OUTILS DE SYNTHESE DE REGULATEURS STRUCTURES

En complément de la matrice fondamentale d’interconnexion macroscopique E (cf. Définition 1.7), D.D. Šiljak propose la Définition 1.17 qui permet de caractériser l’évolution dans le temps des interconnexions.

Définition 1.17: Matrice d’interconnexion macroscopique E [Sil91] une  matrice N ×N d’interconnexion macroscopique  E = ((eij )) avec les  éléments eij : T   →[ 0,1] est dite  générée  par la  matrice  N ×N  d’interconnexion fondamentale ( t ) ≡ 0. macroscopiqueE= (( eij )) (cf. Définition 1.7) avec eij = 0 si seulement si eij

Remarques

1. On note par E ∈ E le fait que E(t) est générée à partir de E.

2. Chaque terme de E représente donc le degré de couplage à l’instant t entre un sous-système Sj et un sous-système Si interconnectés physiquement (i.e. eij = 1). On peut donc voir la matrice E comme le moyen de représenter le niveau d’incertitude de l’action de Sj sur Si via une pondération eij ( t ) ∈ [ 0,1] pouvant varier dans le temps, voire étant mal identifiée.

3. On peut introduire une nouvelle réalisation de S, à rapprocher de (1.3) mais exploitant cette fois la matrice d’interconnexion E, i.e. ( t ) = Aii x i ( t ) + Bii ui ( t ) +.

Sauf mention contraire, et même si certains propos débordent de ce cadre, nous nous intéresserons au cas des systèmes et régulateurs linéaires, dans le contexte de la commande optimisée H2 ou H∞ .

De manière générale, l’élaboration d’une loi de commande pour un système passe par les trois étapes méthodologiques fondamentales suivantes :
1. la définition des objectifs de commande,
2. la formulation mathématique du problème de commande à résoudre,
3. la synthèse du régulateur.
S’attaquer au problème de synthèse d’une loi de commande pour des systèmes complexes (au sens de la Définition 1.23) implique la nécessité de se confronter potentiellement à plusieurs difficultés :
d1. la difficulté voire l’impossibilité de définir un critère unique agrégeant l’ensemble des sous-objectifs de commande.
d2. la difficulté de modéliser les systèmes complexes et la présence de parties (e.g. interconnexions entre les sous-systèmes) incertaines.
d3. la manipulation de problèmes numériques de grandes tailles, nécessitant pour la synthèse de la loi de commande, des temps de calcul et / ou espaces mémoires importants voire rédhibitoires.
d4. la cohabitation au sein du même système de dynamiques différentes, pouvant induire des difficultés numériques lors des phases d’analyse (e.g. simulations) ou synthèse de lois de commande.
d5. des contraintes structurelles sur le régulateur recherché.
Ces difficultés peuvent être classées en deux catégories distinctes :
– les difficultés d’ordre conceptuel, d1 et d2, liées à l’étape de formulation du problème de commande : nécessité potentielle d’une formulation multi-critères du problème de commande optimisée
– les difficultés d’ordre numérique, d3 à d5, liées à l’étape de synthèse du régulateur : de part la trop grande dimension du modèle du système, mais aussi par la complexité du problème d’optimisation à résoudre (caractère composite du critère, contraintes structurelles sur le régulateur recherché).

Les problématiques sous-jacentes concernent :
– la formulation et la résolution de problème de commande (optimisée) multi-critères (théorie des jeux)
– la « simplification de modèle » qui peut être déclinée en plusieurs thèmes [Che04], dont : 1/ la simplification dynamique, i.e. la réduction d’ordre, 2/ la simplification structurelle, consistant à se ramener à une réalisation structurée pour le système (par transformation réversible ou non), ayant l’intérêt de simplifier le problème de conception du régulateur.
– les méthodologies de synthèse de lois de commande adaptées à la manipulation de modèle de dimensions élevées et / ou aux contraintes structurelles sur le régulateur recherché.
Plus généralement, l’objectif fondamental est la simplification du problème de commande, trop complexe pour être résolu par exemple en employant les résultats classiques de la commande optimisée H2 ou H∞ [DGKF89]. En effet, pour des raisons conceptuelles ou numériques, appréhender globalement le problème de commande d’un système complexe peut s’avérer délicat voire impossible. On peut donc en conclure, comme l’ont fait D.D. Šiljak ou J. Bernussou et A. Titli en introduction de leurs ouvrages de synthèse respectifs [Sil91] et [BT82], qu’un des éléments clefs d’une méthodologie de commande pour les systèmes complexes sera la décomposition du problème de commande ; décomposition du problème conceptuel, pour gérer au mieux les difficultés de modélisation mathématique du système et de formalisation des objectifs de commande, ou bien décomposition du problème numérique, pour simplifier le problème de synthèse de la loi de commande.
Réalisons un rapide tour bibliographique sur la thématique de la décomposition du problème de commande, afin de mieux discerner ce qui se cache derrière ce concept.

Cette idée de décomposition du problème de commande se retrouve beaucoup, parfois de façon implicite, dans les solutions proposées dans les années 1970-1980. Elle intervient surtout dans le but de décomposer le problème numérique. Cette idée nous semble encore d’actualité, malgré la progression exponentielle des performances des calculateurs depuis cette époque. Si ces performances accrues permettent d’aborder des problèmes de taille légèrement supérieure, elles sont d’abord et surtout utilisées pour prendre en compte les objectifs de manière plus rigoureuse. Citons par exemple l’emploi des inégalités matricielles, LMI et BMI (Inégalités Matricielles Linéaires ou Bilinéaires), au service de problèmes structurés ou multi-objectifs. J. Bernussou et A. Titli [BT82] distinguent différentes stratégies de décomposition du problème numérique, verticale ou horizontale.

Ici, l’objectif est de diviser la complexité de la loi de commande, en tentant de décomposer celle-ci selon plusieurs niveaux hiérarchiques. Pour reprendre la terminologie de [FBBTMW80], nous aboutissons ici à une commande « multilayer », que nous proposons de traduire par « multi-couches ». Un schéma classique de commande « hiérarchisée » est donnée en figure Fig. 1.1.
Cette décomposition tente de surmonter les difficultés d1, d3, et d4 soulevées précédemment. En effet, les différents niveaux de commande constitutifs de l’organe de décision (qui peuvent être vus comme différents algorithmes) sont définis en adéquation avec les différentes dynamiques constitutives du système, sachant que les couches hiérarchiquement supérieures interviennent avec une fréquence moindre que les couches inférieures.
On distingue en général quatre niveaux fonctionnels de commande [Ber88] :
– Niveau 1 ou niveau « régulation » : ce niveau agit directement sur le processus, dans une gamme de fréquences correspondant à la dynamique du processus. Son rôle est de générer les commandes pour que les sorties y du processus suivent des trajectoires imposées ou pour qu’elles soient maintenues à des points de consigne en dépit des perturbations. Il complète son rôle d’interface entre le processus et le système de commande en faisant remonter certaines informations comme des mesures continues, mais aussi dans un contexte discret la détection de pannes, le début et fin de cycle séquentiel, etc…

La simplification structurelle du modèle du système ainsi que le choix d’une structure du régulateur permet tout simplement d’éviter la mise en œuvre d’une loi de commande de complexité surdimensionnée relativement au niveau de performance souhaité. Reprenons ici à des fins d’illustration un exemple introduit par D.E. Reeves dans ses travaux de thèse [Ree91].
Il concerne la commande d’un radar équipé de 20 capteurs et 20 actionneurs. La mise en place d’une loi de commande centralisée mène comme illustré sur la figure Fig. 1.9 à une loi de commande impliquant 400 voies potentielles de feedback entre les 20 capteurs et les 20 actionneurs. Après simplification structurelle du modèle, et l’adoption d’une structure décentralisée pour le régulateur, couplés à une suppression d’actionneurs et de capteurs, une loi de commande avec uniquement 18 voies peut être considérée. Il est certain que le niveau de performance global se trouve diminué par cette simplification, mais le prix a payé peut être faible en regard de l’apport en terme de lisibilité et de maintenabilité de la loi de commande obtenue. Le nombre d’actionneurs et de capteurs mis en œuvre a été réduit de 50% , et encore plus notable, le nombre de canaux SISO de rétroaction a été réduit de 95% .

Si c’est bien la structuration du modèle standard qui nous importe au final pour la simplification du problème de synthèse, dans la littérature les outils proposés s’intéressent toujours à la structuration du modèle du système physique. Ensuite la structuration des pondérations se fait au mieux afin de garantir un niveau un certain niveau de structuration pour le modèle standard.

Si aucune structure n’apparaît « naturellement » lors de la modélisation du système, il faudra envisager une étape de « transformation de modèle », réversible ou non, afin de faire apparaître une structure exploitable. Nous devrons donc mettre en œuvre au niveau de cette première étape trois sous-tâches :
1. Une étape d’analyse du modèle : dans le but de chercher une structure intrinsèque (mise en évidence de corrélations fortes ou faibles entre variables), directement lisible, ou masquée par un choix de représentation maladroit.
2. Une étape de mise en forme : partant du résultat obtenu lors de l’analyse, différentes transformations peuvent être nécessaires pour faire ressortir la structure du système.
3. Une étape de simplification : consistant principalement en l’élimination de certains termes d’interconnexion dont on aura montré préalablement qu’ils sont négligeables.
Ces trois étapes successives d’analyse et de transformation constituent pour nous la phase de structuration du système.

Nous avons vu dans ce paragraphe que la structuration du modèle standard est presque toujours réalisé en deux étapes, structuration du modèle du système, puis choix de la structure du critère. L’effort méthodologique porte principalement sur la structuration du modèle du système, tâche que l’on peut décomposer en trois phases ; analyse, mise en forme, et simplification. Des outils sont proposés dans la littérature (cf. chapitre 3), principalement pour la phase d’analyse.

Comme illustré sur le schéma de la figure Fig. 1.8, le choix de la structure du régulateur se fera en considérant la structure du modèle standard associé au système, les contraintes d’ordre conceptuel et physique (implantation sur site), et bien entendu le niveau de performance désiré. Une stratégie possible est de choisir pour le régulateur une structure assurant au système en boucle fermée la même structure qu’il avait en boucle ouverte.
Avant de formuler plus précisément cette idée, les problèmes de commande H2,∞ structurée doivent être énoncés.

Dans ce paragraphe nous nous proposons de lister les différents couples de structures types ( Structure S ; Structure K) à partir desquels différentes techniques de synthèse pourront être envisagées. Elles seront autant de cibles potentielles lors de l’étape de structuration.

On considère ici une matrice de transfert G( s ) partitionnée en N ×N blocs, pas nécessairement scalaires. Les blocs diagonaux Gii ( s ) , pour i = 1,…,N , sont supposés être non nuls. Considérant que la seule source de structuration provient de l’annulation de certaines matrices d’interconnexion Gij ( s ) , j ≠ i , (i.e. on ne tient pas compte de caractéristiques telles que la symétrie), on peut estimer à 2N ( N −1) le nombre de structures (macroscopiques) potentielles pour G( s ) 2. Nous nous limiterons ici à la présentation de structures pour le système (et le régulateur) directement exploitables lors de la phase de synthèse. Elles sont regroupées dans le tableau Tab. 1.2. Pour une meilleure lisibilité, le cas d’un système partitionné en N = 3 sous-systèmes est considéré sans perte de généralité. Les grandes familles de structures – issues de considérations mathématiques – sont introduites dans le tableau Tab. 1.2. Associé à chaque structure, il est mentionné si la propriété d’invariance IMu est satisfaite.
La troisième partie du tableau présente trois structures pouvant être considérées comme des sous-cas de la structure LBT. Notons également que la structure UBT est duale de la structure LBT et ne nécessite pas de traitement particulier. On peut associer à la structure matricielle LBT les interprétations physiques suivantes. Avoir une structure triangulaire pour un système interconnecté signifie en premier lieu que les interconnexions entre les sous-systèmes Si sont unidirectionnelles, i.e. on a seulement des interconnexions dans le sens  » Si agit sur Sj « , pour j > i . Le cas particulier de la structure LBD correspond au cas où le sous-système Si agit de manière directe uniquement sur le sous-système hiérarchiquement inférieur Si+1. Nous avons retenu également la structure dite Toeplitz
– LBT qui possède la propriété d’IMu.
Nous cherchons dans ce qui suit à associer des schémas blocs voire des exemples concrets de système aux structures présentées dans le tableau Tab. 1.2.

Calculer les modes d’un système complexe n’est pas nécessairement le meilleur moyen pour analyser sa stabilité ; le premier argument en défaveur de cette solution est celui récurrent lié aux dimensions trop importantes du modèle à manipuler. De plus, si physiquement le système complexe se présente comme un ensemble constitué de sous-systèmes interconnectés, nous devons très souvent nous assurer de la stabilité de ce système à deux niveaux. On veut garantir à la fois :
– La stabilité locale : i.e. au niveau de chaque sous-système
– La stabilité globale : en tenant compte des interactions, celles-ci présentant des incertitudes (difficultés à modéliser parfaitement un grand système).
Assurer la stabilité d’un grand système malgré les incertitudes structurelles entachant le modèle exploité revient donc à assurer la « stabilité connective » du système (notion introduite par D.D. Šiljak en 1972, et reprise dans [Sil78] et [Sil91]). La manière la plus connue pour établir la stabilité connective d’un grand système fait appel à l’approche de Lyapunov et plus particulièrement au concept de « vecteur de fonctions de Lyapunov » (en anglais « vector Lyapunov functions » introduit indépendamment par R. Bellman et V.M. Matrosov en 1962 [Bel62], [Mat62]). Cet outil est défini dans le paragraphe suivant.

Un rappel sur les fonctions de Lyapunov est proposé en annexe II.A. Le concept du vecteur de fonctions de Lyapunov est le suivant ; chaque composante de ce vecteur est une fonction scalaire associée à l’un des sous-systèmes, permettant de conclure à sa stabilité. L’idée consiste alors à déduire la stabilité du système global de l’analyse conjointe de chaque fonction scalaire constitutive du vecteur. Différentes méthodes de construction des vecteurs de Lyapunov existent, par exemple celles introduites indépendamment par D.D. Šiljak et M. Araki en 1978 (voir [Sil91] ou [Ara78], les deux étant résumés dans la première référence). Nous présenterons celle développée par M. Araki, utilisant une majoration quadratique des termes d’interconnexion. Elle sera introduite directement dans le cadre des systèmes linéaires alors qu’elle a été définie initialement dans le cadre plus général des systèmes non-linéaires. Notre objectif ici est aussi de proposer une méthode systématique de vérification de la stabilité connective. avec x i ( t ) ∈

On reprend ici la modélisation linéaire d’un système complexe reportée à l’équation (2.1), mais en ne prenant pas en considération les matrices d’entrée et de sortie B et C , qui n’influence pas la stabilité du système. S : x ( t ) = Ax ( t ), (2.16) avec x ( t ) ∈ n l’état de S. On considère que x = 0 est l’unique point d’équilibre de S.
On associe encore une réalisation partitionnée E/Et/S à S, modélisé alors comme l’interconnexion de N sous-systèmes Si . N S : x i ( t ) = Aii x i ( t ) + ∑eijxxAij x j ( t ), i = 1, …,N (2.17)