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La dosimétrie numérique
La dosimétrie repose sur l’estimation du DAS dans les tissus via la valeur du champ électrique induit dans les tissus biologiques. Dans le cas de la dosimétrie numérique, ces champs induits sont calculés à l’aide de méthodes numériques. Ces 20 dernières années, de gros efforts ont été fournis dans la communauté scientifique pour développer des mé-thodes numériques permettant de résoudre temporellement et spatialement les équations de Maxwell. On peut citer par exemple la méthode des éléments finis dans le domaine fré-quentiel (FEFD), la méthode de Galerkin discontinue dans le domaine temporel (DGTD) ou bien encore la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD). Ce travail de thèse est réalisé dans le cadre de l’utilisation de la FDTD comme outil d’éva-luation du champ électrique induit. Cete méthode est basée sur une résolution explicite d’équations aux dérivées partielles dépendant du temps. Cette méthode numérique a été développée par Yee en 1966 [Yee 1966] pour résoudre les équations de Maxwell et a depuis prouvé toute son efficacité dans la résolution de problèmes électromagnétiques [Taflove and Hagness 2005]. Elle est majoritairement utilisée dans les études dosimétriques. Dans l’approche de la FDTD, l’espace de calcul D R3 borné est maillé à l’aide de parallélépi-pèdes orthogonaux v D de dimensions x(v), y(v) et z(v) qui servent à représenter des objets en trois dimensions à géométrie complexe et constitués de matériaux hétéro-gènes ; chaque voxel est ainsi associé à des propriétés diélectriques particulières. Dans ce chapitre, la notation v désignera invariablement un voxel parallélipédique du domaine de calcul D. Le calcul du champ électrique s’effectue itérativement dans le domaine temporel sur un intervalle de temps [0; T ] avec un pas de temps T constant qui doit respecter les conditions de stabilité [Taflove and Hagness 2005] afin d’assurer la convergence du schéma explicite de la FDTD. La condition de stabilité s’exprime telle que suit : q x(v)2+ y(v)2+ z(v)28DT 1 v (2.3) étant la vitesse de propagation de l’onde dans le milieu. La résolution du maillage doit quant à elle respecter à la fois le critère de stabilité ainsi que le critère de dispersion afin de minimiser la dispersion numérique due à la discrétisation des équations de Maxwell [Taflove and Hagness 2005]. Le critère de dispersion s’exprime de la façon suivante : min max( x(v); y(v); z(v)) (2.4) min étant la longueur d’onde minimale des ondes se propageant dans le domaine de calcul. La finitude du domaine de calcul impose de mettre des conditions absorbantes afin d’éviter les réflexions à la frontière @D de D. Dans le travail présenté dans ce rapport, les conditions absorbantes utilisées sont les perfectly matched layer (PML) qui ont une grande capacité d’absorption [Berenger 1994]. On considère maintenant un sous-domaine Dt D sur lequel on veut calculer un DAS global tel que défini dans la Section 2.1. Dt peut ainsi être un modèle anatomique de corps humain, de fœtus ou encore d’un organe particulier. Le DAS global sur ce domaine s’exprime alors de la manière suivante dans le cas d’un maillage uniforme : Pabs(t)v(v)E(v)2 DASDt = D = P2 Dtv t (v) (2.5) en reprenant les mêmes notations que dans les Eq. (2.1) et (2.2).
En ce qui concerne le calcul du DAS local (on prend l’exemple du DAS 10g), on consi-dère un volume de voxels Dvc entourant un voxel central vc et représentant 10 grammes de tissus, i.e. : X (v) x(v) y(v) z(v) = 10 2 kg (2.6)
On a alors l’expression suivante pour exprimer l’exposition locale moyennée sur 10 grammes de tissus suivant l’expression générale de l’Eq. (2.5) : DAS10g(vc) = P2 Dvvc (v)E(v)2 (2.7)
En général, la valeur d’intérêt que l’on utilise est le maximum de ce DAS 10g sur le sous-domaine d’intérêt Dt. Cette définition peut se décliner sur le même modèle pour le DAS 1g. Dans le cadre de ces travaux de thèse, les calculs FDTD sont effectués à l’aide d’un code C développé au sein de l’équipe d’Orange Labs.
Lorsque l’on maille des corps humains entiers pour évaluer leur exposition, les domaines de calcul représentent plusieurs milliards de mailles. Il est donc nécessaire de recourir à des calculateurs puissants et à des méthodes de calcul parallèle pour effectuer les simulations FDTD dans un temps raisonnable. L’équipe du Whistlab au sein de laquelle j’ai réalisé mes travaux dispose ainsi de plusieurs calculateurs multiprocesseurs dédiés au calcul FDTD dont une photo est présentée en Figure 2.1. Sur ces machines, le calcul parallèle s’effectue à l’aide de plusieurs cartes graphiques GPU qui permettent de réduire significativement le temps de calcul d’une simulation FDTD. Malgré ces moyens importants, la durée d’une simulation reste de l’ordre d’une ou plusieurs heures.
Les modèles de corps humains
Dans le cadre de l’exposition humaine aux ondes électromagnétiques, des modèles anato-miques de corps humains sont voxélisés et intégrés dans le domaine de calcul FDTD pour évaluer les champs électriques induits dans les tissus humains. Depuis les années 1960, plusieurs modèles anatomiques ont été développés [Xu and Eckerman 2010]. Le dévelop-pement de l’imagerie médicale et en particulier de l’imagerie par résonance magnétique (IRM) dans les années 1980 a permis la réalisation de modèles anatomiques de plus en plus réalistes et ayant des résolutions de plus en plus fines. Aujourd’hui un certain nombre de modèles sont disponibles et représentent aussi bien des adultes [Ackerman 1995, Dim-bylow 2005] que des enfants [Christ et al. 2010] ou encore des femmes enceintes [Nagaoka et al. 2007, Bibin et al. 2010]. En guise d’exemple, une image du célèbre Visible Human [Ackerman 1995] est donnée en Figure 2.2.
La modélisation des différentes sources d’exposition
Pour l’évaluation numérique de l’exposition, la diversité des sources de rayonnements élec-tromagnétiques, leurs usages et leurs localisations diverses supposent des techniques de modélisation adaptées à chaque type de source. Les sous-sections suivantes traitent de cette problématique et de la contribution de mes travaux à ce domaine.
L’exposition induite par une source proche
Une source proche est définie ici comme une source de rayonnement utilisée à de très faibles distances du corps humain (i.e. de l’ordre d’une dizaine de centimètres). Cette catégorie de source englobe les téléphones portables, les tablettes tactiles, les ordinateurs portables ainsi que tous les objets connectés qui peuvent être situés à proximité ou dans le corps humain. On modélise généralement ce type de source électromagnétique directement dans le domaine FDTD. Différents modèles voxelisés de téléphones portables, de tablettes ou d’ordinateurs ont été réalisés [Ghanmi 2012], un exemple de modèle de téléphone portable est présenté en Figure 2.3. Les antennes de ces modèles sont excitées électriquement par des courants lors de la simulation numérique, ce qui permet d’évaluer le champ induit (et par conséquent le DAS induit) par ces sources dans un modèle anatomique. L’exposition humaine à ces sources, en particulier l’exposition induite par les téléphones portables, a fait l’objet de nombreuses études telles que [Christ and Kuster 2005, Beard et al. 2006].
L’exposition induite par une source lointaine
Quand on parle de sources lointaines, on considère que la source du rayonnement élec-tromagnétique est située à de grandes distances du corps humain. Typiquement une telle source lointaine peut être une station de base de macrocell qui sera localisée à des dis-tances variant de la centaine de mètres à quelques kilomètres du corps humain. La taille caractéristique du corps humain étant faible comparée à ces distances, le rayonnement à l’endroit où se situe la personne peut être localement assimilé à une onde plane, c’est-à-dire une onde dont les fronts d’onde sont des plans infinis et perpendiculaires à une même direction de propagation. Pour simuler numériquement ce rayonnement dans la FDTD, on utilise la technique dite de la boîte de Huygens au travers du principe d’équivalence [Merewether et al. 1980, Holland and Williams 1983]. Le principe est tout d’abord d’in-sérer le modèle anatomique dans une boîte virtuelle ayant approximativement les mêmes dimensions que le domaine FDTD et appelée boîte de Huygens. Ensuite, à l’aide de la description du rayonnement par une onde plane, on calcule les courants équivalents cor-respondant à cette onde plane tout autour de la boîte de Huygens avec une résolution égale à celle du maillage utilisé. Enfin en utilisant le principe d’équivalence, l’excitation des courants équivalents permet d’évaluer le champ induit par un tel rayonnement dans tout le domaine inclus dans la boite de Huygens. L’exposition humaine aux ondes planes a également fait l’objet de nombreuses études telles que [Hirata et al. 2009, Conil et al. 2011].
L’exposition induite par une source intermédiaire
Avec le développement des nouveaux systèmes de télécommunications sans fil, certaines sources de rayonnement se trouvent aujourd’hui trop loin pour ne pas permettre un do-maine de calcul incluant la source et la personne (c’est le cas des sources lointaines). Parmi ces sources, on appelle ici sources intermédiaires les cas où la distance à la personne reste trop faible pour considérer que le champ incident a une structure d’onde plane. Ces sources peuvent généralement être situées à des distances de l’ordre du mètre du corps humain. Typiquement, les points d’accès wifi et les stations de base de femtocell entrent dans cette catégorie. Dans de nombreuses études de dosimétrie, une approximation en onde plane est utilisée sans être certain que l’hypothèse d’onde plane soit valide. Une des contributions de mon travail présenté dans ce rapport a donc été de proposer une méthode de modélisation de l’exposition induite par les sources intermédiaires. Ce travail s’intéresse tout particu-lièrement aux stations de base de femtocell. Une station de base de femtocell est un point d’accès sans fil connecté au réseau WLAN (wireless local area network). Elle offre une couverture radio réduite dans les bandes de fréquences 3G et 4G. Nous nous intéresserons ici à un modèle de station de base NEC dont des vues interne et externe sont présentées en Figure 2.4.
Pour modéliser l’exposition induite par de tels systèmes, la première étape est de mo-déliser leur rayonnement. Pour se faire, la théorie de décomposition en modes sphériques est utilisée [Hansen 1988]. Le principe est de décomposer le rayonnement d’un système électromagnétique sur une base de modes orthogonaux constituant une base de l’espace électromagnétique. A l’aide de cette décomposition, on peut décrire précisément le rayon-nement en espace libre du système considéré par les expressions des Eq. (2.8) et (2.9).
E(r; ; ) = k 2 1 n QsmnF smn(r; ; ) (2.8)
pXs X Xn =1 n=1 m= H(r; ; ) = ikp 2 1 n QsmnF 3 s;m;n(r; ; ) (2.9)
Dans les équations ci-dessus, E(r; ; ) et H(r; ; ) sont respectivement les vecteurs des champs électrique et magnétique émis pas le système exprimés en fonction des co-ordonnées sphériques (r étant le rayon entre le système et le point de calcul, l’angle d’élévation et l’angle d’azimut). k et sont respectivement la constante de propagation et l’admittance spécifique de l’air. Qsmn et F smn sont le coefficient et le mode sphérique d’indice s, d’ordre m et de degré n. En théorie, les émissions électromagnétiques d’un système sont décrites en utilisant un nombre infini de modes mais en pratique seul un nombre limité de modes sont nécessaires à une description précise des émissions du sys-tème. Ainsi la troncature de l’expression des champs des Eq. (2.8) et (2.9) se fait selon des règles empiriques décrites dans [Hansen 1988] et [Jensen et al. 2004] telles que le nombre de modes considéré soit suffisamment grand pour décrire précisément les émissions. Hansen a développé en 1988, une méthodologie s’appuyant sur la théorie des modes sphériques permettant de déduire les champs émis par un système émetteur à partir de mesures en champ proche [Hansen 1988]. Cette méthodologie a ici été mise en œuvre pour déduire l’expression des émissions de la station de base de femtocell considérée en espace libre. Le diagramme de rayonnement de ce système a donc pu être calculé et est présenté en Figure 2.5 en fonction des angles d’élévation et d’azimut . Ce diagramme est assez omnidirectionnel à part dans deux zones correspondant à = 180 et = 130 pour = 190 . Ces zones correspondent au dessous du système femtocell.
Pour estimer l’exposition induite dans des modèles anatomiques par ce type de sys-tème, on utilise ensuite la technique de la boite de Huygens décrite dans la Section 2.4.2. En effet, la connaissance du rayonnement du système en espace libre nous permet de cal-culer les courants équivalents de la boîte de Huygens et d’estimer l’exposition induite par utilisation du principe d’équivalence [Merewether et al. 1980, Holland and Williams 1983]. Un schéma de l’utilisation de la boîte de Huygens dans le cas de l’exposition d’une femme enceinte à une station de base de femtocell est donné en Figure 2.6. Ma contribution au développement de la modélisation des sources intermédiaires a été de modifier et d’adapter les codes de description des modes sphériques existants au sein d’Orange Labs au problème de la dosimétrie numérique.
Analyse comparative des expositions fœtales induites par des sources intermédiaires et des sources loin-taines.
Cette section analyse l’erreur que l’on peut générer sur la simulation de l’exposition de modèles de fétus en modélisant une source intermédiaire par une onde plane comme cela peut se faire classiquement au lieu de la modéliser avec une description en ondes sphériques comme expliquée dans la section 2.4.3. Cette analyse a été conduite dans le cadre du projet franco-japonais FETUS. Ici, on s’intéresse à l’exposition de modèles anatomiques de femmes enceintes à la station de base de femtocell montrée en Figure 2.4. Cette station de base émet à la fréquence de 2100 MHz correspondant à la bande descendante 3G en France, on a donc le diagramme de rayonnement de la Figure 2.5.
Les modèles anatomiques étudiés
Les modèles anatomiques utilisés dans ces travaux sont deux modèles de femmes enceintes à 26 semaines d’aménorrhée présentés en Figure 2.7. Le premier modèle de femme enceinte à été réalisé grâce à la déformation d’un modèle hétérogène de femme japonaise construit à partir de données IRM [Nagaoka et al. 2007]. Après cette déformation, un modèle de fétus hétérogène a été inséré dans l’abdomen du modèle féminin. Dans la suite de cette analyse, ce modèle sera invariablement appelé femme japonaise enceinte. Le second modèle utilisé dans cette analyse est un modèle développé dans à la fois dans un projet antérieur appelé FEMONUM et dans le projet FETUS [Bibin et al. 2010, Dahdouh et al. 2014]. La réalisation du modèle de fétus est basé sur la segmentation d’images ante-natales. Le modèle de fétus ainsi réalisé est ensuite inséré dans un modèle féminin synthétique et déformable qui est basé sur un modèle féminin homogène appelé Victoria. Ce modèle homogène est seulement muni de tissus basiques tels que la peau, le muscle, la graisse subcutanée et les os ajoutés dans le tissu homogène de manière réaliste. Ce second modèle de femme enceinte sera par la suite invariablement appelé Victoria enceinte. Concernant les propriétés diélectriques des fétus, les valeurs des adultes ont été utilisées. Pour le placenta, le liquide amniotique et le cordon ombilical, nous avons utilisé les données de [Peyman et al. 2011] pour définir leurs propriétés diélectriques. Il est intéressant de noter que le fétus de la femme japonaise enceinte est localisé plus profondément dans l’abdomen que le fétus de Victoria enceinte. Ces deux modèles fournissent donc deux représentations différentes de l’exposition fœtale.
Comparaison de l’exposition à une onde plane avec celle de la description en ondes sphériques
Dans le cadre de cette étude, la station de base de femtocell est placée en exposition frontale et à mi-hauteur du modèle anatomique. Cette configuration est visible sur la Figure 2.6. On place ainsi le fœtus en exposition directe et la tête des fœtus se situe à la même hauteur que la station de base. La station de base est orientée de telle manière que la direction définie par les angles = 90 et = 0 du diagramme de rayonnement de la Figure 2.5 soit normale à la face avant de la boite de Huygens. Cette orientation correspond à une configuration d’exposition réaliste où la station de base est posée sur son pied. La puissance rayonnée par la station de base est ici normalisée de telle sorte que la puissance totale rayonnée soit égale à 1 W.
Ainsi pour différentes distances séparant la station de base et les modèles anatomiques, on utilise la description en ondes sphériques des émissions de la station de base et l’expo-sition directe du fœtus avec la simulation FDTD est simulée via la boite de Huygens. Les sorties étudiées du code de calcul sont le DAS corps entier du fœtus et le DAS moyen dans son cerveau. On veut ensuite comparer cette exposition de la station de base à l’exposition induite par une onde plane d’amplitude équivalente qui pourrait aussi servir de modèle pour la station de base pour une grande distance. Ici, le terme amplitude équivalente signi-fie que la puissance de l’onde plane reçue par le fetus doit être du même ordre de grandeur que la puissance venant de la station de base venant du rayonnement de la station de base décomposé en ondes sphériques. Sans l’assignation de cette amplitude équivalente à l’onde plane, la comparaison entre les deux expositions n’aurait pas de sens. Étant donné que nous nous intéressons à l’exposition du fœtus, que l’exposition est frontale et que la station de base est positionnée à la hauteur du fœtus, on moyenne le module au carré du champ électrique sur une surface rectangulaire encadrant la projection du fœtus sur la face avant de la boite de Huygens. Ce champ moyen est ainsi assigné à l’amplitude de l’onde plane. En faisant cette moyenne, seule la puissance reçue par le fœtus est prise en compte dans le calcul de l’amplitude équivalente de l’onde plane. Enfin, on compare les deux expositions pour plusieurs distances séparant le modèle anatomique et la station de base : r = 0:6 ; 1 ; 1:5 et 2:5 mètres.
Résultats de la femme japonaise enceinte
On présente dans ce paragraphe les résultats de la comparaison entre l’exposition induite par la description en modes sphériques de la station de base et l’exposition induite par l’onde plane équivalente pour le modèle de femme japonaise enceinte. La Figure 2.8 montre la comparaison pour le DAS corps entier du fétus aux différentes distances.
La représentation en lignes pleines (axe gauche des ordonnées) présente les valeurs absolues de DAS pour la description en ondes sphériques et pour l’onde plane équivalente, la représentation en barres (axe droit des ordonnées) présente l’écart relatif entre les deux valeurs absolues à la distance correspondante. On peut observer que l’écart relatif entre les deux modélisations diminue avec l’augmentation de la distance. Le modèle en onde plane semble donc se rapprocher de la description en ondes sphériques au fur et à mesure que l’on éloigne la station de base du modèle anatomique. Ceci était prévisible car plus la distance entre le modèle anatomique et la station de base est grande, plus l’étalement des valeurs de champs sur la fenêtre servant au calcul du champ moyen se rétrécit. L’amplitude équivalente de l’onde plane qui est la moyenne du champ sur la surface rectangulaire encadrant la projection du fétus sur la face avant de la boite de Huygens devient donc de plus en plus représentative de la distribution du champ sur cette surface. On passe d’un écart relatif de 30% sur l’évaluation de l’exposition du corps entier du fétus à 0.6 m à un écart de 10% à 2.5 mètres. La Figure 2.9 présente les données pour le DAS moyenné dans le cerveau du fétus sur le même schéma que pour la Figure 2.8. Les valeurs absolues de DAS sont dans ce cas du même ordre de grandeur que celles du DAS corps entier mais les écarts relatifs sont beaucoup plus faibles que dans le cas précédent et n’excèdent pas 15%. Ces valeurs basses ne peuvent bien entendu pas être généralisées car elles sont fortement dépendantes de la configuration du fétus. En effet, dans le cas présent, la tête de fétus est à la même hauteur que la station de base. Une autre configuration (la tête en haut par exemple), aurait probablement donné des résultats très différents. Enfin, il est intéressant de noter que dans ce cas l’exposition induite par l’onde plane équivalente surestime l’exposition induite par la description en ondes sphériques.
Résultats pour Victoria enceinte
L’analyse de la précédente section a également été conduite pour le modèle anatomique Victoria enceinte. Les Figures 2.10 et 2.11 présentent les résultats sur le même schéma que les Figures 2.8 et 2.9. La Figure 2.10 présente des valeurs absolues de DAS corps entier significativement supérieures à celles de la Figure 2.8. Ceci peut être dû au fait que pour Victoria enceinte, une grande partie du fœtus (le bas du corps) est située moins profondément dans l’abdomen de Victoria que pour le cas de la femme japonaise enceinte. Ainsi l’épaisseur plus importante de tissu séparant l’air du fœtus de Victoria absorbe une quantité plus importante et la puissance arrivant au fœtus est moindre. Les têtes des deux fœtus sont quant à elles approximativement à la même profondeur, ce qui explique que pour les Figures 2.11 et 2.9, les valeurs absolues soient du même ordre de grandeur.
Concernant le DAS corps entier, la Figure 2.10 présente des écarts relatifs qui diminuent avec la distance comme dans le cas de la femme japonaise enceinte (de 40% à 0.6 m à 8% à 2.5 m). Pour le DAS moyenné dans le cerveau du fétus, on observe à nouveau des valeurs d’écart relatif très faibles comparées à celle du corps entier (en dessous de 6%). La même explication que dans le cas précédent peut être avancée. Enfin, de même que précédemment, l’exposition induite par l’approximation équivalente en onde plane surestime l’exposition induite par la description en ondes sphériques.
On s’intéresse maintenant à l’exposition locale du fœtus de Victoria pour voir si les expositions convergent avec l’augmentation de la distance. La Figure 2.12 présente la distribution locale de DAS dans le fœtus de Victoria. Cette distribution est représentée pour chaque exposition à toutes les distances étudiées. Les valeurs de DAS sont exprimés en 10 3 W/kg et l’échelle de DAS est la même pour les deux expositions à chaque distance. La Figure 2.12 nous montre que les zones d’absorption principales sont les mêmes pour la description en ondes sphériques et pour l’onde plane. Elles sont localisées sur la main droite du fétus, sur la jambe droite et sur le cordon ombilical. Néanmoins, les niveaux de DAS peuvent être assez disparates et les valeurs maximales de DAS ne sont pas localisées au même endroit en fonction de la distance. En effet, pour l’exposition induite par l’onde plane, la jambe est la zone la plus exposée alors que dans le cas de la description en ondes sphériques, à 1 m et à 1.5 m, la zone la plus exposée est le cordon ombilical. Cet ordre d’intensité de DAS semble s’inverser à 2.5 m et se rapprocher de l’exposition de l’onde plane équivalente. Des simulations additionnelles montrent que pour des distances supérieures, les deux expositions deviennent identiques. A partir de 2.5 m, l’onde plane semble être une bonne approximation de l’exposition induite par une station de base de femtocell si l’on se fie à sa description en ondes sphériques.
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Table des matières
1 Introduction générale
2 L’exposition humaine
2.1 L’évaluation de l’exposition
2.2 La dosimétrie numérique
2.3 Les modèles de corps humains
2.4 La modélisation des différentes sources d’exposition
2.4.1 L’exposition induite par une source proche
2.4.2 L’exposition induite par une source lointaine
2.4.3 L’exposition induite par une source intermédiaire
2.5 Analyse comparative des expositions fœtales induites par des sources intermédiaires et des sources lointaines.
2.5.1 Les modèles anatomiques étudiés
2.5.2 Comparaison de l’exposition à une onde plane avec celle de la description en ondes sphériques.
2.5.3 Résultats de la femme japonaise enceinte
2.5.4 Résultats pour Victoria enceinte
2.6 Conclusion
3 L’analyse statistique et son application à la problématique de l’exposition
3.1 Etat de l’art sur l’analyse statistique de l’exposition
3.2 Modélisation statistique de l’espace d’entrée
3.2.1 Espace probabiliste
3.2.2 Paramètres d’entrée spatiaux
3.2.3 Paramètres d’entrée morphologiques
3.2.4 Transformée isoprobabiliste
3.3 Etude statistique de la sortie du modèle physique.
3.3.1 Les moments statistiques
3.3.2 Etude des quantiles de sortie
3.3.3 Analyse de sensibilité globale de paramètres indépendants
3.3.4 Analyse de sensibilité globale de paramètres dépendants
3.4 Conclusion
4 Analyse statistique par méta-modèle
4.1 Le chaos polynomial
4.1.1 Historique
4.1.2 La théorie du chaos polynomial
4.1.3 Les troncatures pleine et hyperbolique
4.1.4 La troncature LARS
4.1.5 Sélection et validation de modèle
4.1.6 Analyse de sensibilité et analyse de signature
4.1.7 Planification d’expériences
4.1.8 Exemple d’application : exposition d’un modèle d’enfant à une station de base de femtocell
4.1.9 Exemple d’application : exposition en zone urbaine : calcul du champ réfléchi par un immeuble à géométrie variable
4.2 Le Krigeage universel
4.2.1 Un bref historique
4.2.2 La formulation du Krigeage universel
4.2.3 Les fonctions d’autocorrélation
4.2.4 Le meilleur prédicteur linéaire sans biais (BLUP)
4.3 Hybridation du chaos polynomial et du Krigeage universel
4.3.1 Exemple d’application analytique : la fonction d’Ishigami
4.3.2 Exemple d’application analytique : la fonction de Borehole
4.3.3 Exemple d’application analytique : la fonction de Sobol
4.3.4 Application à l’exposition d’un foetus à un système femtocell
4.3.5 Application à l’étude de l’influence de l’incertitude morphologique
4.4 Conclusion
5 Planification d’expérience adaptative pour l’estimation du quantile à 95% de la distribution de sortie
5.1 La méthode BOAS (Bootstrapped Oriented Adaptive Sampling)
5.1.1 La théorie du bootstrap et les intervalles de confiance
5.1.2 Stratégie adaptative de planification d’expériences
5.1.3 Critères d’arrêt et estimateurs de précision
5.1.4 Exemple analytique : la fonction d’Ishigami
5.1.5 Exemple analytique : la fonction de Borehole
5.1.6 Exemple analytique : la fonction de Sobol
5.1.7 Exemple d’application : exposition d’un modèle d’enfant à une station de base de femtocell
5.2 Comparaison de performances avec la méthode GPS (Gaussian Process Shrunk)
5.2.1 La méthode GPS
5.2.2 Comparaison de performances avec la fonction d’Ishigami
5.2.3 Comparaison de performances avec la fonction de Borehole
5.3 Conclusion
6 Conclusion générale et perspectives
Références
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