PFE & RAPPORT CALCUL FRACTIONNAIRE ET APPLICATION AUX EQUATIONS DE DIFFUSION PDF
INTRODUCTION
1. Le calcul fractionnaire
1.1 Intégration fractionnaire au sens de Riemann-Louiville
1 1.2 Dérivations fractionnaires
1.2.1 Propriétés de l’operateur fractionnaire de Caputo
1.2.2 Relation entre l’operateur Dα
1.3 Calcul fractionnaire de Riesz et de Feller
1.3.1 Intégrale et dérivée fractionnaire de Weyl
1.3.2 Intégration et dérivation fractionnaire de Riesz
1.3.3 Intégration et dérivation fractionnaire de Feller
2. Application du calcul fractionnaire à l’équation de diffusion
2.1 Présentation du modèle
2.2 Résultat et discussion
2.2.1 Dérivation d’ordre entière ou diffusion normale
2.2.2 Approximation avec dérivation fractionnaire au sens de Feller
2.2.3 Approximation du dérivation fractionnaire au sens de Grunwald-Letnikov
3. Conclusion
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Nous parlerons des propriétés de ces opérateurs. Nous parlerons aussi de la dérivée au sens de Caputo ; elle est en effet intéressante pour les applications, car elle a une propriété qui coïncide avec les dérivations d’ordre entier. La dérivée de Caputo d’une constante est nulle, alors que la dérivée de Riemann ne l’est pas.
Nous citerons aussi dans ce travail quelques opérateurs fractionnaires, comme les dérivées et intégrales au sens de Weyl, de Feller, de Riesz. Un des points importants caractérisant la diffusion normale est que la densité de probabilité de cette diffusion, qui est solution de l’équation de la diffusion fractionnaire, a des ailes épaisses lorsqu’on la compare avec la solution standard de la diffusion normale de Fick.
Nous donnons dans notre travail une illustration de ce phénomène en prenant un exemple concret, après avoir exposé la méthode numérique de Grunwald-Letnikov que nous utilisons dans le calcul.
