Incertitude sur l’estimation de la fonction de corr´elation des galaxies

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Mod`ele du Big Bang chaud

La d´ecouverte de l’expansion de l’univers fut le premier argument en faveur du mod`ele de Big Bang chaud. Selon ce mod`ele, l’univers initial ´etait constitu´e d’un plasma extrˆemement chaud et dense, compos´e de photons, fermions et quarks. L’univers s’est ensuite dilat´e ; sa densit´ et sa temp´erature ont diminu´e ce qui permit la nucl´eosynth`ese primordiale, i.e. la formation des premiers noyaux l´egers (hydrog`ene, h´elium, deut´erium, lithium).

Environ 380,000 ans apr`es le Big Bang la temp´erature est devenue suﬃsamment basse (≈ 3, 000K) pour que les premiers atomes se forment dans un processus que l’on nomme recombinaison (bien que les atomes ne se soient pas combin´es auparavant). A cette ´epoque, les baryons se d´ecouplent des pho-tons et la lumi`ere commence `a se propager librement. Cette radiation, qui va simplement se refroidir au cours de l’´evolution, est connue sous le nom de fond diﬀus cosmologique (CMB pour Cosmic Micro-wave Background). A partir de cette ´epoque, les photons et la mati`ere ´evoluent ind´ependamment. Les baryons et la mati`ere noire froide ´evoluent de fa¸con jointe sous l’action de la gravitation, et forment les structures que l’on observe actuellement, les galaxies et les ´etoiles.

Le mod`ele du Big Bang chaud s’appuie principalement sur 3 principales observations :

– la loi de Hubble pour la vitesse de r´ecession apparente des galaxies donn´ee par l’´equation (1.22). Cette loi indique que l’univers est en expansion, et que la r´ecession des galaxies est caus´ee par l’expansion de l’espace lui-mˆeme. Aujourd’hui de nombreuses observations (notamment avec les supernovae Ia) ont confirm´e et g´en´eralis´ cette loi.

– la d´etection du fond diﬀus cosmologique par Penzias et Wilson en 1965. L’explication naturelle pour la pr´esence de cette radiation est que l’univers est pass´e par une phase beaucoup plus chaude et dense o`u baryons et photons ´etaient coupl´es. Le couplage a dur´e jusqu’`a ce que la temp´erature devienne suﬃsamment basse, qu’il y ait la recombinaison et que cette radiation soit ´emise. Par ailleurs, la temp´erature de la radiation ´egale a` T = 2.73K, son spectre de corps noir quasi-parfait et son isotropie a` un facteur 10−5 sont ´egalement compatibles avec cette in-terpr´etation.

– Les mesures d’abondance des el´ements l´egers dans l’univers sont en excellent accord avec les pr´edictions d’une nucl´eosynth`ese primordiale. Celle-ci pr´evoit par exemple que l’abondance mas-sique de l’h´elium 4 est situ´ee entre 23% et 30%, en parfait accord avec les observations.

Mati`ere noire et ´energie sombre

La mati`ere noire est un type de mati`ere qui n’interagit pas electromagn´etiquement (et qui ne peut donc pas ˆetre vue avec des t´elescopes). Son existence et ses propri´et´es sont en fait d´eduites de ses eﬀets gravitationnels sur la mati`ere visible. On pense que la mati`ere noire constitue 84% de la masse de l’univers. Le premier `a postuler l’existence d’une telle mati`ere fut Jan Oort en 1932 qui ´etudia les orbites des ´etoiles dans la galaxie et conclut que la voie Lact´ee devait contenir plus de mati`ere que ce qui ´etait visible (Oort 1932). Peu apr`es, Zwicky appliqua le th´eor`eme de viriel sur le superamas de Coma et conclut que la masse totale devait ˆetre 400 fois plus importante que la masse de la mati`ere visible (Zwicky 1937).

Depuis, de nombreuses observations ont corrobor´e l’existence de mati`ere noire dans l’univers : les vitesses rotationnelles dans les galaxies, les eﬀets de lentilles gravitationnelles (e.g. par l’amas du Boulet), la distribution de temp´erature du gaz chaud dans les amas de galaxies, l’analyse du CMB, des supernovae de type Ia ainsi que des BAOs (voir section 1.2.2). Il existe 3 types diﬀ´erents de mati`ere noire : la mati`ere noire froide (CDM pour Cold Dark Matter), la mati`ere noire ti`ede (WDM pour Warm Dark Matter) et la mati`ere noire chaude (HDM pour Hot Dark Matter). Les diﬀ´erences viennent de la masse des particules (les particules de mati`ere noire froide ´etant massives) et par cons´equent de leur vitesse.

Le meilleur candidat pour la mati`ere chaude est le neutrino dont la masse n’est pas encore bien contrainte. Concernant la mati`ere noire froide les meilleurs candidats sont les WIMP (pour Weak Interacting Massive Particle), qui sont pr´edits par de nombreuses th´eories supersym´etriques, et les MACHO (pour Massive Astronomical Compact Halo Object).

La vitesse de d´eplacement de ces particules intervient dans l’ordre de formation des grandes struc-tures de l’univers. Un univers domin´e par la mati`ere noire chaude aurait un sc´enario de formation des structures ’du haut vers le bas’ : formation des superamas de galaxies qui ensuite se fragmentent en amas, puis en galaxies, etc. Au contraire, un univers domin´e par la mati`ere noire froide aurait un sc´enario ’du bas vers le haut’ : formation des galaxies (`a partir de nuages de gaz) qui se regroupent ensuite en amas puis en superamas. Aujourd’hui la th´eorie de la mati`ere noire froide est privil´egi´ee car les galaxies sont `a l’´equilibre dynamique, `a la diﬀ´erence de certains amas – ce qui laisse supposer qu’elles se sont form´ees ant´erieurement.

Un constituant cosmologique encore plus myst´erieux est l’´energie sombre. Comme discut´e dans la section 1.1.2, l’id´ee d’une constante cosmologique qui permettrait un univers statique fut envisag´ par Einstein peu apr`es sa formulation de la th´eorie de la relativit´ g´en´erale. Mais l’id´ee fut vite abandonn´ee lorsque Hubble mesura que l’univers ´etait en expansion. L’´energie sombre est une forme d’´energie emplissant tout l’univers et dot´ee d’une pression n´egative et qui se comporte comme une force gravitationnelle r´epulsive. Elle est l’explication la plus simple pour expliquer l’acc´el´eration de l’univers mesur´ee pour la premi`ere fois dans Riess et al. (1998) et confirm´ee dans Perlmutter et al. (1999). Depuis de nombreuses observations ont renforc´ la vision d’un univers en expansion acc´el´er´ comme l’´etude du CMB et des BAOs (voir section 1.2.2).

La nature de l’´energie sombre est encore sp´eculative, et les preuves de son existence ne sont qu’indirectes a` travers la relation redshift-distance. Une des propri´et´es de l’´energie sombre est qu’elle poss`ede une pression n´egative (plus pr´ecis´ement le param`etre w de son ´equation d’´etat P = wρ v´erifie w < −1/3) afin d’expliquer l’acc´el´eration de l’expansion de l’univers (¨a > 0, voir ´equation (1.13)).

La forme la plus simple d’´energie sombre est une constante cosmologique Λ, qui correspond `a l’´energie du vide pr´edite par la plupart des th´eorie de physique des particules. On peut voir simplement avoir des arguments de thermodynamique classique pourquoi une constante cosmologique poss`ede une pression n´egative. Un changement de volume dV requiert un travail (un changement d’´energie) −PΛdV , o`u PΛ est la pression. Mais la quantit´e d’´energie du vide va en fait augmenter lorsque le volume augmente de dV > 0 puisque l’´energie est ´egale `a ρΛV . La pression P doit donc ˆetre n´egative, et plus pr´ecis´ement PΛ = −ρΛ. Un probl`eme majeur est que la th´eorie quantique des champs pr´evoit une valeur infiniment trop grande par rapport `a la valeur d´eduite des observations cosmologiques (plus de 100 ordres de grandeurs trop grande, Carroll (2001)).

Une autre possibilit´e d’´energie sombre est donn´ee par la quintessence. La quintessence est un champ scalaire qui a une ´equation d’´etat PQ = wQρQ, avec wQ ´evoluant lentement au cours du temps (elle peut connaˆıtre des variations plus rapides d’une valeur palier a` une autre). La quintessence est une quantit´e dynamique, dont la densit´ et l’´equation d’´etat varient au cours du temps, et qui peut pr´esenter des fluctuations dans l’espace. Aucune preuve de cette th´eorie n’a et´ trouv´ee pour l’instant, mais elle n’a pas non plus et´ elimin´ee.

D’autres explications ont et´ avanc´ees pour expliquer l’acc´el´eration de l’expansion de l’univers (et donc pr´eciser la nature de l’´energie sombre), notamment `a travers la th´eorie des cordes ou la cosmologie branaire. Par exemple la th´eorie des cordes rend possible le fait que notre univers observable ne soit qu’un parmi 10500 univers `a l’int´erieur d’un grand multivers (Hogan 2007). L’´energie du vide aurait des valeurs diﬀ´erentes dans les diﬀ´erents univers et cette ´energie devrait ˆetre tr`es grande dans la plupart des univers. Mais elle doit ˆetre faible dans le nˆotre pour la simple raison que c’est une condition pour l’existence d’observateurs tels que nous (c’est le principe anthropique faible). Cependant cette explication de l’´energie noire en tant que combinaison d’al´eatoire du principe anthropique peut sembler d´ecevante (Hogan 2007).

Une autre explication de l’acc´el´eration de l’expansion, qui est aussi marginale, serait que cette acc´el´eration ne soit qu’une illusion cr´e´ee par notre mouvement relatif par rapport au reste de l’univers (Tsagas 2011). Finalement une autre explication est bas´ee sur le ph´enom`ene de backreaction (R¨as¨anen 2011) d´ecrit dans la section 1.1.2. Ce ph´enom`ene est dˆu aux diﬀ´erences dans les quantit´es observ´ees lorsque l’on prend en compte les fluctuations de la m´etrique dans les ´equations d’Einstein au lieu de consid´erer la m´etrique moyenne de Robertson-Walker. On peut montrer que ce ph´enom`ene peut causer une acc´el´eration de l’expansion, sans avoir besoin d’une forme additionnelle d’´energie sombre (R¨as¨anen 2011). Cet eﬀet semble toutefois trop faible par rapport a` l’acc´el´eration observ´.

Mod`ele ΛCDM – Mesure des param`etres cosmologiques

Le mod`ele ΛCDM (pour Λ – Cold Dark Matter) a emerg´e vers la fin des ann´ees 1990 comme le mod`ele de concordance, apr`es une p´eriode o`u diverses observations de l’univers apparaissaient incompatibles, et o`u il n’y avait pas de consensus concernant la densit´ d’´energie dans l’univers. C’est le mod`ele le plus simple qui est en accord avec les diﬀ´erentes observations cosmologiques : CMB, distribution des grandes structures de l’univers (galaxies et amas de galaxies), abondance des el´ements l´egers (hydrog`ene, h´elium, deut´erium, lithium), expansion acc´el´er´ee.

Au sens propre, le mod`ele ΛCDM est un mod`ele contenant une constante cosmologique, de la mati`ere noire froide et de la mati`ere baryonique. Ce mod`ele implique l’existence d’une singularit´e initiale, le Big Bang. Un mod`ele ΛCDM plat est de courbure nulle Ωk = 0 et un mod`ele ΛCDM non plat autorise une courbure Ωk = 0. Il est aussi accept´ qu’il y eut une p´eriode connue comme l’inflation cosmique environ 10−36 secondes apr`es le Big Bang, qui fut une p´eriode d’expansion exponentielle de l’espace d’un facteur 1026 ou plus. Le mod`ele ΛCDM d´epend de 6 param`etres : ΩΛ, Ωm, Ωb, H0, ns et σ8.

Une extension habituelle est de consid´erer des formes plus g´en´erales d’´energie sombre dont la den-sit´e est alors d´enot´ee ΩDE (au lieu de ΩΛ dans le cas d’une constante cosmologique). Le mod`ele wCDM correspond a` une ´energie noire avec w constant dans l’´equation d’´etat (la constante cosmologique cor-respond au cas particulier w = −1). Un autre mod`ele tr`es souvent utilis´e suppose une d´ependance lin´eaire de w(a) en fonction du facteur d’´echelle a (Linder 2003):

w(a) =w0+ wa(1 − a)(1.54)

=w0+ waz(1.55)

1 + z

Cette simple param´etrisation permet en eﬀet de d´eceler un comportement non constant de w, comme c’est le cas par exemple dans les mod`eles de quintessence.

La contrainte des diﬀ´erents param`etres du mod`ele ΛCDM ainsi que des ses extensions, notamment Ωm, ΩDE et wDE , a et´ l’objet principal de la recherche en cosmologie ces derni`eres ann´ees. Ces param`etres peuvent ˆetre contraints a` travers diﬀ´erentes sondes cosmologiques, comme le CMB ou bien des sondes exploitant la relation redshift-distance comme les supernovae Ia en tant que chandelles standards ou les Oscillations Baryoniques Acoustiques (BAOs pour Baryon Acoustic Oscillations) en tant qu’´etalon standard dans la corr´elation des grandes structures.

Les ´etudes les plus r´ecentes combinant ces diﬀ´erentes sondes (Komatsu et al. 2011; Blake et al. 2011b; S´anchez et al. 2012; Amanullah et al. 2010) supportent le mod`ele ΛCDM plat, Ωk ≈ 0, avec une grande partie du contenu sous la forme d’une constante cosmologique ΩΛ ≈ 0.72, et le reste sous forme de mati`ere Ωm ≈ 0.28. Une grande partie de cette mati`ere est de la mati`ere noire et seulement une fraction Ωb ≈ 0.045 est de la mati`ere baryonique. La constante de Hubble `a l’heure actuelle est aussi bien d´etermin´ee H0 ≈ 69 km s−1 Mpc−1, et l’´equation d’´etat de l’´energie sombre est compatible avec une constante cosmologique w = −1.

La figure 1.3, extraite de Kowalski et al. (2008), montre comment ces diﬀ´erentes observations peuvent ˆetre combin´ees pour contraindre les param`etres cosmologiques (ici Ωm et ΩΛ). On voit que les diﬀ´erentes sondes cosmologiques ont des directions de d´eg´en´erescence diﬀ´erentes, si bien qu’on peut les combiner pour exploiter pleinement leur potentiel. Nous donnons ci-dessous un bref aper¸cu du principe de ces diﬀ´erentes observations afin de comprendre les m´ecanismes permettant de contraindre les param`etres cosmologiques.

CMB

Le fond diﬀus cosmologique a et´ d´ecouvert fortuitement en 1964 par les radio-astronomes Penzias et Wilson en utilisant une antenne qui devait servir initialement a` la mesure du rayonnement de la Voie Lact´ee dans le domaine radio. En voulant ´etalonner le bruit de fond, ils d´ecouvrirent un bruit d’origine inconnue correspondant a` une temp´erature de 2.7K et ne pr´esentant pas de variations saisonni`eres, d´esormais connu comme ´etant le CMB.

L’existence du CMB est parfaitement expliqu´ee par le mod`ele du Big Bang chaud. Dans ce mod`ele, l’univers primordial ´etait en ´equilibre thermique, avec une distribution d’´energie suivant une loi de Planck (ou loi de corps noir). Tant que la temp´erature ´etait plus elev´ee que la temp´erature d’ionisation de l’hydrog`ene, les photons ´etaient en interaction avec les baryons, i.e. que l’univers se comportait comme un plasma o`u les photons ne pouvaient pas se propager librement. Lorsque la temp´erature est devenue assez faible pour qu’il y ait d´ecouplage, les photons ont pu se propager librement tout en gardant leur distribution de corps noir. Ce d´ecouplage eut lieu environ 380,000 ans apr`es le Big Bang, a` redshift z ≈ 1100 et a` la temp´erature T ≈ 3, 000K. Du fait de l’expansion de l’univers, leur longueur d’onde s’est allong´ee (du domaine des rayons gamma au domaine micro-ondes), i.e. que leur temp´erature a diminu´e.

Ce d´ecouplage ayant eu lieu partout dans l’univers au mˆeme moment, le CMB observ´ aujourd’hui vient de la surface de derni`ere diﬀusion, qui est la sph`ere dont nous sommes le centre et dont la taille correspond `a la distance parcourue par la lumi`ere de cette ´epoque `a aujourd’hui. Le CMB apparaˆıt comme un corps noir quasi parfait avec une temp´erature T = 2.73K (voir figure 1.4) et seulement de tr`es faibles anisotropies sur le ciel de l’ordre de 10−5 (mesur´ees pour la premi`ere fois avec le satellite COBE dans les ann´ees 1990).

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Table des matières

Introduction
1 Mod`ele cosmologique standard
1.1 Mod`ele de Friedmann-Lemaˆıtre-Roberston-Walker (FLRW)
1.1.1 Le principe cosmologique
1.1.2 M´etrique de Robertson-Walker et ´equations de Friedmann-Lemaˆıtre
1.1.3 Constituants cosmologiques et ´evolution de l’univers
1.1.4 Distances dans un univers FLRW
1.2 Mod`ele du Big Bang chaud
1.2.1 Mati`ere noire et ´energie sombre
1.2.2 Mod`ele CDM – Mesure des param`etres cosmologiques
1.3 La formation des structures
1.3.1 Inflation
1.3.2 Evolution lin´eaire du champ de mati`ere
1.3.3 Fonction de transfert
1.3.4 Evolution non lin´eaire du champ de mati`ere
1.4 Les Oscillations Baryoniques Acoustiques
2 Analyse statistique de la corr´elation des galaxies
2.1 Champs al´eatoires en cosmologie
2.1.1 Champ statistiquement homog`ene et isotrope
2.1.2 Fonction de corr´elation `a 2 points et spectre de puissance
2.1.3 Cas particulier du champ Gaussien
2.2 La corr´elation des galaxies
2.2.1 Le champ de galaxies comme un processus de Cox
2.2.2 Biais des galaxies par rapport `a la mati`ere
2.2.3 Distorsions de redshift
2.2.4 Estimation de la fonction de corr´elation
2.2.5 Mod´elisation de la fonction de corr´elation
2.3 Multifractalit´e de la distribution des galaxies
2.3.1 Ensembles fractals
2.3.2 Ensembles multifractals
2.3.3 Fractalit´e `a petite ´echelle et homog´en´eit´e `a grande ´echelle de la distribution des galaxies
3 Catalogues de galaxies et simulations
3.1 Relev´es de galaxies
3.2 Les catalogues SDSS-II ´etudi´es
3.2.1 Les catalogues Main VL et LRG VL
3.2.2 Le catalogue DR7-Full
3.3 Les catalogues SDSS-III
3.3.1 Le catalogue BOSS DR9 CMASS
3.4 Simulations
3.4.1 Simulations de segments de Cox
3.4.2 Simulations log-normales
3.4.3 Simulations log-normales pour diff´erentes valeurs de α simultan´ement
3.4.4 Simulations N-corps
4 Incertitude sur l’estimation de la fonction de corr´elation des galaxies
4.1 Fractalit´e et estimation de la fonction de corr´elation
4.1.1 Probl`eme conceptuel de la fonction de corr´elation pour une fractale
4.1.2 But du travail dans ce chapitre
4.2 Estimateurs et incertitude sur la densit´e moyenne ¯n
4.2.1 Effet g´en´eral de l’incertitude sur la densit´e moyenne ¯n
4.2.2 Le bias de la contrainte int´egrale
4.3 Simulations utilis´ees
4.4 Effet de la contrainte int´egrale sur des simulations
4.4.1 Effet de la contrainte int´egrale sur des processus de segments de Cox
4.4.2 Pr´ediction de l’effet de la contrainte int´egrale
4.4.3 Effet de la contrainte int´egrale sur des simulations Main VL et LRG VL
4.5 Comparaison des diff´erents estimateurs sur des simulations Main VL et LRG VL
4.6 Conclusion
5 D´etection des Oscillations Baryoniques Acoustiques
5.1 Les diff´erentes m´ethodes de d´etection des BAOs
5.1.1 Principe de la d´etection des BAOs
5.1.2 Historique de la d´etection des BAOs dans les grandes structures
5.1.3 But du travail dans ce chapitre
5.2 M´ethode classique pour la d´etection des BAOs
5.2.1 La statistique du χ2
5.2.2 La m´ethode du χ2 pour la d´etection des BAOs
5.2.3 Limitations de la m´ethode du χ2
5.3 Nouvelle m´ethode pour la d´etection des BAOs
5.4 Mod´elisation de ˆξ et simulations SDSS DR7-Full
5.4.1 Mod`eles de fonctions de corr´elation pour H0 et H1
5.4.2 Simulations log-normales SDSS DR7-Full utilis´ees
5.4.3 Verification de la mod´elisation statistique de ˆξ
5.5 D´etection des BAOs sur des simulations SDSS DR7-Full
5.5.1 D´etection des BAOs avec une matrice de covariance constante C
5.5.2 D´etection des BAOs avec une matrice de covariance Cθ
5.6 Conclusion
6 Effet de Cθ pour contraindre les param`etres cosmologiques
6.1 Utiliser les BAOs pour contraindre les param`etres cosmologiques
6.1.1 Approche bas´ee seulement sur la position du pic BAO
6.1.2 Approche bas´ee sur la forme globale de la fonction de corr´elation
6.1.3 But du travail dans ce chapitre
6.2 Mod´elisation de ˆξ et simulations SDSS DR7-Full
6.2.1 Mod`eles de fonctions de corr´elation
6.2.2 Simulations log-normales SDSS DR7-Full utilis´ees
6.3 D´ependance de Cθ par rapport `a ωm, α et B
6.4 Effet de Cθ pour contraindre les param`etres cosmologiques
6.4.1 Erreur de mod´elisation pour la mesure ˆξ du SDSS DR7-Full
6.4.2 Quantification de l’erreur de mod´elisation sur des simulations du SDSS DR7-Full
6.4.3 Quantification de l’erreur de mod´elisation pour les relev´es futurs
6.5 Conclusion
Conclusion
Annexe
A Esp´erance et covariance d’un champ log-normal
A.1 Esp´erance
A.2 Covariance du champ log-normal
B Tests d’hypoth`eses
B.1 Meilleur fit χ2
B.2 Diff´erence de meilleurs fits χ2 pour des mod`eles imbriqu´es
B.3 Optimalit´e du rapport de vraisemblance
C Combinaison lin´eaire optimale d’estimateurs
D Mes contributions
Bibliographie