L'émission de fragments de masse intermédiaire

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La cascade intra-nucl´eaire

Le mod`ele du noyau dans la cascade

Aux ´energies consid´er´ees, ici il est suppos´e dans les mod`eles et observ´ dans les exp´eriences que les eﬀets de structure en couche du noyau sont faibles. Ceci ´etant des eﬀets pair-impair sont observ´es exp´erimentalement dans les r´eactions de spallation que ce soit sur les sections eﬃcaces isotopiques (FRS) [18] ou de production des el´ements ou encore de l’´evolution des multiplicit´es moyennes en fonction de l’´energie d’excitation du pr´e-fragment (SPALADIN) [19]. D’une part, le projectile poss`ede une grande ´energie initiale et les collisions de la cascade seront alors insensibles a` la quantification de l’´energie sur les couches du potentiel moyen du noyau. D’autre part, les bilans d’´energie que l’on peut ´etablir exp´erimentalement sur les ev´enements de spallation ne sont pas suﬃsamment complets et pr´ecis pour que l’on puisse observer ces couches de potentiel moyen.

Le mod`ele le plus simple pour d´ecrire le noyau cible est celui de la goutte liquide, propos´e par Gamow en 1928 [20] 10, et qui assimile le noyau a` un fluide nucl´eaire incompressible, i.e. un milieu continu de densit´ nucl´eonique uniforme `a temp´erature nulle. Cependant, il ne faut pas oublier la nature quantique de cette goutte liquide. En eﬀet, les nucl´eons, qui sont des fermions, sont soumis au principe d’exclusion de Pauli et occupent des ´etats quantiques. Ainsi, lors de la cascade, le noyau est g´en´eralement mod´elis´ comme un gaz de Fermi de neutrons et de protons sans interaction entre eux. Les nucl´eons du noyau sont plac´es dans une « boˆıte de potentiel » dans laquelle les ´etats permis ont des taux d’occupation de 1 jusqu’`a une ´energie maximale et de 0 au-dessus. L’´energie de Fermi, d´efinie comme l’´energie du nucl´eon le plus ´energique du noyau dans son ´etat fondamental, vaut : ǫF =~2(3 π ρn,p)2/3 2 m o`u m est la masse du nucl´eon et ρn,p la densit´ uniforme de neutrons/protons.

Les donn´ees exp´erimentales sur la diﬀusion d’´electrons de haute ´energie obtenues par Hof-stadter et ses collaborateurs au SLAC dans les ann´ees cinquante [22] ont montr´e l’existence d’une certaine diﬀusivit´e de la surface des noyaux. La prise en compte de cette diﬀusivit´e influe fortement sur les r´esultats de la cascade en particulier, ´evidemment, pour les collisions tr`es p´eriph´eriques. Ainsi, les mod`eles n’utilisent pas une densit´ uniforme mais cherchent au contraire `a se rapprocher des densit´es nucl´eoniques exp´erimentales. Certains mod`eles ont fait le choix de diviser le noyau en diﬀ´erentes sph`eres de densit´e nucl´eonique constante (voir paragraphe 1.2.3.1). L’´energie de Fermi n’est alors plus uniforme dans le noyau, tout comme le potentiel nucl´eaire dont la profondeur est donn´ee par la somme de l’´energie de s´eparation d’un nucl´eon et de l’´energie de Fermi. Les ´energies cin´etiques des particules et leurs directions sont ´egalement modifi´ees au passage entre deux zones, par conservation de l’´energie-impulsion. D’autres mod`eles, plus r´ecents (voir paragraphe 1.2.3.2), utilisent une fonction de densit´ nucl´eonique continue (p.ex. de type Woods-Saxon), qui permet d’´eviter les probl`emes de franchissement de la fronti`ere entre deux zones. Le changement de densit´ au cours de la cascade est g´en´eralement pris en consid´eration dans les mod`eles, mais l’´evolu-tion du potentiel est souvent n´eglig´ee. Enfin, la d´ependance de ce potentiel ressenti par une particule de cascade en fonction de sa vitesse 11 est, elle aussi, g´en´eralement n´eglig´ee.

Hypoth`eses de la cascade

L’id´ee de base des mod`eles de cascade est que la longueur d’onde de De Broglie Λ associ´ee a` une particule de cascade est tr`es petite devant la port´ee de l’interaction nucl´eon-nucl´eon rs et que cette particule « voit » les nucl´eons individuellement dans le noyau. Cette hypoth`ese, valable pour le nucl´eon incident, devient de moins en moins r´ealiste pour les particules secondaires au fur et `a mesure du d´eroulement de la cascade, leurs ´energies devenant bien plus faibles. Le m´ecanisme de r´eaction est d´ecrit comme une succession de collisions binaires classiques s´epar´ees dans l’espace et dans le temps. Pour que ceci soit correct, il est n´ecessaire que l’onde de diﬀusion r´esultant de la collision entre deux nucl´eons ait atteint son ´etat asymptotique avant de rencontrer un autre nucl´eon. Ceci se produit apr`es une distance consid´er´ee ˆetre de l’ordre de grandeur de la port´ee de l’interaction rs, qui doit donc ˆetre tr`es inf´erieure `a la distance moyenne d entre deux nucl´eons. Cette condition est a` peine v´erifi´ee dans la mesure o`u rs est de l’ordre de 1 f m et d de l’ordre de 2 f m. Finalement, la condition n´ecessaire pour la s´eparation de collisions successives s’´ecrit [24] (Fig. 1.2) : Λ << rs << d

Remarquons ici que les mod`eles de cascade diﬀ`erent de la description de Serber. En eﬀet, les collisions secondaires y sont d´ecrites comme des collisions nucl´eon-nucl´eon, et non par absorption des nucl´eons dans le noyau r´esiduel. Le traitement des collisions est en fait semi-classique : les collisions 12 qui violeraient le principe d’exclusion de Pauli sont interdites. C’est la seule propri´et´ quantique significative des mod`eles.

Les codes de cascade et leur formalisme

De nombreux codes de cascade existent (BERTINI, BRIC 13, BIC 14, CEM 15, JAM 16, ISABEL, INCL 17. . .), mais nous pr´esenterons uniquement les codes ISABEL [25] et INCL [26] que nous avons utilis´es par la suite pour analyser nos donn´ees.

Le code ISABEL

Le code ISABEL [25] mod´elise le noyau comme un milieu continu divis´e en 8 sph`eres concen-triques (16 dans la version de MCNPX), chacune de densit´ nucl´eonique constante. Le rapport entre protons et neutrons est suppos´e ´egal `a Z/(A − Z) dans toutes les zones. Les processus hadroniques el´ementaires utilis´es (Table 1.1) sont, pour l’essentiel, les diﬀusions ´elastiques nucl´eon-nucl´eon et la production de pion par l’interm´ediaire de la r´esonance Δ (processus in-´elastique). Elles sont principalement issues de r´esultats exp´erimentaux. Le suivi de la cascade est eﬀectu´ selon son ´evolution temporelle, ce qui permet de prendre en compte l’´evolution du syst`eme nucl´eaire, contrairement `a d’autres mod`eles qui suivent les nucl´eons d’interaction en interaction. Les trajectoires des N particules sont donc suivies simultan´ement, dans un inter-valle de temps Δτ qui d´epend des libres parcours moyens λi et des vitesses βi.

Au fur et `a mesure du d´eroulement de la cascade, il faut recalculer la densit´ pour prendre en consid´eration le fait que les niveaux en dessous du niveau de Fermi se d´epeuplent. Les collisions qui violent le principe de Pauli sont interdites, mais ce dernier peut ˆetre appliqu´e de fa¸con stricte (l’´energie du nucl´eon de cascade est inf´erieure `a l’´energie de Fermi calcul´ee pour le noyau cible dans l’´etat initial) ou il peut ´evoluer afin de tenir compte de cette diminution de densit´ de la mer de Fermi : une interaction qui g´en´ererait un nucl´eon d’´energie inf´erieure a` l’´energie de Fermi aura une probabilit´e d’ˆetre interdite ´egale au rapport entre la densit´ de la mer de Fermi entre l’´etat courant et l’´etat initial 18.

Le calcul s’arrˆete lorsque toutes les particules de cascade ont quitt´e le volume cible ou lorsque leurs ´energies deviennent inf´erieures `a une ´energie seuil (energy cutoﬀ ).

L’´energie d’excitation est calcul´ee selon la formule de Metropolis et al. [27] :

E∗=T00−mmπ

Ti0 −Ei0 − (m − 1) B

i=1i=1

o`u T00 est l’´energie cin´etique de la particule incidente (projectile), Ti0 l’´energie cin´etique des m nucl´eons eject´es, Ei0 l’´energie totale des mπ pions ´emis (masse + ´energie cin´etique) et B l’´energie de liaison moyenne des nucl´eons [27, 28].

Un exemple d’´ev´enement ISABEL est montr´e sur la figure 1.3.

FIGURE 1.3 – Exemple d’´ev´enement ISABEL [17].

Le code INCL

Le code INCL [26] a et´ initialement con¸cu pour d´ecrire les r´eactions d’ions lourds [29] avant d’´evoluer vers les r´eactions induites par protons [30] et antiprotons [31]. La description suc-cincte qui en est faite ici concerne la version INCL4.5, bien adapt´ee aux r´eactions de spallation autour de 1 GeV d’´energie cin´etique du projectile dans le centre de masse, et am´elior´ee a` plus basse ´energie incidente (en-dessous de 200 M eV ).

A la diﬀ´erence d’ISABEL, les nucl´eons de la cible y sont d´ecrits individuellement. Les nucl´eons du noyau cible sont plac´es al´eatoirement (entre R0 et Rmax), selon une distribution qui a la mˆeme forme que celle de la densit´ nucl´eaire obtenue lors de mesures de diﬀusion d’´electrons :

– distribution de type Woods-Saxon pour une cible de masse A > 27,

– distribution de type ” oscillateur harmonique modifi´e “ pour 6 ≤ A ≤ 27,

– distribution gaussienne pour A < 6.

Les impulsions des nucl´eons sont tir´ees al´eatoirement dans une sph`ere de rayon pF , l’im-pulsion de Fermi, ´egal a` 270 M eV /c (mati`ere nucl´eaire normale). Les distributions sont les mˆemes pour les protons et les neutrons. En fait, l’impulsion et la position ne sont pas in-d´ependantes. Une fois l’impulsion p choisie, la position est tir´ee dans une sph`ere de rayon R(p), avec R(p) une fonction croissante choisie de fa¸con `a reproduire la densit´ et qui varie de 0 (p = 0) a` Rmax (p = pF ). Cette proc´edure revient a` exiger que les nucl´eons d’impulsion comprise entre p et p + dp contribuent au profil de densit´ par une tranche horizontale corres-pondant aux coordonn´ees verticales R(p) et R(p + dp), comme cela est illustr´e sur la figure 1.4. En d’autres termes, les nucl´eons d’impulsion p ne peuvent se propager au-del`a de R(p). Toutes les particules de la cible, y compris les pions, sont soumises `a un puits de potentiel carr´e, constant pour les pions et, pour les nucl´eons, de rayon R(p) et dont la profondeur est une fonction V (τ, E) de leur isospin τ et de leur ´energie totale E.

FIGURE 1.4 – Illustration de la corr´elation r-p introduite dans la g´en´eration de l’´etat initial de la cible.

Les r´eactions consid´er´ees sont similaires `a celles trait´ees dans ISABEL auxquelles s’ajoute la diﬀusion delta-delta. La s´election de l’´etat final, pour chaque canal incident (N N , N Δ, ΔΔ), est faite al´eatoirement, en comparant un nombre al´eatoire au rapport des sections eﬃcaces ´elastiques et in´elastiques 19.

Une collision nucl´eon-nucl´eon n’est possible que si au moins l’un des nucl´eons est un parti-cipant 20 et si elle satisfait les deux crit`eres suivants :

– l’´energie totale dans le centre de masse est sup´erieure `a 1925 M eV : √s > 2mN + cutN N (cutN N = 48.5 M eV ) 21,

– le carr´e de la distance relative minimale v´erifie πd2min (s),

mais peut ˆetre bloqu´ee par le principe de Pauli. INCL inclut aussi la possibilit´e de former des « clusters » l´egers charg´es (d, t, 3H e, 4H e) par coalescence `a la surface du noyau.

La propagation de la cascade se fait temporellement (Fig. 1.5). Les particules se d´eplacent librement sur une trajectoire rectiligne entre des ev´enements appel´es avatars. Un avatar se produit lorsque deux particules ont atteint leur distance minimale d’approche (dmin), ou lorsque l’une des particules a atteint la surface du noyau 22 ou lors d’une d´ecroissance Δ. A chaque avatar i est associ´e un temps τi auquel il se produira 23. Le plus petit de ces temps min{τi}i est s´electionn´ et l’ensemble des particules est d´eplac´ `a ce point dans le temps. Le premier avatar dans la liste est alors test´ pour sa r´ealisation. Si tel est la cas, la liste des avatars (et donc des temps) est mise `a jour et la proc´edure est r´ep´et´ee jusqu’`a la fin de la cascade.

FIGURE 1.5 – Exemple d’´ev´enement INCL [17].

Dans INCL, le crit`ere d’arrˆet de la cascade est d´etermin´ de fa¸con coh´erente `a partir du comportement de plusieurs quantit´es physiques d´ependantes du temps, telles que l’´energie d’excitation du noyau cible, sa d´eriv´ee temporelle, l’´energie cin´etique moyenne des ´ejectiles et l’asym´etrie de l’impulsion des nucl´eons participants par rapport `a la direction du projectile incident. Les ´evolutions de ces quantit´es sont visibles sur la figure 1.6. Le temps de fin de la cascade tstop (stopping time) a et´ d´etermin´ pour le plomb (Fig. 1.6) et param´etr´ pour les o`u les Tj repr´esentent les ´energies cin´etiques des particules du pr´e-fragment, les Ti0 corres-pondent aux ´energies cin´etiques des nucl´eons du noyau cible et TF est l’´energie cin´etique de Fermi. Le terme entre parenth`eses repr´esente l’´energie minimale du syst`eme de Apref nu-cl´eons. La conservation de l’´energie est exacte, mais sans l’´energie de recul du pr´e-fragment (n´eglig´ee, de l’ordre de quelques M eV ).

La d´esexcitation

L’´etape de d´esexcitation est g´en´eralement trait´ee de fa¸con statistique et s´epar´ement de la cas-cade intranucl´eaire, ce qui se justifie dans l’hypoth`ese de Bohr [10] d’ind´ependance (´echelles de temps – tr`es – diﬀ´erentes) entre la formation du noyau compos´e (notre pr´e-fragment) et sa d´esexcitation.

L’´evaporation s´equentielle de particules l´eg`eres

Le fait d’assimiler, en premi`ere approximation, le noyau a` une goutte liquide est la raison pour laquelle la notion d’´evaporation, donc de changement d’´etat, est utilis´ee. En eﬀet, on peut voir le noyau excit´ comme une goutte liquide chauﬀ´ee plus ou moins fortement, qui va s’´evaporer en un gaz de nucl´eons.

Le calcul des probabilit´es d’´emission de chacun des types de particules (p, n, α) en fonction de l’´energie cin´etique emmen´ee repose sur deux hypoth`eses de base :

– le syst`eme a une dur´ee de vie suﬃsamment grande et est suﬃsamment excit´ pour pouvoir utiliser une approche statistique `a l’´equilibre (´equiprobabilit´e des ´etats microscopiques accessibles),

– le m´ecanisme d’´evaporation est r´eversible (non-dissipatif) : le taux d’´emission est ´egal au taux d’absorption, c’est le principe de la balance d´etaill´ee ρ1 δP12 = δρ2 P21 avec ρ1 la densit´ d’´etats du syst`eme initial, ρ2 celle du syst`eme final, P12 la probabilit´e d’´emission d’une particule par le syst`eme initial et P21 celle de capture de cette particule par le syst`eme final.

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Table des matières

Introduction
1 La Physique de la spallation
1.1 La r´eaction de spallation
1.2 La cascade intra-nucl´eaire
1.2.1 Le mod`ele du noyau dans la cascade
1.2.2 Hypoth`eses de la cascade
1.2.3 Les codes de cascade et leur formalisme
1.2.3.1 Le code ISABEL
1.2.3.2 Le code INCL
1.3 La d´esexcitation
1.3.1 L’´evaporation s´equentielle de particules l´eg`eres
1.3.1.1 Densit´e d’´etats
1.3.1.2 Section efficace de capture
1.3.2 La fission des noyaux lourds
1.3.3 L’´emission de fragments de masse interm´ediaire
1.3.3.1 L’´evaporation g´en´eralis´ee aux IMF
1.3.3.2 La fission asym´etrique
1.3.4 La multifragmentation
1.3.5 Quelques mod`eles de d´esexcitation
1.3.5.1 SMM
1.3.5.2 ABLA07
1.3.5.3 GEMINI++
1.4 Motivations de l’exp´erience S304
1.4.1 Donn´ees FRS
1.4.2 Donn´ees SPALADIN
2 Le dispositif SPALADIN
2.1 La cin´ematique inverse
2.2 Le dispositif exp´erimental
2.2.1 GSI : acc´el´erateur et faisceau
2.2.2 Les cibles
2.2.2.1 La cible d’hydrog`ene liquide
2.2.2.2 La cible de carbone
2.2.3 D´etecteurs en amont de la cible
2.2.3.1 PSP (Position Sensitive silicon Pin diode)
2.2.3.2 POS & ROLU
2.2.4 L’aimant ALADiN
2.2.5 Les chambres d’ionisation
2.2.5.1 Forward MUSIC
2.2.5.2 Twin MUSIC
2.2.6 Le mur de temps de vol
2.2.7 Le d´etecteur de neutrons LAND
2.3 Simulation Geant4 du dispositif
2.3.1 Descriptif de la simulation
2.3.2 Efficacit´e g´eom´etrique
2.3.3 Analyse des r´esultats de la simulation
3 Analyse des donn´ees
3.1 Acquisition des donn´ees
3.1.1 Temps mort et taux d’interaction
3.1.1.1 Temps mort
3.1.1.2 Taux d’interaction
3.1.2 Crit`eres de d´eclenchement et types d’´ev´enements enregistr´es
3.1.2.1 Crit`eres de d´eclenchement
3.1.2.2 Types d’´ev´enements enregistr´es
3.2 Les chambres d’ionisation
3.2.1 « Forward » MUSIC
3.2.2 « Twin » MUSIC
3.2.2.1 D´ependance gauche-droite du signal d’ionisation
3.2.2.2 D´ependance en position verticale du signal d’ionisation
3.2.2.3 Positions transverses horizontales
3.2.2.4 Positions transverses verticales
3.2.3 « Forward » vs. « Twin »
3.3 Le mur de temps de vol (ToF)
3.3.1 Soustraction des pi´edestaux et r´eunion des spectres
3.3.2 Donn´ees du « sweep » (balayage)
3.3.3 Correction de la topologie du ToF
3.3.4 ´Etalonnage des signaux TDC
3.3.5 ´Etalonnage des signaux ADC
3.3.6 Efficacit´e de d´etection
3.3.7 Identification des charges du ToF
3.4 Le d´etecteur de neutrons LAND
3.4.1 ´Etalonnage initial et extraction des donn´ees brutes
3.4.1.1 Principe
3.4.1.2 Fichiers de calibrage
3.4.1.3 « Nettoyage » apr`es extraction
3.4.2 Programme d’analyse : reconstruction des neutrons
3.4.2.1 Programme originel
3.4.2.2 Modifications
3.4.2.3 D´etails de l’analyse
3.4.3 ´Etalonnage de l’analyse
3.4.3.1 Objectif et principe
3.4.3.2 La routine de m´elange des neutrons / hits
3.4.3.3 Les diff´erents jeux de neutrons individuels
3.4.4 Corr´elations
3.4.5 Efficacit´e de LAND
3.4.6 De NNumMax `a h Mult(n) i
3.5 Conditions de s´election des ´ev´enements de co¨ıncidence
3.6 Proc´edure de normalisation et de soustraction de la contribution de la cible vide
4 R´esultats
4.1 Introduction
4.2 Syst`eme 136Xe + p `a 1 GeV par nucl´eon
4.2.1 Observables inclusives
4.2.1.1 R´esidu du projectile
4.2.1.2 Particules l´eg`eres charg´ees
4.2.1.3 Multiplicit´e des neutrons et des particules charg´ees
4.2.1.4 Distribution des fragments dans le mur de temps de vol
4.2.1.5 Distribution des neutrons dans LAND
4.2.2 Observables en co¨ıncidence
4.2.2.1 Multiplicit´e totale
4.2.2.2 Charge reconstruite
4.2.2.3 Les deux plus gros fragments de l’´ev´enement : ZMAX/z2
4.2.2.4 Classification des ´etats finaux de la r´eaction
4.2.3 ´Evolution des observables avec E∗/A
4.2.3.1 Estimateur et estimation de l’´energie d’excitation
4.2.3.2 ´Evolution de la distribution des fragments dans le ToF
4.2.3.3 Multiplicit´e des fragments l´egers charg´es et des neutrons
4.2.3.4 ´Evolution de σ(ZMAX − z2) et σ(ZBOUND)
4.2.3.5 Production des fragments l´egers charg´es
4.2.3.6 ´Evolution des ´etats finaux `a 1, 2 ou 3 fragments
4.3 Syst`eme 136Xe +12 C `a 1 GeV par nucl´eon
4.3.1 Observables inclusives
4.3.1.1 R´esidu du projectile
4.3.1.2 Particules l´eg`eres charg´ees
4.3.1.3 Multiplicit´e des neutrons et des particules charg´ees
4.3.1.4 Distribution des fragments dans le mur de temps de vol
4.3.2 Observables en co¨ıncidence
4.3.2.1 Multiplicit´e totale
4.3.2.2 Charge reconstruite
4.3.2.3 Les deux plus gros fragments de l’´ev´enement : ZMAX/z2
4.3.2.4 Classification des ´etats finaux de la r´eaction
4.3.3 ´Evolution des observables avec E∗/A
4.3.3.1 Estimateur et estimation de l’´energie d’excitation
4.3.3.2 ´Evolution de la distribution des fragments dans le ToF
4.3.3.3 ´Evolution de la multiplicit´e totale MTOT
4.3.3.4 Production des fragments
4.4 Production de fragments de masse interm´ediaire (IMF)
4.4.1 D´efinition et s´election des ´ev´enements
4.4.2 136Xe + p
4.4.3 136Xe +12 C
Conclusions
A Covariance des signaux left (G) et right (D) d’une anode de la Twin MUSIC
B Petit(s) calcul(s) d’erreur pour la corr´elation entre deux obser- vables χ1 et χ2 199
Bibliographie