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REPONSE ALEATOIRE DU SYSTEME LINEAIRE
Nous nous intéressons dans cette partie, à l’étude de la réponse du système soumis à des chargements aléatoires dont les propriétés du premier et du second ordre sont connues et les définissent entièrement. Mais nous définissons dans un premier temps, la notion de processus aléatoires auxquels seront assimilés les forces aléatoires, ainsi que les hypothèses de propriétés stationnaires, ergodiques et gaussiennes. L’étude de ces hypothèses, nous amène à définir plusieurs outils mathématiques tels que les fonctions de corrélation, les densités spectrales et les moments spectraux.
Enfin nous démontrons que lorsque les forces aléatoires f(t) sont définies par des processus aléatoires stationnaires dont les propriétés statistiques du premier et du second ordre sont connues, il est possible de déterminer ces mêmes propriétés pour la réponse en contrainte du système.
Caractérisation des forces aléatoires stationnaires gaussiennes
Par définition, une variable dont l’évolution n’est pas connue dans le temps est dite non déterministe ou aléatoire. Par exemple l’enregistrement de la hauteur de la houle en mer peut être assimilé à un historique de la réalisation d’une variable aléatoire. L’ensemble des historiques issus des enregistrements de la hauteur de la houle est alors appelé processus aléatoire.
Si nous considérons un processus de forces aléatoires f(t) composé de n historiques temporels f(t) = {f1(t), f2(t),…, fn(t)}, chaque historique fi(t) des réalisations de la force aléatoire sera alors différent d’un autre historique fj(t) des réalisations de cette même force aléatoire (Figure 1-4). Certaines propriétés statistiques communes aux différents historiques peuvent être déterminées. En effet, il est possible de calculer des valeurs moyennes sur l’ensemble des historiques, de telles quantités sont appelées moyennes d’ensemble.
La valeur moyenne du processus aléatoire f(t) à l’instant t = t1 est obtenue en additionnant les valeurs correspondantes à l’instant t1 de chacun des historiques de l’ensemble et en divisant le résultat par le nombre d’historiques.
Un autre type de moyenne d’ensemble est obtenu en additionnant le produit de deux valeurs de chaque historique prises à deux instants différents t = t1 et t = t1 + τ et en divisant le résultat par le nombre d’historiques. Cette moyenne d’ensemble est appelée fonction d’autocorrélation.
En considérant E[•] l’opérateur moyenne stochastique, la moyenne f , la matrice des fonctions de covariance Σf et la matrice des fonctions de corrélation Rf sont données à l’instant t1 par :
+∞ (t1 ) = E[f (t1 )] = ∫f (t1 ) p(f (t1 )) d f(62.)
−∞ + τ ) = E (f (t)) (f (t+τ))T Σ f (t , t 1 ) − f (t 1 1 + τ ) − f (t (63.)
17 R f (t1 , t1 + τ ) = E[(f (t1 )) (f (t1 + τ ))T ] (64.)
p(f ) représentant la densité de probabilité de f.
Selon le théorème de la limite centrale si une variable aléatoire est la somme d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et qu’aucune d’entre elles ne contribuent significativement à la somme, alors sous certaines conditions, la distribution de la variable est normale ou gaussienne à la limite. Cette propriété est très souvent employée pour les phénomènes physiques résultant de la superposition de contributions aléatoires indépendantes.
Méthodes d’estimation de l’endommagement par fatigue
On entend par fatigue ou endommagement par fatigue la modification des propriétés mécaniques des matériaux consécutive à l’application répétée de cycles d’efforts, ces applications pouvant conduire à la rupture des pièces constituées par ces matériaux. Deux domaines d’étude peuvent alors être distingués, le premier domaine est celui de la fatigue dite « oligocyclique » (Low Cycle Fatigue) qui correspond aux efforts les plus grands, supérieurs à la limite d’élasticité du matériau et où la rupture intervient aux alentours de 104 – 105 cycles. On observe dans ce domaine une rapide déformation plastique suivie d’une rupture.
Dans le cadre de ce travail nous nous intéresserons plus particulièrement au second domaine, celui de la fatigue «polycyclique» (High Cycle Fatigue). On y distingue deux sous domaines, celui de l’endurance limitée où l’on parle du régime fini de durée de vie et celui de l’endurance illimitée où la structure peut supporter un nombre de cycles théoriquement infini sans qu’elle ne casse. Lorsque l’endurance limitée est traitée, c’est la fatigue à grands nombres de cycles qui est visée. La rupture intervient alors entre 105 – 107 cycles, sous une contrainte plus faible que précédemment et sans apparition d’une déformation plastique mesurable, un phénomène d’adaptation est alors observé. Les modèles d’estimation de durée de vie pour ce domaine se basent très souvent sur l’historique des contraintes. Nous considérons dans ce travail, que l’initiation d’une fissure au sein de la structure détermine sa durée de vie puisque statistiquement, l’apparition d’une fissure représente en général plus de 90% de la durée de vie d’une structure. Enfin le domaine de l’endurance illimité est celui de la fatigue à très grands nombres de cycles où la rupture n’intervient pas avant 108 cycles.
Depuis la découverte du phénomène de fatigue, de nombreuses approches ont été envisagées afin de pouvoir quantifier ce phénomène. En tenant compte de l’hypothèse précédente, nous pouvons principalement distinguer trois approches dans la manière d’évaluer la durée de vie d’un matériau. La première est une approche basée sur la déformation. Elle s’appuie sur l’utilisation de courbes e-N (Strain – Number of cycles to failure) reliant, pour un matériau donné, des cycles de déformations imposées d’amplitude constante à des durées de vie exprimées en terme de nombre de cycles. Cette approche est souvent employée lorsqu’on étudie la fatigue à petits nombres de cycles. Nous pouvons également citer les approches basées sur l’énergie de déformation ou la densité d’énergie de déformation. Ces approches ont la particularité de pouvoir évaluer l’endommagement d’une structure soumise simultanément à des chargements de différentes natures (cycle thermique, fluage…). Elle s’adapte tout aussi bien à une étude de fatigue à grands nombres de cycles qu’à petits nombres de cycles ([FRO87, PAP97]). Enfin, les approches basées sur la contrainte sont les plus largement exploitées, notamment pour évaluer les durées de vie de structures élastiques à grands nombres de cycles. Elles s’appuient sur les courbes S-N (Stress – Number of cycles to failure) qui, pour un matériau donné, relient des cycles de contraintes appliquées d’amplitude constante, à des durées de vie exprimées en terme de nombre de cycles. Ces approches restent les plus appropriées pour évaluer les durées de vie de la plupart des structures existantes. D’un point de vue physique, ce sont des approches très cohérentes puisqu’il est admis que les fissures apparaissent généralement aux endroits de la structure où les niveaux de contrainte sont les plus élevés.
Dans un premier temps, nous présentons la démarche la plus couramment utilisée pour prédire les durées de vie dans les cas où les structures sont soumises à des chargements simples aléatoires et générant des états de contrainte uniaxiaux. Nous présenterons ensuite les approches utilisées lorsque les états de contrainte générés sont multiaxiaux. Enfin, une étude des avantages et inconvénients des différentes approches est exposée dans le but de définir quelle approche semble la mieux adaptée à notre objectif de dimensionnement en fatigue, pour les structures soumises à des chargements aléatoires multiaxiaux.
Notre objectif est donc de déterminer dans ce chapitre quels sont les méthodes ou les critères les mieux adaptés au développement d’un outil de pré-dimensionnement en fatigue pour des structures soumises à des chargements aléatoires multiaxiaux.
PREDICTION DE DUREE DE VIE EN FATIGUE UNIAXIALE
Le domaine de la prédiction de durée de vie pour des pièces soumises à des états de contraintes uniaxiaux a fait l’objet de nombreuses études et les différentes méthodes développées dans ce domaine donnent de très bonnes prédictions. Les approches utilisées dans ce domaine sont à l’origine de la plupart des méthodes développées pour les états de contraintes multiaxiaux.
Courbes de Wöhler
Depuis les travaux de Wöhler (1860/1870) effectués sur des axes de wagons soumis à des contraintes de flexion rotative, la façon la plus représentative de rendre compte de l’endurance d’un matériau est de tracer la courbe de Wöhler ou courbe S-N. En effet, pour caractériser des paramètres de fatigue d’un matériau, l’essai le plus simple consiste à soumettre des éprouvettes « lisses ou entaillées » de ce matériau à des cycles d’efforts périodiques, d’amplitude maximale et de fréquence constante et à reporter sur une courbe, le nombre de cycles au bout duquel la rupture se produit en fonction de l’amplitude de l’effort appliqué. La Figure 2-1 représente une courbe de Wöhler idéalisée où les différents domaines d’étude de la fatigue sont distingués.
Il est à noter que la fréquence de la sollicitation ne semble pas avoir une influence sur la tenue en fatigue des éprouvettes métalliques et qu’il existe une certaine dispersion (Figure 2-2) sur les résultats de ces essais. En pratique, la courbe de Wöhler est généralement donnée pour une probabilité d’amorçage p = 0,5.
Diverses expressions analytiques ont été proposées pour représenter les courbes de Wöhler dans les domaines d’endurance limitée ou illimitée. La représentation analytique la plus couramment utilisée a été proposée par Basquin en 1910, cette expression décrit une droite dans des axes logarithmiques. Considérons sa la contrainte alternée appliquée en essai et Nr le nombre de cycles à rupture, la formule de Basquin peut alors s’écrire : lnsa = a − b ln Nr , a > 0, b > 0 (1.)
ou N sβ = C en posant : β = 1 b et ln C = α (2.)
La formule ne décrit pas la totalité de la courbe puisque sa ne tend pas vers la limite d’endurance illimitée sD, définie comme le niveau de contrainte appliquée pour lequel l’éprouvette testée aura une durée de vie supposée infinie. Elle n’est donc représentative que du domaine d’endurance limitée, ce qui toutefois satisfait à notre étude. D’autres relations ont été proposées par la suite et sont décrites dans de nombreux ouvrages dont [LIE82]. Citons à titre d’exemple les formules de Palmgren, de Weibull, de Bastenaire ou encore de Stromeyer.
Les courbes de Wöhler permettent de caractériser la durée de vie des matériaux sous des sollicitations de contrainte à moyennes nulles. Cependant, la nature des sollicitations rencontrées en service est souvent de contrainte à moyennes non nulles. Il s’avère alors nécessaire de prendre en compte cette influence.
Facteurs d’influence
De nombreux paramètres ont une influence directe sur la tenue en fatigue d’un matériau. La modification et la nature même de ces paramètres sont en effet susceptibles d’affecter cette résistance à la fatigue. Parmi ces facteurs d’influence, nous pouvons citer les facteurs :
dépendants des conditions de sollicitations (influence de la forme du signal, surcharges et ordre d’application des charges),
géométriques (effet d’échelle, accidents de forme, qualité de l’usinage),
d’environnement (températures élevées, milieux corrosifs…),
d’ordre métallurgique (orientation du fibrage par rapport à la direction des efforts, taille des grains, défauts métallurgiques, taux d’écrouissage, traitement thermique).
Effet de la contrainte moyenne
Les courbes de Wöhler caractérisent la tenue en fatigue des matériaux sous des sollicitations de contrainte à moyennes nulles. Cependant, il existe dans la littérature un certain nombre de résultats mettant en évidence les effets de la contrainte moyenne sur le comportement en fatigue des matériaux [RIC69, HAN76, WEB99]. En effet, lorsqu’une contrainte de traction sm est superposée au chargement mettant en évidence les effets de la contrainte moyenne sur le comportement en fatigue des matériaux [RIC69, HAN76, WEB99]. En effet, lorsqu’une contrainte de traction sm est superposée au chargement cyclique d’amplitude sa, la durée de vie de l’éprouvette diminue tandis que l’inverse est observé en présence d’une contrainte moyenne de compression. De nouveaux essais sont alors nécessaires afin de caractériser cette influence par l’intermédiaire d’un diagramme de Haigh (Figure 2-3) qui définit pour une durée de vie fixée N, la contrainte alternée admissible sa en fonction de la contrainte moyenne sm.
Les tests requis pour générer un diagramme de Haigh sont très coûteux, c’est pourquoi plusieurs relations empiriques reliant l’amplitude de la contrainte alternée à la moyenne de la contrainte ont été développées. De nombreux essais ont fourni des résultats se situant entre les modélisations proposées par Goodman et par Gerber. Lorsque la contrainte moyenne est petite devant l’amplitude de la contrainte, les deux modélisations sont en accord, en revanche elles ne le sont plus lorsque la contrainte moyenne est proche de l’amplitude. Dans ce cas, il est recommandé d’adopter la modélisation la plus conservative. Ainsi on peut considérer que la parabole de Gerber permet de modéliser l’influence d’une contrainte moyenne de traction : sasm2 +=1 avecsm se Rm ≤ Rm (4.)
tandis que la droite de Goodman semble plus appropriée pour modéliser les effets de la contrainte moyenne de compression : sasm += 1avecsm seRm ≤ Rm (5.)
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Table des matières
REMERCIEMENTS
INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1. STRUCTURES SOUMISES A DES CHARGEMENTS ALEATOIRES
1. Théorie de la mécanique des milieux continus
1.1. Contraintes
1.2. Formulation générale du problème mécanique
2. Réponse déterministe d’un système linéaire
2.1. Méthode des éléments finis
2.2. Réponse du système mécanique
2.3. Solution sur base modale
2.4. Conclusion
3. Réponse aléatoire du système linéaire
3.1. Caractérisation des forces aléatoires stationnaires gaussiennes
3.2. Réponse du système linéaire
a. Moyenne de la réponse du système linéaire
b. DSP du système linéaire
3.3. Conclusion
4. Propriétés des Processus aléatoires stationnaires Gaussiens
4.1. Moments spectraux
4.2. Largeur de bande d’un processus
4.3. Densité de probabilité des maxima
4.4. Distribution et estimation du facteur de pic
5. Conclusion
CHAPITRE 2. METHODES D’ESTIMATION DE L’ENDOMMAGEMENT PAR FATIGUE
1. Prédiction de durée de vie en fatigue uniaxiale
1.1. Courbes de Wöhler
1.2. Facteurs d’influence
1.3. Effet de la contrainte moyenne
1.4. Cumul de l’endommagement et prédiction de durée de vie
1.5. Méthode de comptage Rainflow
1.6. Conclusion
2. Critères de fatigue multiaxiaux
2.1. Formalisme des critères de fatigue multiaxiaux
2.2. Comparaison des différents critères de fatigue multiaxiaux
a. Discussion sur les différentes approches
b. Résultats issus de la thèse de B. Weber
3. Conclusion
CHAPITRE 3. ENDOMMAGEMENT PAR FATIGUE DES STRUCTURES SOUS CHARGEMENTS ALEATOIRES
1. Etat de l’art
2. Prise en compte de la largeur de bande
2.1. Résultats en bande étroite
2.2. Résultats en bande large
3. Prise en compte de la non proportionnalité des chargements dans les critères de fatigue multiaxiaux
3.1. Chargement proportionnel
3.2. Chargements non proportionnels
3.3. Recherche des axes principaux de l’ellipsoïde ξ 5
3.4. Estimation de Ra et Rb
4. Application à l’estimation de l’endommagement
4.1. Formalisme du critère de Sines
4.2. Estimation de la valeur d’endommagement
4.3. Distribution et variance de la valeur indicatrice d’endommagement – Prise en compte des incertitudes
4.4. Application
5. Analyse de sensibilité
5.1. Sensibilité de la réponse en contrainte moyenne
5.2. Sensibilité de la base de réduction
5.3. Sensibilité des rayons Ri
6. Conclusion
CHAPITRE 4. APPLICATION A L’OPTIMISATION DES STRUCTURES
1. Introduction
2. Procédure d’optimisation
2.1. Choix d’un critère de sensibilité
2.2. Procédure d’optimisation par réduction d’épaisseur
2.3. Application à une bielle
2.4. Problème d’optimisation topologique
2.5. Procédure d’optimisation avec volume constant
2.6. Problème d’optimisation fiabiliste
3. Optimisation globale
3.1. Méthode d’optimisation
3.2. Application
4. Conclusion
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE
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