Balayage classique par trajectoires et traitement des conditions aux limites

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Méthode des caractéristiques (MOC)

La méthode des caractéristiques est une méthode aux ordonnées discrètes qui se fonde sur le calcul du flux neutronique le long de trajectoires. Dans ce chapitre, nous détaillerons les diﬀérentes étapes de résolution de la méthode des caractéristiques (MOC). Nous insisterons surtout sur la discrétisation spatiale qui la diﬀérencie des méthodes usuelles telles que la méthode des éléments finis.

La méthode des caractéristiques est une méthode utilisée pour résoudre les équations aux dérivées partielles, telle que l’équation de transport. Elle consiste à résoudre les sys-tèmes le long de courbes spécifiques à l’équation considérée, appelées caractéristiques. Le long de ces caractéristiques, l’équation se transforme en une équation diﬀérentielle ordi-naire et ainsi une résolution analytique devient réalisable. Dans le cas de la neutronique, les caractéristiques sont simplement des droites qui symbolisent le déplacement des neu-trons. La première utilisation industrielle de la méthode des caractéristiques appliquée à la neutronique a été faite dans le code CACTUS [27]. Cette méthode est très répandue de nos jours, par exemple avec les codes CASMO4 [28], APOLLO2 [29] (IDT et TDT) ou DRAGON [30].

Nous allons commencer par expliquer la méthode MOC classique qui suppose la source uniforme par région homogène et ensuite nous expliquerons la nouvelle approche envisagée pour le développement de la méthode MOC 3D.

Résolution de l’équation de transport pour le MOC

Discrétisation volumique

L’équation du bilan est résolue sur des domaines homogènes et par conséquent la géométrie du problème considéré doit être discrétisée en régions homogènes. Soit D un domaine géométrique composé de régions homogènes Ri :

Balayage classique par trajectoires et traitement des conditions aux limites

Pour calculer les moments angulaires du flux sur la géométrie, il est essentiel d’avoir un ensemble de trajectoires qui recouvre tout le domaine pour chaque direction dis-crète. La création de cet ensemble sera détaillée dans la partie II. Nous considérons les trajectoires comme étant acquises. Le principe du balayage est de parcourir chaque trajectoire pour chaque direction, en partant des données connues, les conditions aux limites et les termes de source, et de suivre les segments d’une trajectoire dans le sens de Ω. Le flux sortant d’un segment sera utilisé pour le segment suivant comme flux entrant et ainsi de suite jusqu’à atteindre la frontière de la géométrie.

Diﬀérentes stratégies peuvent être envisagées selon les conditions aux limites du do-maine [16]. Le cas le plus simple correspond à la condition d’un flux ψin entrant donné (ψin = 0 pour la condition de vide) qui permet d’initialiser de manière exacte le balayage. La réflexion spéculaire pose une diﬃculté dans la méthode de résolution en raison du couplage des flux angulaires entre les diﬀérentes directions. Pour un domaine « fermé » 1, il y a deux possibilités pour le traiter, soit d’itérer sur les flux entrants, soit de balayer avec des trajectoires cycliques pour éliminer la donnée du flux entrant.

Méthode itérative pour le traitement des conditions aux limites

La première méthode consiste à itérer sur les conditions aux limites. Pour chaque direction, une estimation initiale du flux angulaire à la frontière est donnée pour initialiser le balayage. Ensuite, le balayage est eﬀectué jusqu’à la frontière de la géométrie. Puis, la condition de réflexion est appliquée sur le flux angulaire sortant et ainsi ce flux angulaire sera utilisé pour initialiser le balayage de la trajectoire réfléchie et ainsi de suite jusqu’à convergence de tous les flux angulaires sur la frontière.

Il y a deux approches diﬀérentes sur la manière d’itérer : soit tous les flux angulaires sont calculés avec les flux à la frontière de l’itération précédente (méthode de Jacobi [32]) soit les flux à la frontière sont mis à jour directement durant l’itération (méthode de Gauss-Seidel [32]). La figure 2.2 montre un exemple d’une itération sur le flux angulaire sur la frontière en appliquant la méthode de Jacobi. La première approche peut être facilement parallélisable mais cependant elle est plus lente à converger et nécessite plus de mémoire de stockage (deux tableaux de données). La seconde approche s’oppose à la première quant à ses avantages et inconvénients.

MOC 3D

La méthode MOC classique a été décrite ci-dessus. Cette méthode a été appliquée dans de nombreux codes de transport en 2D. Néanmoins, le passage d’une géométrie en 2D à une géométrie en 3D sans modification de la méthode pose des diﬃcultés d’utilisa-tion sur des ordinateurs de bureau à cause du stockage et du temps de calcul.

Contraintes de stockage

L’augmentation des degrés de liberté lors du passage à la troisième dimension fait augmenter les informations nécessaires pour la résolution de l’équation de transport. Cela concerne principalement le stockage des données sur les trajectoires. Pour une densité de trajectoires égale, le passage à une géométrie en 3D accentue le nombre de trajectoires. Par exemple, pour une cellule en 2D de 1cm2 avec un pas entre trajectoires de 0, 01cm il y a environ 102/cm trajectoires par direction. Dans le cas d’une cellule 3D de 1cm3 avec un pas entre trajectoire de 0, 01cm × 0, 01cm, le nombre de trajectoires est de l’ordre de 104/cm2. De plus, le nombre nécessaire de directions n’est pas le même dans les deux cas. En 2D, seules les trajectoires des directions sur un demi plan sont stockées. Les autres directions sont récupérées par reconstruction sur l’axe z et par parcours inverse de la trajectoire lors du balayage.

Contrairement au 2D, pour une géométrie 3D, la reconstruction lors du balayage est trop couteuse. Par conséquent, il est nécessaire de garder les trajectoires pour une demi sphère. Également, toutes les données dépendantes de la troisième dimension, comme les coordonnées des cordes ou des directions angulaires, rajoutent du stockage. De ce fait, le changement de dimensions engendre un problème de stockage qui devient très vite limitant sans adaptation de la méthode de traçage. Ainsi, pour réduire le stockage en mémoire des trajectoires, nous avons choisi un traçage modulaire. Deux sous-domaines avec les mêmes régions mais avec des compositions de matériaux diﬀérentes peuvent avoir les mêmes segments par trajectoire, comme le montre la figure 2.4 pour le cas d’une géométrie 2D. De ce fait, cette méthode de traçage stocke les données des trajectoires seulement par sous-domaine ayant la même structure géométrique.

FIGURE 2.4 : Exemple de quatre sous-domaines ayant le même traçage 2D. Dans cet exemple, les sous-domaines sont des carrées contenant un cercle. Les trajectoires sont représentées en trait plein.

Cette méthode se fonde sur la redondance des géométries des réacteurs ou des assem-blages. Plus la géométrie peut être subdivisée en domaines possédant la même structure, plus le gain en stockage mémoire sera important. Pour la figure 2.4, le gain est de 4 et il est en pratique de l’ordre du nombre de domaines de la géométrie. Par exemple pour un cœur nucléaire simplifié (figure 2.5), les deux types géométriques de base utilisés pour le traceur modulaire sont une cellule avec un cylindre et une cellule vide. Pour le cas en 3D le gain en mémoire s’élève à 52020 ( 51×51×40 ) et le stockage se réduit à l’ordre du mégaoctet.

Balayage avec un traceur modulaire

Le traceur modulaire permet de réduire de manière drastique la quantité de mémoire vive utilisée par le code neutronique mais il change la méthode de balayage d’un point de vue algorithmique. La méthode classique consiste à suivre une trajectoire jusqu’à ren-contrer une frontière du domaine géométrique. Avec le traceur modulaire, le balayage peut se dérouler de deux manières diﬀérentes : soit le balayage est réalisé comme dans la méthode classique, soit il est eﬀectué par sous-domaine. La première approche impose la continuité des trajectoires d’un sous-domaine à l’autre. Cette continuité est complexe à réaliser pour un traceur modulaire et elle impose des contraintes sur la discrétisation spatiale. Pour la deuxième approche, toutes les trajectoires associées à un sous-domaine sont récupérées et balayées. Dès que toutes les valeurs des flux sortant de chaque tra-jectoire sont calculées pour un sous-domaine, elles sont transmises aux sous-domaines voisins. La transmission des flux sortants d’un sous-domaine à l’autre engendre une opé-ration couteuse supplémentaire. Cela rend la deuxième approche plus lente que pour le balayage par trajectoires globales. La deuxième approche a été choisie car elle permet une plus grande flexibilité sur le choix des méthodes de traçage.

La méthode MOC aux ordres supérieurs

La méthode MOC classique en 2D est très utilisée dans le domaine des réacteurs nucléaires, cependant le passage à une géométrie en 3D requiert des modifications pour réduire les temps de calcul. Dans la méthode classique, le flux est calculé avec l’ap-proximation du flux plat sur des segments homogènes, plus le nombre de segments est important plus le temps de calcul sera élevé. Comme le nombre de trajectoires augmente significativement lors du passage à une géométrie en 3D, il devient nécessaire de trou-ver une méthode qui diminue le nombre de segments sans perdre de précision. De plus, l’augmentation de la taille des régions et la diminution du nombre de segments réduisent la quantité de données à stocker.

Une méthode simple pour réduire le nombre de segments homogènes est d’augmen-ter la taille des régions. Malheureusement l’approximation constante par morceaux se dégrade de plus en plus lorsque la taille des région augmente, d’où l’intérêt de passer à des ordres polynomiaux supérieurs à un pour pallier cette dernière diﬃculté. Cependant, la taille des régions a une limite supérieure qui est due à l’approximation des régions homogènes. Par exemple, la taille du cylindre du combustible ne peut pas être inférieure à la taille de la région. De même, la taille des couronnes dans le cylindre pour prendre en compte le phénomène d’autoprotection ne peuvent pas être agrandie. Néanmoins, le but de cette approche est d’espérer obtenir un gain pour le ratio précision par rapport au temps de calcul.

Développement polynomial de la source

Pour une région homogène, la source est développée sur les polynômes P : q(r) ≈ P (r) q·. (2.21)

Les polynômes envisagés sont :

— constant (1),

— linéaire (1, x, y, z),

— quadratique (1, x, y, z, xy, xz, yz, x2, y2, z2).

Nous avons choisi de s’arrêter à l’ordre quadratique car les ordres supérieurs demande-raient beaucoup de données à stocker sans réel intérêt sur la résolution de l’équation de transport [33]. La figure 2.6 montre un exemple de représentation quadratique du flux dans une cellule hétérogène pour un calcul d’un réseau infini.

FIGURE 2.6 : Représentation quadratique des moments du flux scalaire dans le cas d’un réseau infini d’une cellule hétérogène contenant deux cylindres concentriques.

Pour récupérer les composantes volumiques du flux ψ de la solution de l’équation de transport ψ, nous devons résoudre le système :

P , P ψ= P,ψ , (2.22)

où

(f, g) = dV f (r)g(r), (2.23) avec V est le volume de la région.

Pour des raisons de simplicité, la dépendance à une région homogène est omise. La résolution du système précédent nécessite l’inversion de la matrice P , P . En eﬀet, cette représentation n’est pas orthonormée par rapport au produit scalaire (2.23). Forcer l’orthonormalisation de ces polynômes dans chaque type de région augmenterait la com-plexité de la projection sur les trajectoires sans gain significatif. De ce fait, nous avons préféré garder la même représentation quelle que soit la région dans une maille.

Il est primordial d’inverser cette matrice pour récupérer les composantes du flux dans la base des polynômes P . Le calcul et l’inversion de ces matrices sont réalisés une fois pour toutes et les matrices inverses sont stockées en mémoire par région possédant la même géométrie car celles-ci dépendent seulement des caractéristiques géométriques de la région. Ainsi, le stockage mémoire est minimisé. De plus, la taille de ces matrices n’excède pas 100 éléments par région, ce maximum est atteint pour une représentation quadratique. Par exemple, pour le cas représenté sur la figure 2.4, deux matrices P , P sont stockées.

Ces matrices peuvent être soit calculées de manière analytique soit numériquement. Le cas analytique, qui a première vue serait la meilleure solution, donne en fait des instabilités car il n’y a aucune cohérence avec l’intégration numérique des moments du flux. De plus, le calcul est complexe car il doit être réalisé pour n’importe quelle géométrie. En raison de ces inconvénients, le calcul analytique n’a pas été retenu.

En ce qui concerne le calcul numérique, il y a deux possibilités :

— Calcul numérique par direction de la quadrature SN :

P , Pi,j,Ωn=wtdsPi(s)Pj (s).(2.24)

tR0

tΩn

— Calcul numérique moyenné sur les directions angulaires :

P,P=wnwtdsPi(s)Pj (s).(2.25)

i,jntR0

tΩn

La première option est obtenue de la définition des moments angulaires du flux (équa-tion (2.3)) en appliquant la représentation polynomial du flux. Ainsi, pour rester cohérent avec la discrétisation spatiale, les calculs volumiques numériques se font grâce aux trajec-toires. Par conséquent, une dépendance à la discrétisation angulaire est introduite et les résultats deviennent indépendant de la direction angulaire seulement lorsque le nombre de trajectoires tend vers l’infini. Alors, la première option engendre des erreurs d’inté-grations qui varient selon la direction si le nombre de trajectoires est faible. De plus, elle nécessite plus de données à stocker dont la quantité dépend de la quadrature angulaire SN choisie.

Pour enlever touts ces inconvénients, les matrices dépendantes de la direction ont été moyennées sur celle-ci. Cette moyenne permet de diminuer les erreurs d’intégration ainsi que le stockage mémoire qui n’est plus proportionnel au nombre d’angles mais seulement au nombre de régions dans la maille. Qui plus est, cela permet de factoriser la matrice en dehors des itérations sur les angles pour le calcul des moments angulaires du flux (voir équation (2.26) et donc d’avoir un gain en temps de calcul par rapport à la première option. C’est donc la deuxième option qui a été retenue.

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Table des matières

Introduction
I Méthodes Numériques appliquées à la Neutronique
1 Méthodologie de la résolution de l’équation de transport
1.1 Équation du transport neutronique
1.2 Discrétisation en énergie
1.3 Traitement de l’anisotropie de la section de diffusion
1.4 Discrétisation en angle
1.5 Problème à source
1.6 Problème à valeur propre
1.7 Méthodologie de résolution du problème à valeur propre
2 Méthode des caractéristiques (MOC) 29
2.1 Résolution de l’équation de transport pour le MOC
2.1.1 Discrétisation volumique
2.1.2 Calcul du flux moyen
2.1.3 Balayage classique par trajectoires et traitement des conditions aux limites
2.2 MOC 3D
2.2.1 Contraintes de stockage
2.2.2 Balayage avec un traceur modulaire
2.3 La méthode MOC aux ordres supérieurs
2.3.1 Développement polynomial de la source
2.3.2 Développement linéaire du flux angulaire par trajectoire
2.3.3 Analyse du comportement pour des parcours optiques fins
2.3.4 Calcul du flux sortant
2.3.5 Optimisation des calculs des itérations internes
2.4 Calculs numériques
2.4.1 Description du Benchmark de Takeda
2.4.2 Résultats pour le benchmark Takeda
2.4.3 Benchmark 3DCell
2.4.4 Résultats pour le benchmark 3DCell
2.4.5 Benchmark C5G7
2.4.6 Résultats pour le benchmark C5G7
II Traceur 3D : Traçages Non-Uniforme et Uniforme
3 Méthode de traçage 3D obtenue par le produit de deux traçages 2D
3.1 Méthode de traçage 2D
3.2 Méthode de traçage 3D
4 Méthode de traçage non-uniforme
4.1 Méthode de traçage prenant en compte les discontinuités de la géométrie
4.2 Méthodes du traitement du flux surfacique
4.3 Méthodes fondées sur les fonctions radiales
4.3.1 Méthode d’interpolation
4.3.2 Pondération par l’inverse de la distance
4.4 Méthode de redistribution de poids
4.4.1 Cas des surfaces verticales
4.4.2 Cas des surfaces horizontales
4.5 Amélioration de la méthode d’intégration pour les cylindres
4.6 Calcul de convergence
5 Méthode de traçage cyclique uniforme
5.1 Contraintes de la méthode de traçage cyclique uniforme
5.2 Formalisme de la méthode de traçage cyclique uniforme
5.3 La méthode Stern-Brocot
5.4 La méthode des fractions continues
5.5 Méthode Inverse
5.6 D’un traçage 2D périodique à un traçage 3D périodique
5.7 Comparaison traceur non-uniforme et traceur cyclique uniforme
III Méthode d’Accélération de l’équation de transport
6 Accélération des itérations internes
6.1 Comportement de la méthode Source Itération (SI)
6.2 Accélération synthétique par l’équation de la Diffusion
6.3 Coarse Mesh Rebalance (CMR)
6.4 Coarse Mesh Finite Difference (CMFD)
7 Accélération des itérations externes pour un calcul à valeur propre
7.1 La méthode NDA
7.2 La méthode JFNK
7.2.1 Résolution du système non linéaire
7.2.2 La méthode GMRES
7.2.3 Méthode de calcul de la matrice jacobienne
7.2.4 Algorithme JFNK appliqué à l’accélération des itérations externes
8 Résultats : Comparaison des différentes accélération
8.1 Comparaison selon l’ordre de représentation de la source
8.1.1 Benchmark à 172 groupes
8.2 Comparaison selon la quadrature angulaire
8.3 Comparaison selon la discrétisation spatiale
8.4 Comparaison selon la variable c et des sections efficaces
8.5 Résultats pour la méthode JFNK
8.5.1 Résultats sur l’accélération des itérations externes par la méthode JFNK
8.5.2 Résultats sur le remplacement de la méthode PI par la méthode JFNK
Conclusions et Perspectives
Bibliographie