PFE & RAPPORT A Propos Des Polynômes De Tchebychev PDF
1 Introduction
2 Les polynômes de Tchebychev : propriétés et orthogonalité
2.1 Généralités sur l’orthogonalité
2.2 Les polynômes classiques
2.3 Les polynômes de Hermite
2.4 Les polynômes de Laguerre
2.5 Les polynômes de Jacobi
2.6 les polynômes de Chebychev Tn(x)
3 D’autres espèces de polynômes de Tchebycheb
3.1 Le deuxième espèce Un(x)
3.2 Le troisième espèce Vn(x)
3.3 Le quatrième espèce Wn(x)
4 les quatres espèces
4.1 Propriétés communes
4.2 Polynômes de Tchebychev de la variable complexe
4.3 Synthèse générale
4.4 Relation entre les polynômes de Tchebychev et les puissances de x
5 Théorie d’approximation polynomiale et polynômes de Tchebychev
5.1 Forme de Lagrange du polynôme d’interpolation
5.2 Stabilité et convergence du polynôme de Lagrange
5.3 Meilleure approximation au sens de Tchebychev
5.4 Approximation polynomiale
5.4.1 Formule de Lagrange du polynôme d’interpolation
5.4.2 Formule d’interpolation de Tchebychev
5.5 Séries orthogonaux de Tchebychev
6 conclusion
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La première famille des polynômes orthogonaux apparaît avec les premiers travaux de Legendre sur les mouvements planétaires en 1784. Dans ces travaux, il avait établi plusieurs propriétés communes de ces familles. Il a notamment explicité l’équation différentielle du second ordre ayant pour solution ces polynômes et étudié les zéros de ces polynômes. Cette famille porte aujourd’hui le nom de « polynômes de Legendre ».
Par la suite, d’autres familles ont été introduites, notamment celle de Hermite (1864), qui est utilisée dans la théorie des approximations. Nous pouvons citer aussi les travaux de N.H. Abel, V.L. Lagrange, P.L. Tchebychev, qui a commencé, avec T.J. Stieltjes, la création et le développement de la théorie générale des polynômes orthogonaux à l’aide des fractions continues.
En 1879, Laguerre avait introduit une famille des polynômes qui portent son nom aujourd’hui. Il a montré, entre autres, que ces polynômes orthogonaux sont liés à certaines fractions continues. Au milieu du XIXe siècle, Jacobi introduit une nouvelle famille qui généralise les polynômes de Legendre et de Tchebychev.
Aujourd’hui, ces trois familles Jacobi, Laguerre et Hermite, sont connues sous le nom des « vrais polynômes classiques ».
Le premier ouvrage consacré entièrement aux polynômes orthogonaux est celui de Shohat, édité en 1934 sous le titre « Théorie Générale des Polynômes Orthogonaux ». Vient ensuite, en 1939, le livre de Szegö intitulé « Orthogonal Polynomials » qui traite la théorie générale des polynômes orthogonaux et leur comportement asymptotique.
De nos jours, on peut citer le livre de Chihara (1978), qui traite la théorie algébrique de l’orthogonalité et des nouvelles notions introduites ces dernières années. La notion de l’orthogonalité usuelle a subi beaucoup de généralisations. Cela a commencé par la notion des p-orthogonalités (p > 1) (Boukhemis, 1988), puis la d-orthogonalité (P. Maroni, 1989), vient ensuite notamment la biorthogonalité (Brezinski, 1992), et enfin l’orthogonalité multiple (Aptekarev, Van Assche…).
Bien sûr, toutes ces notions ont été introduites afin d’améliorer les méthodes de l’approximation — qu’elles soient fonctionnelles au sens des Hermite-Padé généralisées —, d’augmenter l’ordre des équations différentielles ayant pour solution ces polynômes, et par suite, rendre plus compréhensibles les phénomènes modélisés par ces équations différentielles.
Dans ce mémoire, qui traite la classe des polynômes de Tchebychev (les quatre espèces de Tchebychev), nous nous sommes beaucoup référés aux deux ouvrages de Mason et Handscomb et de Chihara.
