau maximum, R correspond à l’intensité d’extraction du capital naturel renouvelable et p donne la proportion de producteurs dans la population humaine.

Dynamique de la quantité de biens manufacturés par individu

Les biens manufacturés sont créés en transformant du capital naturel renouvelable extrait grâce au travail des transformateurs. Ils sont ensuite répartis de façon égale entre les diﬀérents individus. Nous utilisons comme fonction de production une fonction de type Cobb-Douglas avec deux intrants : le nombre de transformateurs et le capital naturel renouvelable extrait. La consom-mation individuelle de biens manufacturés est représentée par le terme suivant : Cc( C ; z) := C z. C correspond à l’intensité de la consommation de biens manufacturés. La dynamique de z est donc : A ((1p)x) ( Rpxy) z = C z: x

Le premier terme de la diﬀérence correspond au flux entrant et le second correspond au flux sortant. Le premier est donc formé d’une fonction de type Cobb-Douglas divisée par la taille de population. A correspond à la productivité totale des facteurs, un nombre (1 p)x de trans-formateurs comme premier intrant (avec une élasticité de ) et une quantité Rpxy de capital naturel renouvelable extrait comme second intrant (avec une élasticité de ). Nous supposons donc que la population n’est pas stratifiée par âge (chaque membre est impliqué dans l’un des deux types de tâches). Notre modèle peut embarquer les trois possibilités concernant le rende-ment d’échelle. Si l’élasticité par rapport aux transformateurs et celle par rapport au capital naturel renouvelable extrait se somment à moins (respectivement plus) de un, le processus pro-ductif est dit à rendement d’échelle décroissant (respectivement rendement d’échelle croissant) .

Embarquer des changements possibles dans les pratiques

Dans la dynamique (2.1.4), nous supposons que certains paramètres peuvent être changés (car directement liés à l’organisation sociale et économique du système écologique et social) afin d’augmenter la durabilité du système écologique et social. Nous les appelons contrôles. Les contrôles que nous supposons sont l’intensité de consommation de biens manufacturés C (qui détermine la dynamique de la population, par la reproduction et l’éducation des individus), l’intensité d’extraction du capital naturel renouvelable R et la répartition des tâches dans la population définie par p.
Nous sélectionnons ces contrôles car ils ne dépendent pas uniquement de l’état de connaissance technique. Ainsi, il nous apparaît raisonnable de considérer que ce sont les plus faciles à chan-ger si l’on veut parvenir à la durabilité. Ces contrôles sont listés dans la table 2.2. Les autres paramètres sont listés dans la table 2.1. Nous supposons donc pouvoir -partiellement- contrôler deux boucles de rétroactions, celle de l’exploitation du capital naturel renouvelable et celle de la reproduction de la population humaine.

Outils numériques et analytiques mobilisés

Existence d’un régime stationnaire

Nous utilisons le critère de Routh-Hurwitz pour évaluer les conditions (sur les contrôles et les paramètres) pour que la stabilité asymptotique advienne.

Comportement transitoire

Pour étudier le comportement transitoire du système, nous utilisons le langage Python (ver-sion 3.6.9) afin de simuler numériquement les trajectoires.

Existence et stabilité d’un point stationnaire avec cohabita-tion

Nous appelons point fixe avec cohabitation du système d’équations (2.1.4), un point fixe (définition 1) avec aucune composante nulle. Dans cette section, nous donnons les conditions pour qu’un tel point existe et soit stable.

Condition d’existence

Les détails des calculs de cette section sont dans l’annexe A. Un point fixe avec cohabitation S0 := (x0; y0; z0) vérifie le système d’équations suivant :

z0=s(3.1)

y0= K 1Rpx0(3.2)

P( ; )(x0) : = A(1p) (K Rp) x0 + 1(1Rpx0) = s;(3.3)

avec s := m arg( M ) , le niveau de subsistance (c’est la quantité de biens manufacturés par M m individu qui permet à la population de se maintenir), si la quantité de biens manufacturés est inférieure (respectivement supérieure) la taille de population diminue (respectivement augmente) et P( ; ) la fonction de production de biens manufacturés par individu à l’équilibre. Cette der-nière est obtenue à partir de la dynamique de z en supposant que la dynamique (cf section 2.1.4) est à l’équilibre et donc en subsistuant y par y0 (et son expression en fonction de x0) et z par z0. z0 est donné explicitement et ne dépend que du niveau de subsistance et de l’intensité de consommation de biens manufacturés, z0 = s . La valeur exacte de (x0; y0) n’est pas toujours accessible C (elle ne l’est qu’en cas de rendement d’échelle constant ou dans un cas particulier de rendement d’échelle croissant peu vraisemblable, voir sous-section 3.2.1.1). De plus, un point fixe avec coha-bitation existe si une condition de subsistance est satisfaite : le processus productif à l’équilibre doit être capable de produire suﬃsamment pour que la population se maintienne. La formule liant x0 et y0 informe sur un majorant de la taille de population à l’équilibre : cette dernière ne peut pas dépasser r .

La condition de subsistance dépend de la fonction de production de Rp biens manufacturés par individu à l’équilibre, or cette dernière dépend du rendement d’échelle supposé. Il y a ainsi 3 diﬀérents cas à considérer (selon les rendements d’échelle).

1. En cas de rendement d’échelle décroissant, la fonction de production de biens manufac-turés par individu à l’équilibre est une fonction décroissante de la taille de population à l’équilibre. Elle tend vers l’infini lorsque la taille de population tend vers zéro et elle tend vers zéro lorsque la taille de population s’approche de sa valeur maximale. La condition de subsistance est ainsi toujours satisfaite. Remarquons qu’à un niveau de subsistance donné, une seule taille de population peut correspondre (comme antécédent par la fonction de production de biens manufacturés par individu à l’équilibre).

2. En cas de rendement d’échelle constant, la fonction de production de biens manufac-turés par individu à l’équilibre est une fonction décroissante de la taille de population à l’équilibre (comme précédemment, à un niveau de subsistance donné, une seule taille de population peut correspondre (comme antécédent par la fonction de production de biens manufacturés par individu à l’équilibre)). Comme précédemment, elle tend vers zéro lorsque la taille de population s’approche de sa valeur maximale, mais elle est majorée. Le niveau de subsistance peut ne jamais être atteint, qu’importe la taille de population. La condition de subsistance n’est pas toujours satisfaite, elle est donnée par : P( ;1 )(0) > s () A(1 p) (K Rp)1 > s: (3.4)

3. En cas de rendement d’échelle croissant, la fonction de production de biens manufacturés par individu à l’équilibre n’est pas monotone (et cela diﬀère des deux cas précédents). Elle est maximum en xM := r + 1 . Pour une faible taille de population (inférieure à xM ), Rp +21 elle est croissante. Pour une taille de population supérieure à xM elle est décroissante. Comme précédemment, elle est majorée (par sa valeur en xM ). La condition de subsistance n’est donc pas toujours satisfaite. Cependant lorsqu’elle l’est, il est possible que ce le soit pour deux tailles de populations diﬀérentes (une située dans la zone où la fonction de production de biens manufacturés par individu à l’équilibre est croissante et une située dans la zone où la fonction de production de biens manufacturés par individu à l’équilibre est décroissante). Ainsi deux points fixes avec cohabitation peuvent exister, l’un présentant une taille de population relativement faible, un niveau de capital naturel renouvelable assez élevé et l’autre une taille de population élevée et un niveau de capital naturel renouvelable plus faible. La condition de subsistance est donnée par : P( ; )(xM ) s () A(1 p) ( Rp)1 M s(3.5)

(K ) (r( + 1)) + 1 avec M :=. (+2 1)+2 1

Condition de stabilité

Les détails des calculs de cette section sont dans l’annexe C. Dans cette section, nous sup-posons qu’un point fixe avec cohabitation existe. Pour évaluer la stabilité d’un point fixe avec cohabitation S0 = (x0; y0; z0), nous devons déterminer le signe de la partie réelle des valeurs propres de sa jacobienne (par théorème 1 de la section 1.1.2). En utilisant les informations liant les diﬀérentes composantes d’un point fixe avec cohabitation, nous obtenons que la jacobienne est égale à : 0 Rpy0 ry0=K 0( C00 )x C 1 : 00zA @( + 1) C z0=x0 C z0=y0C

Il n’est pas possible de connaître exactement les valeurs propres de cette matrice. Pour cette raison, nous mobilisons le critère de Routh-Hurwitz (donné par la proposition 1 de la section 1.1.2) et obtenons que le point fixe avec cohabitation est asymptotiquement stable (définition 3 de la section 1.1.2) si et seulement si le système suivant est vérifié :

ry0+ C x0 > 0(3.6)

K r( +1) < Rpx0( + 2 1) (3.7)

C R(x0)< Q(x0);(3.8)

avec :

R(x0) : = ( +1)( m) r + x0 (3.9)

Q(x0) : = x2 (2r + ( m))x0 + r2: (3.10)

L’équation (3.6) est toujours vérifiée. L’équation (3.7) est toujours vérifiée en cas de rendement d’échelle constant ou rendement d’échelle décroissant. En cas de rendement d’échelle croissant, l’équation (3.7) discrimine le point fixe avec cohabitation avec la plus petite taille de population. L’inégalité est stricte dans l’équation (3.7), cela impacte la condition de subsistance dans le cas rendement d’échelle croissant et l’équation (3.5) doit être satisfaite de façon stricte.

Ainsi, si un point fixe avec cohabitation stable existe, il est unique. Nous le nommons S := (x ; y ; z ). Il est exactement égal à S0 en cas de rendement d’échelle constant ou de ren-dement d’échelle décroissant. En cas de rendement d’échelle croissant, il n’est défini que lorsque l’équation (3.5) est satisfaite strictement, et il est alors égal au point fixe avec cohabitation avec la plus grande taille de population.

L’équation (3.8) est la seule équation contenant le terme d’intensité de consommation de biens manufacturés C . La stabilité de S dépend donc de la valeur de C mais aussi des autres para-mètres du modèle. Nous trouvons qu’une distinction selon les rendements d’échelle supposés doit être faite.

Définissons les seuils de taille de population suivants : xQ;1 : = Rpmp 2 Rp(3.11) r+m( m4r) xR :=r + ( +1) m:(3.12)

Nous rappelons que xM = r + 1 , défini en cas de rendement d’échelle croissant ou constant, Rp +21 correspond à la taille de population qui maximise la production de biens manufacturés par individu à l’équilibre. La position de x par rapport à xR donne la nature de la condition sur C pour avoir la stabilité. Si la taille de population est inférieure à xR la condition donne une minoration de C .

En cas de rendement d’échelle décroissant, xR est situé à l’exterieur de l’ensemble des valeurs possibles de x . Ce n’est donc pas un seuil pertinent. x doit donc être comparé à xQ;1. Si x est inférieure à xQ;1 alors S est stable, sinon il l’est si et seulement si C est suﬃsamment grand (comme résumé dans la section C.3 de l’annexe C). C doit être supérieur à la quantité suivante : : ]xQ;1; xR[! R x (x ) := p x2 x (xQ;1 + xQ;2) + xQ;1xQ;2 ; 7!Rx xR (3.13) avec xQ;2 une taille seuil de population majorant x .

En cas de rendement d’échelle constant, x doit encore être comparé à xQ;1. Si x est inférieure à xQ;1 alors S est stable, sinon il l’est si et seulement si C est suﬃsamment grand (comme résumé dans la section C.2 de l’annexe C). C doit être supérieur à (x ) (cf équation 3.14).

En cas de rendement d’échelle croissant, la position relative des diﬀérents seuils xM , xR et xQ;1 dépend du paramètre suivant : := r ( +1)( + 2 1)( m): (3.15) doit être strictement supérieure à zéro pour que S puisse être stable (cf section C.1 de l’annexe C. Lorsque > 0, les seuils sont ordonnés de la façon suivante : xM < xQ;1 < xR (cf équation C.15).

Lorsque > 0, la stabilité de S advient dans deux situations qualitativement diﬀérentes :

— La taille de population à l’équilibre est relativement faible (i.e. x xQ;1)) (cf branches 2a et 2b de l’arbre de la section C.1 des annexes). Dans un tel cas, puisque la stabilité ne dépend pas de la valeur de l’intensité de consommation de biens manufacturés, nous qualifions le système écologique et social de « socialement et biophysiquement adapté ».

— La taille de population est plus élevée (i.e. xQ;1 < x < xR), et l’intensité de consommation de biens manufacturés C est supérieure au seuil défini par (cf équation 3.14) (cf branche 2c de l’arbre de la section C.1 des annexes).

Inversement, lorsque S existe mais est instable, nous pouvons distinguer trois situations :

— < 0. Le taux de régénération du capital naturel renouvelable r n’est pas assez élevé par rapport à un certain seuil dépendant de la sensibilité du processus productif à ses intrants ( et ) et au taux de déclin maximum de la taille de population m (cf branche 1 de l’arbre de la section C.1 des annexes). Nous qualifions cette crise de « faible productivité de l’écosystème ».

— La taille de population est plus élevée (i.e. xQ;1 < x < xR), et l’intensité de consommation de biens manufacturés C n’est pas suﬃsamment élevée pour empêcher l’apparition de cycles du type explosion-déclin (cf branche 2c de l’arbre de la section C.1 des annexes). La quantité de biens manufacturés par individu augmente, puis la taille de population augmente, puis le niveau de capital naturel renouvelable diminue, puis la quantité de biens manufacturés par individu diminue, puis la taille de population diminue, puis le niveau de capital naturel renouvelable augmente, puis le niveau de biens manufacturés par individu augmente et ainsi de suite. Nous qualifions cette crise de « déficit de consommation de biens manufacturés ».

— La taille de population est encore plus élevée (i.e. xR x ). Le cycle explosion déclin ne peut être résorbé par une valeur adéquate de C (cf branches 2d et 2e de l’arbre de la section C.1). Nous qualifions cette crise de « flux de biens manufacturés trop élevé ». Le raisonnement présenté dans cette section peut être résumé par l’arbre de classification de la figure 3.1 et est détaillé dans les sections C.1 et C.2.

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Table des matières

Liste d’abréviations
1 Outils mathématiques et conceptuels
1.1 Équations différentielles
1.1.1 Point fixe
1.1.2 Stabilité, instabilité et stabilité asymptotique
1.1.3 Bifurcations locales
1.1.4 Théorie de la viabilité
1.2 Apports pour la modélisation des systèmes écologiques et sociaux
1.2.1 Système écologique et social
1.2.2 Durabilité
1.2.3 Transitions critiques et hystérèse
1.3 Questions traitées
2 Méthodes
2.1 Dynamique : coupler les phénomènes démographiques, écologiques et économiques
2.1.1 Démographie
2.1.2 Dynamique du niveau de capital naturel renouvelable
2.1.3 Dynamique de la quantité de biens manufacturés par individu
2.1.4 Formalisation mathématique
2.2 Embarquer des changements possibles dans les pratiques
2.3 Outils numériques et analytiques mobilisés
2.3.1 Existence d’un régime stationnaire
2.3.2 Comportement transitoire
3 Résultats
3.1 Existence et stabilité d’un point stationnaire avec cohabitation
3.1.1 Condition d’existence
3.1.2 Condition de stabilité
3.1.3 Synthèse
3.2 Sensibilité du point stationnaire avec cohabitation
3.2.1 Variations de ses composantes
3.2.2 Sensibilité de sa stabilité
3.2.3 Synthèse
3.3 Aspects transitoires des crises
3.3.1 Flux de biens manufacturés faible
3.3.2 Surproduction
3.3.3 Synthèse
3.4 Estimer la sensibilité de la viabilité du système
3.4.1 Deux potentiels estimateurs du noyau de viabilité
3.4.2 Comparaison entre ces deux estimateurs
3.4.3 Synthèse
3.5 Entre sobriété et instabilité
3.5.1 Mise en évidence d’un piège socio-écologique
3.5.2 Espace traversé par la dynamique
3.5.3 Sensibilité des ces espaces aux contrôles
3.5.4 Synthèse
4 Discussion et conclusion
4.1 Bilan
4.2 Comparaisons
4.2.1 Influence du rendement d’échelle sur les transitions critiques
4.2.2 Cycles explosion-déclin dus à une surproduction pas toujours évitable
4.2.3 Apparition d’un cycle pas toujours précédée d’un déclin de la taille de population à l’équilibre
4.2.4 Sobriété, viabilité et piège socio-écologique
4.3 Perspectives
4.3.1 Changer les hypothèses
4.3.2 Piège socio-écologique, approche numérique
4.3.3 Modéliser l’adaptabilité d’un système écologique et social par la théorie de la viabilité
Annexes
A Conditions d’existence d’un équilibre avec cohabitation 57
B Sensibilité à l’intensité d’extraction du capital naturel renouvelable 59
B.1 Cas analytiques (rendement d’échelle constant ou rendement d’échelle croissant
avec α = 1)
B.1.1 Rendement d’échelle constant (α + β = 1)
B.1.2 Rendement d’échelle croissant avec α = 1
B.2 Cas non analytiques (rendement d’échelle décroissant ou rendement d’échelle croissant avec α 6= 1)
B.2.1 Remarque préliminaire sur le cas rendement d’échelle croissant avec α 6= 1 60
B.2.2 Dérivée partielle de x∗ par rapport à δR
B.2.3 Rendement d’échelle croissant avec α < 1
B.2.4 Rendement d’échelle croissant avec α > 1
B.2.5 Rendement d’échelle décroissant
C Conditions de stabilité de cet équilibre 63
C.1 Rendement d’échelle croissant
C.2 Rendement d’échelle constant
C.3 Rendement d’échelle décroissant
C.4 Bornitude de ∆
C.4.1 Rendement d’échelle décroissant, α + β < 1
C.4.2 Rendement d’échelle constant, α + β = 1
C.5 Synthèse
C.5.1 Rendement d’échelle décroissant
C.5.2 Rendement d’échelle constant
C.5.3 Rendement d’échelle croissant
D Impact des différentes stratégies sur la valeur de l’équilibre et sa stabilité 69
D.1 Changement d’intensité d’extraction du CNR
D.1.1 Taille de population x∗(·; p)
D.1.2 Quantité de capital naturel renouvelable y∗(·; p)
D.2 Changement de la répartition des tâches
D.2.1 Condition de subsistance (cas rendement d’échelle constant ou croissant) . 71
D.2.2 Variations de x∗(δR; ·) (et implications sur la stabilité)
D.2.3 Variations de y∗(δR; ·)
D.3 Changement de répartition des tâches et maintien d’un effort d’extraction constant 79
D.3.1 Condition de subsistance
D.3.2 Variations de x∗ et y∗
D.3.3 Possibilité d’une instabilité
D.3.4 Localisation de l’instabilité
E Sur le comportement transitoire du système 83
E.1 Deux proxys de viabilité
E.1.1 Proxy sur la distance à la frontière
E.1.2 Proxy d’inspiration viabiliste
E.2 Entre sobriété et instabilité
E.2.1 Remarques préliminaires
E.2.2 Estimation basse du piège socio-écologique
E.2.3 Mise en évidence d’un espace traversé par un courant
Bibliographie