PFE & RAPPORT Acc´el´eration de la convergence d’une suite num´erique PDF
1 Organisation du rapport
2 Introduction
3 Rappels et définitions
3.1 Domination, négligeabilité et équivalence
3.2 Notions liées à la convergence d’une suite
3.2.1 Vitesse de convergence d’une suite
3.2.2 Ordre de convergence d’une suite
3.3 Accélération de la convergence
4 Méthodes numériques d’accélération de convergence
4.1 Extrapolation de Richardson
4.1.1 Présentation du principe
4.1.2 Théorème de Richardson
4.1.3 Application à la méthode des trapèzes
4.1.4 Approximation du nombre π
4.2 Procédé du Δ² d’Aitken
4.2.1 Construction de la suite accélératrice du Δ² d’Aitken
4.2.2 Noyau du Δ² d’Aitken
4.2.3 Application du Δ² d’Aitken à la méthode du point fixe
4.2.4 Interprétation géométrique de la formule du Δ² d’Aitken
4.2.5 Le procédé du Δ² d’Aitken itéré
4.2.6 Application numérique en astronomie
5 Méthodes d’accélération généralisées
5.1 Méthode de Richardson généralisée
5.1.1 Algorithme de l’extrapolation de Richardson
5.1.2 Application numérique
5.2 Nouvelle généralisation du procédé d’Aitken
5.2.1 Construction du noyau
5.2.2 Propriétés de convergence et d’accélération
5.2.3 Applications numériques
6 Conclusion
Rapport PFE, mémoire et thèse avec la catégorie la convergence d’une suite numérique |
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Partant d’idées simples jusqu’aux méthodes plus complexes, différents procédés ont été construits puis traités en premier lieu théoriquement, en analysant les conditions et propriétés de leur convergence et de leur accélération. Ensuite, une étude numérique est réalisée afin d’illustrer l’efficacité de ces méthodes.
Dans tous les exemples numériques présentés, et ceci pour les différents procédés introduits, L’accélération de convergence se trouve améliorée, et cela se traduit par un gain en nombre d’itérations et donc une réduction du temps de calcul pour atteindre une valeur approchée à la solution d’un problème donné à une précision souhaitée.
Toutefois, les conditions assez restrictives des généralisations traitées ouvrent la porte à la recherche pour essayer de restreindre les conditions de convergence et d’accélération des nouvelles suites générées, et tenter de construire de nouvelles méthodes de noyau plus riche et dont les conditions soient moins contraignantes.
