Physique d’un micro-interrupteur actionné de manière électrostatique

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Vecteurs propres

La méthode la plus immédiate pour réduire l’ordre d’un modèle consiste à sélectionner k vecteurs propres de la paire de matrices (C,G). On obtient des valeurs propres qui peuvent être complexes. La partie imaginaire correspond à la fréquence propre associée au vecteur propre. Dans ce cas on peut sélectionner les vecteurs propres dont les fréquences propres sont proches de la fréquence de fonctionnement du système. On obtient une approximation de la fonction de transfert qui est de bonne qualité dans le domaine recouvrant les fréquences propres sélectionnées et mauvaise ailleurs.
Dans le cas d’un système différentiel du deuxième ordre, il est intéressant de conserver sa forme et d’utiliser les vecteurs propres correspondant aux matrices de raideur et de masse du système. Ils conservent une signification physique que n’auront pas les vecteurs propres du système mis sous forme d’état. Dans le cas où le modèle est utilisé dans un cadre autre que les vibrations, la sélection des vecteurs propres formant la base réduite peut se faire en évaluant leur pertinence dans une simulation statique correspondant au domaine de fonctionnement du système [Gabbay 2000].

Approximation de Padé

L’approximation de Padé consiste à trouver un modèle d’ordre réduit k, tel que les 2k premiers moments de la fonction de transfert du modèle réduit développée autour d’une fréquence s0 aient la même valeur que ceux du système original.
On s’intéresse aux systèmes SISO (Single Input, Single Output) où l’entrée et la sortie sont de dimension 1. B et L dans la représentation (1-5) deviennent b et l. On passe d’abord d’une représentation d’état caractérisée par G, C, b et l à une représentation caractérisée par A, r et l où :
A = −(G + s0C)−1C (1-7)
r = −(G + s0C)−1 b
Ainsi le système n’est plus caractérisé que par une matrice A à la place de deux matrices C et G. La fonction de transfert est exprimée en fonction de A, r et l. Il s’agit maintenant de trouver la fonction de transfert du modèle d’ordre réduit k dont les 2k premiers moments sont égaux à ceux du système original. On ne passe pas par le calcul direct des moments de la fonction de transfert qui est en général un problème mal conditionné qui ne peut être résolu que pour de très petits ordres (petite valeur de k). On utilise les sous-espaces de Krylov de dimension k définis par : K r (A,r) = vectr, Ar, A 2 r,…, Ak −1r K r (AT , l) = vectl, AT l, (AT )2 r,…, (AT )k −1 r. (1-8)
Les vecteurs générant les sous-espaces de Krylov contiennent l’information désirée mais ne sont pas pratiquement utilisables comme vecteurs de base. On génère la base de projection via le processus de Lanczos. Ce processus est connu sous le nom de PVL (Padé via Lanczos). Les algorithmes les plus couramment cités sont SyMPVL, PRIMA, MPVL [Bai 2002]. Le processus de Lanczos génère deux bases Wk et Vk, bases des deux espaces de Krylov (1-8). Ce processus tridiagonalise A. Si on l’arrête à la kième étape on obtient une matrice tridiagonale Tk à partir de laquelle on définit une fonction de transfert approchée H k (s) qui se révèle être l’approximant de Pade de la fonction de transfert originale. Pour le modèle réduit dans le domaine temporel, on passe d’abord par les transformations qui amènent à une représentation en A, r, l, puis on fait le changement de variable x = Vk z puis on projette l’équation de la dynamique sur la base Wk. [Rewienski 2003 B] et [Chen 2004] déterminent la base de Krylov pour un développement autour de la fréquence s0=0 par le processus d’Arnoldi. Le processus d’Arnoldi ne génère qu’une base qui sert à la fois pour le changement de variable et pour la projection de l’équation inchangée par rapport à la représentation (1-5). On obtient une approximation locale du modèle dans l’espace des fréquences.
La base de Krylov présente l’inconvénient de ne pas avoir de signification physique à part le premier vecteur qui correspond au système sous contrainte statique dans le cas où on développe la fonction de transfert autour de la fréquence nulle. Un système très peu dissipatif va nécessiter une base de Krylov importante pour couvrir les changements importants de sa fonction de transfert. On peut aussi générer plusieurs bases de Krylov associées à des plages de fréquences différentes.
Se pose le problème du choix de l’ordre k du modèle d’ordre réduit. Une estimation de l’erreur au cours du processus de Lanczos est proposée dans [Bai 2002] afin de décider du point d’arrêt. Une autre approche mentionnée consiste à considérer le modèle réduit comme un modèle complet perturbé, ce qui est appelé « backward error analysis ». Des méthodes de traitement a posteriori du système (méthode PVL ) ont été mises au point pour conserver la stabilité et la passivité au système.

Troncature balancée

Une autre méthode courante de réduction d’ordre de modèle est la troncature balancée [Scherpen 1993] [Rowley 2005]. Pour un système linéaire ou non-linéaire, cette méthode repose sur la définition de fonctions de commandabilité et d’observabilité, qui sont des fonctions de l’état du système. La fonction de commandabilité traduit l’énergie nécessaire pour atteindre un certain état à partir de conditions initiales définies, la fonction d’observabilité traduit l’énergie de sortie pour un état initial donné et une entrée nulle. Elles permettent de caractériser l’importance relative de différents états. Cette information peut servir à sélectionner des états pour établir une base de projection pour un modèle réduit.
Dans le cas d’un système linéaire d’ordre N défini par (1-9), ces fonctions peuvent s’exprimer simplement par le biais de deux matrices, les grammiens de commandabilité Wc et d’observabilité Wo (1-10), qui sont les solutions des équations de Lyapunov (1-11). x ∈ IR N est l’état du système, u ∈ IR p les entrées et y ∈ IR q les sorties. x Ax Bu y Cx (1-9)
∞ ∞ Wc eAt BB∗ eA∗t dt Wo eAt C∗CeA∗t dt (1-10)
AWW A∗BB∗  0 A∗WWA∗C∗C0 (1-11)
L’énergie à fournir en entrée pour atteindre un état x1, l’état initial étant l’équilibre du système, est alors donnée par : x*1 Wc x1 (1-12a)

Réduction d’ordre des systèmes non-linéaires

Généralités

De la même manière que pour un système linéaire, on va chercher un sous-espace de l’espace d’état sur lequel projeter la dynamique du système. x f(x) Bu (1-15).

On rappelle que ce système de grand ordre est en général issu de la discrétisation spatiale d’un système d’équations aux dérivées partielles non-linéaires.

Après projection du système d’équations différentielles ordinaires (1-15) sur un sous espace de l’espace des phases caractérisé par la base Vv1 , v 2 ,…, vkde dimension k<<N on obtient un système d’ordre réduit de la forme (1-16) : x Vzz V y CVz Tf(Vz) VTBu(1-16)

L’évaluation des termes non-linéaires f(Vz) nécessitant le retour aux coordonnées initiales reste très coûteuse. Les deux points clés sont donc la base de projection et éventuellement le choix d’une méthode qui réduit le coût de calcul de ces termes non-linéaires.

Choix d’une base de projection

Le choix de la base de projection peut se faire par les méthodes décrites pour les systèmes linéaires à partir du modèle linéarisé autour d’un état d’équilibre. Les modes propres linéaires de la structure mécanique sont par exemple souvent utilisés [Anantasuresh 1996], [Gabbay 2000]. [Gabbay 2000] prend l’exemple d’une poutre encastrée-encastrée et utilise comme base de projection un certain nombre de modes linéaires. Il établit une expression approchée de l’énergie mécanique non-linéaire fonction des coordonnées modales à partir de données issues de simulations éléments finis. Il constate que cette méthode ne permet pas de rendre compte correctement de la raideur de la structure. Les effets des contractions de Poisson sur l’énergie du système ne sont en effet pas correctement pris en compte lorsqu’on réduit la dynamique aux modes linéaires. Ainsi il est aussi pertinent de chercher à tenir compte des non-linéarités du système dans l’établissement de la base de projection.

Décomposition propre orthogonale (POD)

On retrouve aussi cette méthode sous le nom de méthode de Karhunen-Loève ou de POD (Proper Orthogonal Decomposition). Elle a été, à l’origine, développée dans le cadre de la mécanique des fluides, dont les systèmes sont de très grand ordre et non-linéaires [Sirovich 1987]. Soit un système régi par une équation aux dérivées partielles dont on cherche la solution b(x,t). définie sur le domaine spatial Ω . [Sirovich 1987] introduit la fonction de corrélation du processus régi par l’EDP :

K (x, x’) = b(x,t)b(x’, t)(1-17)

Troncature balancée

La méthode de la troncature balancée évoquée précédemment pour des systèmes linéaires peut être étendue à des systèmes non-linéaires en calculant les grammiens empiriquement à partir de données réelles ou simulées [Lall 2002]. Ces données correspondent à des simulations/expériences précisées :

• entrées impulsionnelles pour le grammien de commandabilité.

• conditions initiales définies et entrées nulles pour le grammien d’observabilité.

Il est prouvé que si l’on considère un système linéaire, les grammiens calculés à partir de ces données correspondent bien aux grammiens théoriques, ils sont solution de l’équation de Lyapunov. Dans le cas d’un système non-linéaire, on peut utiliser des entrées autres que des entrées impulsionnelles afin de mettre en relief certaines caractéristiques non-linéaires.

Le coût de construction du modèle paraît assez important à cause des simulations nécessaires au calcul des grammiens.

Concaténation de bases de Krylov

Le modèle de [Rewienski 2003 B] est un modèle linéarisé par morceaux. Le modèle est linéarisé autour de différents points de l’espace des phases. La base de projection choisie est tout d’abord une base de Krylov (cf §1.2.2) construite à partir du modèle linéarisé autour de l’état d’équilibre. Un point d’équilibre pour un système non-linéaire défini par (1-15) et une entrée nulle est un point x0 pour lequel f (x0 ) 0 . Il est stable si lorsque l’état du système est déplacé dans un voisinage de x0 , il reste au voisinage du point d’ équilibre. Les points d’équilibre considérés seront toujours stables. Dans un deuxième temps il cherche à optimiser le choix de cette base en construisant des bases de Krylov pour chaque point de linéarisation choisi. Le modèle linéarisé autour d’un point quelconque xi s’écrit : x = f(xi ) + JF(x − xi ) + Bu (1-27)

La base de Krylov tient compte de la distribution de l’entrée B . On remarque que pour les points qui ne correspondent pas à un point d’équilibre, si l’on essaye d’identifier à un système linéaire dy type (1-9), il y a un terme f(xi ) − JFi xi supplémentaire qu’on peut associer à une distribution de l’entrée B’ , u’ étant un échelon de valeur 1. De ce fait [Rewienski 2003 B] construit deux bases de Krylov associée à deux distributions du vecteur d’entrée, l’une associée à u , l’autre à une échelon de valeur 1. Il concatène ensuite les bases construites pour chaque point de linéarisation. Il orthogonalise cette base en réalisant une décomposition en valeurs singulières et en supprimant les vecteurs aux valeurs singulières les plus faibles pour obtenir la base de projection finale.

A dimension de base égale, les résultats sont meilleurs pour une concaténation d’un ensemble de base de Krylov issues de différents points de linéarisation, que pour la base de Krylov issue du modèle linéarisé autour de l’équilibre.

Evaluation des termes non-linéaires

Utilisation d’un développement limité

On peut faire un développement de Taylor de la fonction f. On ne dépasse en général pas l’ordre 2 car le coût d’évaluation du modèle est de l’ordre de kq+1, k ordre du modèle réduit, q étant l’ordre du développement de Taylor. [Bai 2002] mentionne aussi des structures de modèle bilinéaire. Ces méthodes ne sont valables que pour des systèmes faiblement non-linéaires. Pour un micro-interrupteur, par exemple, elles ne permettent pas de rendre compte des non-linéarités dues aux grands déplacements [Chen 2004].

Utilisation d’une approximation de f

Une autre possibilité est d’établir des approximations des termes non-linéaires en fonction des coordonnées réduites à partir de données issues de simulation ou d’expériences. Ceci induit une augmentation du coût de la construction du modèle mais accélère l’étape d’évaluation.

[Gabbay 1998] développe cette méthode en établissant des expressions approchées des énergies dans les différents domaines. Il s’intéresse à une structure mécanique actionnée électrostatiquement dans le cadre conservatif.

Le modèle réduit est obtenu en exprimant, en fonction des coordonnées modales (q1 , q2 ,…, qk ) , l’énergie élastique, l’énergie cinétique et l’énergie électrostatique du système. Les équations du mouvement sont alors obtenues par la méthode de Lagrange. Il faut établir la forme de la fonction d’approximation (polynôme, etc…) ce qui peut se faire à partir de connaissances a priori. Dans un second temps, il faut optimiser les séries de simulations à faire pour obtenir les données à partir desquelles l’approximation est faite ou autrement dit choisir pertinemment des points dans l’espace des coordonnées réduites. Cette étape est grandement facilitée par le fait que chaque domaine énergétique est traité indépendamment. Par exemple pour le domaine électrostatique, il cherche une fonction d’approximation de la capacité sous la forme d’une fraction rationnelle : R1R2Rk … ai i…iq1i1 q2i2 …qmim 1 2m C(q , q ,…, q ) = i11 i21 ik1 (1-28)

L’espace des phases est un volume de IRk défini par le domaine de fonctionnement du système. Il s’agit de choisir des points dans ce volume. [Gabbay 1998] pourrait quadriller uniformément cet espace, il choisit une méthode plus complexe. Il subdivise uniformément ce volume en sous-volumes puis choisit au hasard des points dans chacun de ces sous-volumes de façon toutefois à uniformiser le nombre de points choisis dans chaque sous-volume.

Linéarisation par morceaux

Cette méthode consiste à linéariser le modèle autour de différents points dans l’espace des phases qui ne sont pas uniquement des points d’équilibre. On présente ici le modèle linéaire par morceaux basé sur une trajectoire d’apprentissage (TPWL : Trajectory PieceWise Linear) de [Rewienski 2003 B] [Rewienski 2005]. Le modèle linéarisé par morceaux a la forme suivante : s −1 (x)f (xi ) + JFi(x − xi )+ Bu(1-29)

où les poids pi des différents modèles linéaires dépendent uniquement de la distance du point i= s −1 courant x aux points de linéarisation xi et vérifient pi (x) = 1 pour tout x. i =0 Rewiensli et al. utilisent ensuite la méthode de Galerkin. La base de projection est V, la variable d’état devient z, vecteur des coordonnées modales. On a x = Vz . Cette base peut être une base de Krylov issue de la concaténation de bases déterminées à partir des modèles linéarisés autour de différents points (cf §1.3.2.3), une base issue de la troncature balancée [Vasilyev 2003] ou tout autre base. Le modèle d’ordre réduit final a la forme : s −1 Tf(xiTAi(Vz − xiT z =pi (z)[V ) + V )]+ V Bu (1-30)

Une démarche simple consisterait à prendre pi(z) à 1 pour le point de linéarisation i le plus proche de Vz , les autres poids étant nuls. Ici la démarche utilisée est plus complexe et assure une meilleure continuité des poids dans le temps. Des conditions mises sur les poids permettent aussi une certaine flexibilité sur laquelle il est possible de jouer pour assurer la stabilité et /ou la passivité du système.

En pratique, la dimension de l’espace réduit est trop importante pour que les points de linéarisation soient choisis par simple discrétisation uniforme de l’espace. Ainsi ils sont choisis le long de trajectoires d’apprentissages les plus pertinentes possibles. Deux méthodes sont utilisées pour déterminer les points de linéarisation. L’une consiste à utiliser le modèle original et à définir un nouveau point de linéarisation quand l’état courant est trop loin de tous les points de linéarisation déjà définis. L’autre consiste à simuler le modèle en partant du modèle linéarisé à l’origine et projeté sur la base de Krylov associée. Quand Rewienski et al. atteignent un état trop éloigné de l’état initial, ils définissent un nouveau point de linéarisation, déterminent la base de Krylov associée et réactualisent la base de projection par concaténation. Ils utilisent ensuite le modèle linéarisé autour de ce nouveau point et projeté sur la base actualisée pour poursuivre la simulation (et ainsi de suite). Ainsi les simulations des trajectoires d’apprentissage sont faites à coût réduit également. Une démarche ayant prouvé son efficacité consiste à prendre en compte une estimation de l’erreur plutôt que le simple critère de distance pour le choix des points au cours de cette construction.

Le coût d’évaluation est inférieur à O(sk²), où s est le nombre de points de linéarisation et k l’ordre du modèle. En pratique il sera insensible à s, étant donné que seuls un ou deux poids sont non nuls pour un z donné.

Comparaison des différentes approches

Dans la méthode de Gabbay et al., les simulations d’apprentissage sont faites à coût réduit grâce au découplage des domaines. Il sera en général possible de construire le modèle à partir de simulations couvrant tout l’espace des phases qui nous intéresse, rendant, du même coup, ce modèle valide sur cet espace en question. Ce sont de plus des simulations statiques. C’est l’avantage d’utiliser une approche énergétique qui n’est néamoins applicable que dans le cas conservatif. Pour [Rewienski 2003 B] les domaines ne sont pas découplés, mais la linéarisation par morceau appliquée dès les simulations d’apprentissage dynamiques réduit le coût de construction du modèle. Il sera par contre très difficile de couvrir l’espace des phases complet qui est alors de grande dimension, le modèle résultant n’en sera que plus dépendant en la trajectoire d’apprentissage. Ceci est l’inconvénient principal de ce type de modèle. D’autre part, le coût d’évaluation du modèle linéarisé par morceaux est intéressant par rapport à un modèle basé sur un développement de Taylor pour lequel le coût d’évaluation devient rapidement trop important. On ne dépasse en effet pas l’ordre 3. Ainsi la linéarisation par morceau présente un véritable intérêt quand à l’approximation des termes non linéaires.

Stabilité, passivité.

Les questions d’évaluation de l’erreur, de préservation de la stabilité et de la passivité du système sont traitées en détails dans [Rewienski 2005], pour une catégorie de systèmes ayant des propriétés particulières. La fonction f non-linéaire est considérée Lipschitz-continue et négative-monotone. Cela exclut de facto certains systèmes que l’on serait susceptible d’étudier (systèmes à hystérésis). Il présente des conditions pour que la projection du système conserve la stabilité puis pour que la linéarisation par morceaux n’engendre pas l’apparition d’instabilités ou de points de stabilité artificiels. Son étude aboutit à une condition sur les poids ou à l’ajout d’un terme dissipatif pour certains états. C’est la seule méthode, avec le cas de la base de Krylov pour les systèmes linéaires, pour laquelle ces problèmes ont été étudiés.

Modes propres non-linéaires.

Introduction

Les modes normaux non-linéaires (MNNs) ont été particulièrement étudiés dans le cadre des systèmes oscillants libres et conservatifs. Dans le cas d’un système vibratoire linéaire libre, il existe des modes propres du système qui ont une propriété d’invariance. C’est-à-dire que si les conditions initiales correspondent à l’excitation d’un seul mode, le mouvement du système restera décrit par ce seul mode. De plus, dans le cadre linéaire, le principe de superposition est valable. Ainsi le mouvement peut être décrit par une superposition de quelques modes découplés les uns des autres. La dynamique du système est ainsi simplement et exactement décrite. On peut aussi considérer qu’on a établi un modèle d’ordre réduit d’un système oscillant linéaire.

On peut utiliser les modes propres linéaires d’un système pour établir un modèle d’ordre réduit d’un système non-linéaire par une méthode de Galerkin par exemple. Les modes sont alors couplés par les termes non-linéaires, le théorème de superposition ne s’applique plus. Cette méthode est couramment utilisée. Il s’avère que l’utilisation d’un nombre trop faible de modes linéaires peut donner des résultats qui sont qualitativement faux concernant le comportement raidissant ou assouplissant par exemple. Ainsi deux solutions sont possibles : augmenter le nombre de modes linéaires pris en compte, ou tenir compte des non-linéairités du modèle dans l’établissement de modes propres.

[Rosenberg 1966] définit physiquement un mode normal non-linéaire (MNN) comme une oscillation synchrone d’une structure où tous les points matériels passent par leur équilibre statique et atteignent leur déplacement maximum simultanément. Il estime alors qu’il peut ramener la dynamique à un seul point matériel, considérant qu’il existe des relations invariantes dans le temps entre les variables déplacement des points matériels non retenus et celle du point choisi pour décrire la dynamique. Ce sont ces relations qui définissent le mode normal non-linéaire.

Par exemple, on considère une poutre dont on discrétise l’espace. On obtient N nœuds. Comme mentionné dans l’introduction de ce chapitre, imposer que le mouvement soit décrit par un mode propre linéaire, c’est à dire qu’il soit ramené à une seule variable à savoir la coordonnée modale, revient dans les faits à imposer des relations linéaires entre le déplacement d’un point de la poutre, point « maître », et les autres. xi α i xM , i 1,…, N (1-31)

où xi est le déplacement du ième nœud de la poutre et xM le déplacement du nœud « maître ». Décrire le mouvement par la coordonnée modale ou par le déplacement d’un seul point revient au même. Dans le cas non-linéaire, la forme du mode dépend de l’amplitude du déplacement xM , c’est à dire que les xi deviennent des fonctions non-linéaires de xM . Dans ce sens, on peut considérer les modes propres non-linéaires comme une extension des modes propres linéaires. Cette description sous-entend qu’on suppose les coordonnées déplacement et vitesse découplées, i.e. que les xi ne dépendent que de xM et pas de sa dérivée par rapport au temps. Ce n’est pas toujours le cas. En effet, le vecteur d’état d’un système quelconque du deuxième ordre contient les variables déplacements et vitesse. [Shaw 1994] cherche à décrire le système par le déplacement et la vitesse d’un seul point d’une poutre. Les déplacements esclaves seront donc aussi fonction de la vitesse du point maître choisi. Cette approche est plus difficile à saisir du point de vue physique. Ainsi l’approche des modes normaux non-linéaires consiste à chercher des relations invariantes dans le temps entre des variables maîtres et des variables esclaves. Ces relations invariantes définissant des variétés dans l’espace des phases du système. Ces relations étant difficiles à établir, des a priori devront être faits sur le système.

On distinguera deux approches, celles basées sur les variables physiques du système à savoir déplacement et vitesse et celles basées sur les coordonnées modales. Ces dernières s’appuient sur un modèle établi par la méthode de Galerkin et consistent à le ramener à un seul mode. Les modèles basés sur les modes normaux non-linéaires seront ainsi en général d’ordre deux, d’ordre quatre maximum dans le cas de résonance interne où certains modes sont indissociables. On décrira plusieurs exemples de la littérature afin de dégager les enjeux de cette approche.

Equation régissant les variétés invariantes

Il s’agit ici de déterminer le système d’équations aux dérivées partielles régissant les variétés invariantes. On traite ici l’exemple d’un système continu dans l’espace mais la démarche sera exactement la même pour un système discrétisé.

Soit un système continu régi par le système d’équations différentielles partielles suivant : ∂u(s, t) v(s, t) ∂t(1-32a) ∂v(s, t) F (u(s,t), v(s, t)) B(u(s,t), v(s,t)) 0 , (1-32b)

s étant la variable spatiale et t le temps. On cherche à ramener la dynamique à un point matériel soit à deux variables u0 (t) u(s0 ,t) et v0 (t) v(s0 , t) . Les variétés invariantes U et V à déterminer sont alors définies par : u(s,t) = U (u0 (t), v0 (t), s, s0 ) (1-33)

v(s,t) = V (u0 (t), v0 (t), s, s0 )?

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Table des matières

Chapitre 1 Réduction d’ordre de modèles
1.1. Introduction
1.2. Réduction d’ordre des systèmes linéaires
1.2.1. Vecteurs propres
1.2.2. Approximation de Padé
1.2.3. Troncature balancée
1.2.4. Comparaison
1.3. Réduction d’ordre des systèmes non-linéaires
1.3.1. Généralités
1.3.2. Choix d’une base de projection
1.3.2.1. Décomposition propre orthogonale (POD)
1.3.2.2. Troncature balancée
1.3.2.3. Concaténation de bases de Krylov
1.3.3. Evaluation des termes non-linéaires
1.3.3.1. Utilisation d’un développement limité
1.3.3.2. Utilisation d’une approximation de f
1.3.3.3. Linéarisation par morceaux
1.3.3.4. Comparaison des différentes approches
1.3.4. Stabilité, passivité
1.4. Modes propres non-linéaires.
1.4.1. Introduction
1.4.2. Equation régissant les variétés invariantes
1.4.3. Détermination des variétés
1.4.3.1. Développement asymptotique
1.4.3.2. Méthode de Galerkin
1.4.3.3. Formes normales
1.4.3.4. Utilisation de la périodicité du mouvement
1.4.3.5. Prise en compte de la force extérieure dans l’établissement du MNN
1.4.3.6. Système soumis à l’amortissement d’un film d’air compressé [Westby 2003]
1.4.4. Conclusion
1.5. Couplage
1.6. Conclusion
Chapitre 2 Résolution de l’équation de Reynolds
2.1. Etablissement et résolution de l’équation de Reynolds
2.1.1. Etablissement de l’équation de Reynolds
2.1.2. Equation de Reynolds linéarisée
2.1.2.1. Résolution analytique
2.1.2.2. Résolution numérique
2.1.2.3. Modèle équivalent circuit du « squeeze-film damping »
2.1.3. Résolution de l’équation de Reynolds linéarisée autour d’un point de fonctionnement
2.1.4. Résolution de l’équation de Reynolds non-linéaire
2.2. Equation de Navier-Stokes/ Equation de Reynolds
2.2.1. Modèle Navier Stokes 2D / Modèle Reynolds 1D
2.2.2. Modèle Navier Stokes 3D / Modèle Reynolds 2D
2.3. Modèle réduit de l’équation de Reynolds linéaire : application à la réponse fréquentielle
2.3.1. Analyse
2.3.2. Application numérique
2.4. Modèle réduit de l’équation de Reynolds non-linéaire : changement de variable
2.4.1. Hypothèse des petites variations de pression
2.4.2. Changement de variable
2.4.3. Méthode de résolution numérique
2.4.4. Modes propres du Laplacien
2.4.5. Validation du modèle
2.4.6. Intérêt du changement de variable
2.4.6.1. Résultats
2.4.6.2. Considérations théoriques
2.5. Choix d’une base de projection de l’équation de Reynolds non-linéaire
2.5.1. Modes propres du Laplacien
2.5.2. Base de Krylov (Approximant de Pade)
2.5.3. Modes issus de la décomposition propre orthogonale.
2.5.3.1. Extraction des modes : Décomposition propre orthogonale
2.5.3.2. Résultats : système linéaire /système non-linéaire
2.5.3.3. Changement de paramètres : pression ambiante, amplitude, fréquence
2.5.3.4. Changement de géométrie
2.5.4. Comparaison des différentes bases de projection
2.5.4.1. Approximation du système linéaire
2.5.4.2. Approximation du système non-linéaire
2.6. Conclusion générale
Chapitre 3 Réduction d’ordre de modèle d’un système couplé
3.1. Micro-interrupteur MEMS
3.1.1. Principe de fonctionnement
3.1.2. Physique d’un micro-interrupteur actionné de manière électrostatique
3.1.2.1. Mécanique
3.1.2.2. Actionnement électrostatique
3.1.2.3. Phénomènes électrothermiques
3.1.2.4. Amortissement
3.1.3. Réponse fréquentielle du système couplé
3.1.3.1. Modèles de la littérature
3.1.3.2. Réponse fréquentielle du système couplé
3.1.4. Modèles réduits de micro-interrupteur
3.1.4.1. Modèle de [Gabbay 1998] /[Mehner 2000]
3.1.4.2. [Hung 1999], [Rewienski 2003 B], [Chen 2004]
3.2. Modèle couplé fluide-structure d’un micro-interrupteur à contact capacitif
3.2.1. Equations
3.2.2. Modèle réduit
3.2.2.1. Euler-Bernoulli
3.2.2.2. Equation de Reynolds
3.2.2.3. Modèle couplé
3.2.3. Importance de l’amortissement dans la dynamique du système étudié.
3.2.3.1. Cas étudié
3.2.3.2. Importance de l’amortissement du film d’air dans la dynamique
3.2.3.3. « Incompressibilité »/ Petite variation de pression
3.2.3.4. Importance du modèle de la viscosité
3.2.4. Validation du modèle : comparaison à un modèle différences finies
3.2.4.1. Modèle différences finies
3.2.4.2. Résultats
3.2.5. Validation du modèle : comparaison à des résultats de la littérature.
3.2.5.1. Modèles différences finies de la littérature
3.2.5.2. Données expérimentales
3.3. Conclusion
Chapitre 4 Evaluation des termes non linéaires
4.1. Introduction
4.2. Approximation globale de la force fluidique
4.2.1. Approximation analytique de la force fluidique pour les poutres étroites
4.2.2. Approximation numérique de la force fluidique pour les poutres larges
4.2.2.1. Trajectoire d’apprentissage.
4.2.2.2. Approximation de F
4.2.3. Résultats
4.2.3.1. Actionnement électrostatique
4.2.3.2. Force uniforme sinusoïdale
4.2.4. Conclusion
4.3. Modèle linéarisé par morceaux [Rewienski 2003 B]
4.3.1. Méthode [Rewienski 2003 B]
4.3.1.1. Choix des points de linéarisation
4.3.1.2. Calcul des poids
4.3.2. Linéarisation par morceaux d’un modèle réduit de micro-interrupteur
4.3.2.1. Modèle réduit utilisé
4.3.2.2. Choix des points de linéarisation
4.3.2.3. Calcul de la valeur des fonctions et des jacobiens
4.3.2.4. Résultats : trajectoire d’apprentissage=trajectoire de simulation
4.3.2.5. Résultats : domaine de validité des modèles
4.3.3. Linéarisation par morceaux d’un modèle différences finies de microinterrupteur.
4.3.3.1. Modèle différences finies
4.3.3.2. Résultats
4.4. Linéarisation des coefficients du modèle réduit
4.4.1. Principe
4.4.2. Validation
4.5. Conclusion
4.6. Conclusion générale
Conclusion générale
Références

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Vecteurs propres

Approximation de Padé

Troncature balancée

Table des matières

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