Récepteur SIMO-MLSE sous hypothèse bruit gaussien stationnaire potentiellement noncirculaire

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Performances en terme de SINR

Objectifs

Les performances des recepteurs MLSE en terme de probabilite d’erreur par symbole n’ont et analysees a notre connaissance que dans le cas de modulations d’amplitude bande de base dans le contexte mono voie sous bruit additif gaussien blanc dans [70, Sec.10.1.4]. Dans ce cas particulier, une approximation de la probabilite d’erreur par symbole a et donnee sous la forme ou le terme SNR represente le rapport de la puissance du symbole courant sur la puissance du bruit en sortie du ltre adapte et ou c1 et c2 qui represente une perte de SNR due a l’interference intersymbole (c2 = 1 pour Li = 1), ne dependent que du nombre d’etats de la modulation et de la memoire Li du canal global.

Nous conjecturons ici que les performances en terme de probabilite d’erreur par symbole des recepteurs MLSE que nous avons introduits sont toujours guidees par le SINR du symbole courant en sortie de ltre adapte aux instants kT .

Nous allons donc donner des expressions analytiques des di erents rapports de la puissance du symbole courant sur la puissance du bruit total avant decision (note SINR car le bruit total contient les interferences co canal et le bruit de fond) des di erents recepteurs MLSE que nous avons developpes au paragraphe 1.2. Bien que les recepteurs soient calcules sous l’hypothese de bruit gaussien stationnaire circulaire ou non circulaire, les SINRs de ces di erents recepteurs seront d’abord calcules en presence de bruit potentiellement non circulaire stationnaire, puis pour traiter le cas d’interferences co-canal de m^eme nature que le SOI, nous considererons le cas de bruit potentiellement nonciculaire cyclostationnaire de m^eme periode que celle du SOI.

Recepteurs MLSE sous hypothese non circulaire

Dans le cas des recepteurs MLSE que nous avons calcules sous hypothese de bruit total stationnaire potentiellement non circulaire, le SINR en sortie du ltre WL adapte aux instants kT s’obtient directement a partir des ltres WL w1H (f) (1.2.12), w̃H (f) (1.2.17) et w̃(Hk)(f) (1.2.21). On obtient ainsi pour des modulations QAM, ASK et lineaires quasi-rectilignes, les expressions suivantes des SINRs

Comme les ltres adaptes des Sr−∞ecepteurs MLSE obtenus sous l’hypothese de bruit total circulaire sont sous optimaux (vis a vis du SINR) sous l’hypothese de bruit total non circulaire, nous avons par le principe d’inclusion

Des illustrations numeriques seront presentees au paragraphe 1.5 pour illustrer le gain en SINR apporte par les recepteurs MLSE construits sous hypothese non circulaire par rapport aux recepteurs MLSE classiques construits sous hypothese circulaire, utilises en environnement non circulaire.

Cas de bruit total cyclostationnaire

Nous considerons ici le cas ou le bruit total potentiellement non circulaire est constitue d’une somme d’interferences co-canal sous forme de modulations lineaires QAM, ASK ou de modulations lineaires quasi-rectilignes (de periode symbole T ′ et d’impulsion non necessairement egales a celles du SOI) et d’un bruit de fond. Si n(t) est un tel signal, nous rappelons les relations (voir les paragraphes (A.1.9) et (A.1.10)) :

Comme les ltres adaptes lineaires et WL des recepteurs MLSE que nous avons introduits ont et calcules sous hypothese de stationnarite du bruit total, nous remplacerons les matrices de densit spectrale Rn(f) et de densit spectrale complementaire Cn(f ) de ces ltres par la densit spectrale cyclique et la densit spectrale cyclique complementaire de puissance a la frequence cyclique 0, notees R(n0) (f) et C(n0)(f), transformees de Fourier des moyennes temporelles des correlations et correlations complementaires.

Recepteurs MLSE sous hypothese circulaire

Dans le cas de symboles complexes, la puissance du bruit total en sortie du ltre lineaire adapte wH (f) = gH (f)(R(n0))−1(f) a l’instant kT est donne par application de (1.4.8) et (1.4.9) par Appliquant (1.4.8) et (1.4.9) ou le bruit total d’entree est le bruit etendu ñ(t) de frequences cycliques , les puissances du bruit total aux instants kT , en sortie de ltres adaptes (1.2.9), (1.2.16) et (1.2.20) pour les cas de symboles complexes, reels ou de modulations lineaires quasi- rectilignes sont toutes cyclostationnaires du second ordre, exception faite des modulations QAM ou ASK avec impulsion de mise en forme de type « racine carree » de Nyquist de roll o egal a 0 qui sont stationnaires du second ordre. Pour des modulations lineaires d’impulsion de mise en forme quelconque et de periode symbole quelconque T ′, les frequences cycliques sont en general k~T ′ pour k ∈ Z pour les modulations QAM ou ASK, alors que pour les modulations lineaires quasi-rectilignes, elles sont k~T ′ et (2k + 1)~2T ′ pour k ∈ Z respectivement pour les densites spectrales cyclique et cyclique complementaire (voir les annexes A.1.2 et A.1.3).

Dans le cas particulier de ltres de mise en forme de type impulsion « racine carree » de Nyquist, le nombre de frequences cycliques contenues dans le bruit total est ni et depend du roll o ro de cette impulsion. Ainsi les interferences QAM ou ASK ne contiennent que les frequences cycliques − T1 , 0 et T1 pour ro ≠ 0. Quant aux interferences sous forme de modulations lineaires quasi-rectilignes, elle contiennent les frequences cycliques −21T , 0, 21T pour ro = 0, −T1 , −21T , 0, 21T et T1 pour ro ∈]0; 1~2[ et −23T , −T1 , −21T , 0, 21T , T1 et 23T pour ro ∈ [1~2; 1]. Dans le cas particulier des modulations MSK et GMSK, les frequences cycliques sont aussi essentiellement −23T , −T1 , −21T , 0, 21T , T1 et 23T . Notons en n que pour des interferences QAM ou ASK de m^eme periode symbole que le SOI, ei2 kT = ei2 kT = ei2 kT = 1 dans toutes les expressions des SINRs dans les paragraphes 1.4.3.1 et 1.4.3.2.

Cas particuliers et illustrations

Hypotheses

Le but de cette partie est d’analyser plus nement les performances en SINR des di erents recepteurs et de montrer quelques proprietes des structures developpees, via l’obtention de formules interpretables pour des canaux invariants et speculaires en temps pour le SOI et les interferences et pour des sources mises en forme par des ltres de type « racine carree » de Nyquist en cosinuso des surelevees.

Plus precisement v(t) sera reelle, d’energie unite et de roll-o ro. Pour des canaux speculaires, les reponses frequentielles des canaux SOI et interferences (respectivement d’amplitudes et de retards ( sm ; sm )m=1;::;Ms et ( jm ; jm )m=1;::;Mj ) seront respectivement :

( Ms sm e−i2 f sm hsm ( Mj jm e−i2 f jm hjm ;

f) = Qet hjf) = Q

hsm1m1

dont les premieres composantes des vecteurs directionnels de chaque trajet hs;m et hj;m sont egales a l’unite. Nous considererons dans la suite trois scenarios.

Cas d’une absence d’interference

En absence d’interferences ou le bruit de fond circulaire est temporellement et spatialement blanc Rn(f) = N0IN et R̃n (f) = N0I2N pour f ∈ [−21T (1 + ro ); +21T (1 + ro)]. Par suite les formules de SINR circulaires et non circulaires (1.4.1) (1.4.4), (1.4.2) (1.4.5), (1.4.3) (1.4.6) qui sont ici des SNRs, co ncident.

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Table des matières

Introduction générale
1 Récepteur SIMO-MLSE sous hypothèse bruit gaussien stationnaire potentiellement noncirculaire
1.1 Introduction
1.2 Recepteur SIMO MLSE
1.2.1 Probleme general de detection
1.2.2 Derivation de la structure du recepteur SIMO MLSE
1.2.3 Cas particulier de symboles reels
1.2.4 Cas particulier d’une modulation lineaire quasi-rectiligne
1.3 Interpretation des ltres WL
1.4 Performances en terme de SINR
1.4.1 Objectifs
1.4.2 Cas de bruit total stationnaire
1.4.3 Cas de bruit total cyclostationnaire
1.5 Cas particuliers et illustrations
1.5.1 Hypotheses
1.5.2 Cas d’une absence d’interference
1.5.3 Cas de la presence d’une interference rectiligne mono-trajet
1.5.4 Cas de la presence d’une interference rectiligne bi-trajets
1.6 Performance en probabilite d’erreur symbole
1.7 Conclusion
2 Beamforming MVDR de Volterra pour interferences non-gaussiennes et potentiellement non-circulaires
2.1 Introduction
2.2 Position du probleme
2.2.1 Hypotheses
2.2.2 Statistiques du signal
2.2.3 Formulation du probleme
2.3 Beamforming MVDR de Volterra du troisieme ordre
2.3.1 Beamformer de Volterra du troisieme ordre
2.3.2 Beamformer MVDR de Volterra du troisieme ordre
2.3.3 Structure GSC equivalente du Beamformer MVDR de Volterra du troisieme ordre
2.3.4 SINR en sortie du beamformer
2.4 Analyse des performances en presence d’une seule interference
2.4.1 Composition du bruit total d’observation
2.4.2 Performances des structures partielles L-C(q) du beamformer MVDR de Volterra
2.4.3 Performances des beamformers WL-C(q) et L-C(q1; q2)
2.4.4 Illustrations et simulations par ordinateur
2.5 Implementation adaptative
2.6 Beamformer MVDR complexe de Volterra a complexite lineaire
2.6.1 Nouvelles contraintes
2.6.2 Nouveau beamformer MVDR de Volterra
2.6.3 Interpretation GSC
2.6.4 Calcul de SINR
2.6.5 Comparaisons avec le beamformeur de Volterra a complexite cubique
2.6.6 Sous optimalite et vitesse de convergence
2.7 Conclusion
3 Beamforming et ltrage de Volterra complexe MMSE
3.1 Introduction
3.2 Hypotheses et formulation du probleme
3.2.1 Hypotheses
3.2.2 Formulation du probleme
3.3 Beamforming de Volterra complexe MMSE
3.3.1 Filtre de Volterra complexe
3.3.2 Cas particulier de symboles ak reels
3.3.3 MMSE
3.3.4 Decomposition orthogonale et SINR
3.3.5 Beamformer et ltrage de Volterra complexe MMSE d’ordre 3
3.4 Analyse des performances du beamformer et du ltrage de Volterra complexe MMSE d’ordre 3
3.4.1 Modele d’interference et statistiques
3.4.2 Vecteur directionnel etendu
3.4.3 Optimalite de structures partielles
3.4.4 Etude du SINR dans le cas du ltrage
3.4.5 Probabilite d’erreur symboles
3.4.6 Illustrations numeriques
3.5 Conclusion
4 Robustesse d’un test de rectilinearite aux osets de frequence
4.1 Introduction
4.2 Position du probleme
4.2.1 Modele du signal
4.3 Derivation du test de rectilinearite au second ordre
4.3.1 Courbes ROC en absence residus de porteuse et sans bruit de phase
4.3.2 Illustrations et simulations Monte Carlo
4.4 Test de rectilinearite base sur les cumulants du quatrieme ordre
4.4.1 Premier test empirique
4.4.2 Deuxieme test empirique
4.4.3 Illustrations et simulations Monte Carlo
4.5 Conclusion
Conclusion generale et perspectives
Annexes
A Annexe du chapitre 1
A.1 Cyclo-stationnarite au second ordre de signaux a temps continu
A.1.1 Denitions
A.1.2 Modulations numeriques lineaires QAM
A.1.3 Modulations numeriques lineaires quasi-rectilignes
A.1.4 Formule des interferences
A.2 Factorisation spectrale
A.2.1 Denitions
A.2.2 Theoreme de Riesz-Fejer, factorisation spectrale
A.2.3 Generalisation du theoreme de Riesz-Fejer au processus complexes non necessairement circulaire au second ordre
A.2.4 Algorithme de factorisation d’une matrice de densite spectrale de puissance
A.3 Principe de simulation a temps discret
A.3.1 Scenario 1 : SOI modulation lineaire rectiligne
A.3.2 Scenario 2 : SOI modulation lineaire quasi-rectiligne
A.3.3 Scenario 3 : SOI modulation lineaire a symboles complexes
A.3.4 Algorithme de Viterbi modie
B Annexe du chapitre 2
B.1 Preuve des relations (2.4.13), (2.4.14), (2.4.15) et (2.4.16)
B.2 Application de l’inegalite de Cauchy-Schwartz
B.3 Calcul des moments temporels de l’enveloppe complexe d’une modulation lineaire
B.3.1 Preuves des relations (2.2.12) a (2.2.18)
B.3.2 Preuves des relations (2.2.19) et (2.2.20)
B.4 Beamforming MVDR complexe de Volterra dans le contexte de SOI a module constant202
B.4.1 Nouvelles contraintes
B.4.2 Nouveau beamformer MVDR Volterra
B.5 Beamformer de Volterra MVDR a reduction du nombre de contraintes par contraintes
sommes
B.5.1 Equivalent GSC
C Annexe du chapitre 3 209
C.1 Calcul symbolique avec Symbolic Math Toolbox de MATLAB
D Annexe du chapitre 4 213
D.1 Theoreme central limite multidimensionnel pour variables aleatoires complexes
D.2 Theoreme de continuite
D.3 Loi de probabilite de Rayleigh improper
Bibliographie